Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Сары>на>и шаг в разви~ии геометрических вероятностей связан с именами Ламе (! 795 18?0>, Барбы, Д. Сильвестра (1814 -1897). М. Крофтона, которые не только поставилн новые задачи, но и привлекли к их решению п>пятив меры множества (п>сть еше и на инт>и>инною уровне). На базе их рассмотрений позцнее возникла новая ветвь г.о ма >рии, получившая наименование интегральной геометрии В 1860 > Ламе на факулыете наук Парижской нормальной школы прочитал курс лекций по геом >рии. В этом курсе он рассмотрел задачу Бюффона о бросании иглы и применил се к ~ом> случаю, когда центр иглы бросается наудачу в центр эллипса или правильно>о много>гольника. Среди слушателей был Барбье, обобщивший рассуждения Ламе на сл>чаи любого выпуклого контура.
В с>щности Барбье не внес ничего нового в сам мшод. Он только заметил, что рассуждения Ламе не связаны жестко нн с рассмотрением эллипса, нн с правильными многоугольниками. а легко обобщаю гся нз любой выпуклый контур. ('пльвсстр первым после Бюффона расширил тематику задач на геометрические вероятносгн. Им была предложена задача о четырех точках или задача Сильвестра. Бе форм>лировка такова: четыре >очки взяты наудачу внутри выпуклой области. Чему равна вероятность того, что, взяв эти точки в качестве вершин. можно составить выпуклый четыр:хугольник? Силы>встр предложил следующее решение: обозначим через А плошадь выпуклой области. Бросим в нашу область сначала три точки и построим по этим точкам треугольник.
Пусть его средняя площадь равна М. Бросим теперь наудачу четвертую точку. 1-сли она попадет внутрь треугольникю то по этим четырем точкам вып>клого четырехугольника составить нельзя. Но четвертую точку мы можем выбирать четырьмя различными способами. следовательно, при бросании четырех точек вероятность получить невыпуклый четырехугольник равна р = 4М)А. Отсюда заключаем, что вероятность получения при этом выпуклого четырехугольника равна ! 4М/А. Среднее значение М зависит от области, в которую бросают точки.
Лля некоторых выпуклых фигур значение М вычислено, йй Крофтон в статье*'Вероятность", опубликованной в Британской экциклопедии (9< изцание, т. 19, стр. 786. Эдинбург, 1885) . Гл. 2. Период формирования основ привел таблицу, сославшись на работу Вольхауза, из которой легко получить значс- нияМ для соответствующих выпуклых областей. Таблица 22 правильный вероятность треугольник параллелограмм окруэкность 1/3 = 0,3333... 11/36 = 0,3056 289/972 = 35/(12л') = = 0,2971 = 0,2955 Сильвестр отчстливо понимал, что при вычислснин тчомстричсских веронтностей приходится брать отношснис площадей или объемов (обшсе мср) тсх областей, кото. рые благоприятствуют событию и в которых помещаются всевозможные собьпия. Фактически так поступали и раныцс.
Но цри этом произносили другие слова, которые или нс имели опрсцслснного смысла или жс не соответствовали производимым действиям. Сравнив результаты вычислений цля различных областей, Сильвсстр прелложил найти те области, для которых вероятность получения выпуклого четырсхуголы~ика достигает максимума и минимума. Псрвыс результаты принадлежат Крофтону и опубликованы в ранее указанной статье. Он доказал.
что минимум достигается для круза. Там же ои высказал предположение, что минимум достигается и для эллипса. Эш прсдложенис было доказано лишь В. Блашкс (Тгог1езппйсп ЬЬег дКТегеп(лй Оеотпегпе — Вегбп, 1923). Лельтейль показал, что максимальная вероятность формирования выпуклого четырехугольника дою игается для треугольной области. В учебной литературе широко известна задача о встрече.
Спрашивается, когда она появилась и кто был се автором? При изучении многочислсниой литературы моей ученице М/Б Лориньо Перес удалось найти ответ на этот вопрос. В книш Уайтвортэ "Выбор и шанс" (СЬо!се апд сцапсе — Еопбоп, 1886, сЬар! П, р. 242 — 243) была рассмотрена следующая задача. Лица А и В независимо оцин от другого отправляются на приам в парке. Лицо А прибываст нз прием в наудачу выбранный момент мсжду 3 и 5 часами пополудни, а  — мсжду 4 и 7 часами пополудни.
Кажный из них остается нз присме в течение часа. Чему равна веронтность того, что оии окзжутся на приеме одновременно хотя бы одно мгновение? Зацача была решена Уайтвортом обычным путом. какой используется и в настоящее время. Лсгко подсчитатть что искомая вероятность равна 1/3. Позднее зта задача перекочевывала из книги в книгу в качсстве нллюстратиииого примера.
а также находила применении в задачах организации производства. Несомненно. что в Х!Х веке на развитие проблематики геомшричсских вероятноствй особос влияние оказал Крофтон. Он начал изучать псрессченис случайными прямыми заданных выпукльг контуров. Мы не станем излагать ого результаты, поскольку оии вошли в курсы интегральной гсомстрни и монозрафии по зсомстргь ческим вероятностям, а потому легко доступны, На необходимость совершенствования понятия звометричсской всроятности несомненное влияние оказала книга ВС Бертрана (1822 — 1900) (Са!сп! де ргоЬаЬййс. — Рапз, 1899), в которой на хорошо подобранны~ примерах было показано, что логичсски понятие геометрической вероятности не выдерживает критики. Играя на неопрсдсленности терминологии, казалось бы для одной и той же задачи, ему удалось получить несколько различных ответов. В качестве основной мишсни им была избрана известная задача о проведении наудачу хорды внутри круза.
Само собой разумеется, что критика Бертрана привлекла вниманнс математиков к общим вопросам логического обоснования теории вероятностей. 9 9. Основные теоремы теории вероятностей В ХХ веке интерес к геометрическим вероятностям не ослабел, а вырос, посколы ку, помимо чисто математического интереса, они приобрели и серьезное прикладное значение в физике, биологии, медицине, инженерном деле и др. Этот аспект геометрических вероятностей заслуживает спедиального'рассмотрения. б 9.
Основные теоремы теории вероятностей Мы обратимся теперь к следующему естественном> вопросу: когда и кто выделил в теории вероятностей основные ее теоремы — сложения и умножении и полной веролтностиу В конечном счете на этих простых результатах покоится вся теория вероятностей и ее многочисленные применения. Именно поэтому представляет интерес выяснение процесса нх формирования. В книге Л.Е. Майстрова "Теория вероятностей", исторический очерк, 1967 !с. 65) утверждается, что в ХЧП веке уже "были известны теоремы сложения и умножения вероятпостей, которые широко применялись при решении задач".
Однако, нам не удалось заметить ни в переписке ферма с Паскалем, ни в трактате Гюйгенса нн формулировки, этих теорем, ни мало-мальски осознанного их использования Однако зачатки этих теорем можно проследить буквально с первых шагов теории вероитностсй как математической на> ки. Так в работах Паскаля можно усмотреть. что он отчетливо понимал как следует подсчитывать число благоприятствующих шансов для события А, если нам известны шансы для несовместимых собьпий Ая составлнющих собьпне А.
Это, конечно, еще не теорема сложения, но важный шаг на луги ее формулировки. При решении задачи о разделе ставки Паскаль рассуждал следующим образом. пусть игроку А для выигрыша игры недостает трех партий, а игроку В - четырех. Тогда для завершения игры достаточно шести партий.
Игрок П выигрывает, если нз этих шести партий он выиграет все шесть пять или четыре, или три партии. Таким образом. число благоприятствующих шансов для выи!рыща А н>ры оказывае гся равным С' г С„' + С,' + С з = 1 + 6 + 15 + 20 = 42. Это рассуждение Паскаль предложил и в общем случае, когда для окончания игры игроку А недостает л> партий, а игроку  — л партий. В работал Я.
Бернулли н Н. Бернулли дается отчетливая формулировка правила вычисления вероятности противоположного события, если известна вероятность прямого событн». При выводе формул. получивших наименование формул Бернулли. Я. Бернулли сознательно использовал правила сложения и умножения вероятностей, но самих правил он не сформулировал. Они в его рассуждениях присутствуют как бы неявно. Одно замечание Я.
Бернулли показывает. что он отчетливо понимал особенности теоремы сложения для совместимых событий. Вот зто замечание: "Если два человека, достойные смертной казни, прннуждаютсл бросить коши при условии, что тот, кто выбросит меньшее число очков, понесет свое наказание, а другой. который выбросит большее число очков, сохранит сваю жизнь, и что оба они сохранят жизнь, если выбросят одинаковое число очков, то мы найпем для ожидания одного 7712... Но из этого нельзя заключить, что ожидание другого равно 5/12 жизни, так как очевидно, что обе участи одинаковы. Лругой также будет ожидать 7712, что дает для обоих 776 жизни, т.е. больше целой жизни Причиной этого является го, что нет ни одного случая, н котором хотя бы один нс останется живым. а имеется несколько случаев, когда они оба могут остаться в живых." Нет нужды добавлять к словам Я.
Берну>ши, что он находился рядом с предложением, которое мы теперь записываем в следующем виде. Р(А + В ! = Р(А) + Р (В ! — Р(АВ!. 410 Гл. 2. Период формирования основ Впрочем, если с современных позиций рассматривать работу Кардано "Книга об игре в кости", то в гдаве Х1Ч "О соединении очков*' можно в частном примере усмотреть этот же результат, но не пля верояп>остей, а для числа шансов. Он рассматривал число случаев выпадения при бросании двух костей хотя бы на одной кости одного очка.
Это чис.'ю равно 11, поскольку шестью различными способами может появитьсн 1 на первой кости: (1,!). (1, 2), (1, 3) (1,4). (1, 5), (1,6) и столькими же на второй. Но случай (1, 1) при этом мы указываем дважцы. Так что различных случаев будет не 12, а лишь 11. Однако, как ни важны приведенные наблюдения. мы не должны приписывать ни Кардано, ни Паскалю и Ферма, ни Я. Бернулли формулировку теоремы сложения вероятностей, как важнейШего положения теории вероятностей.
Первая четкая и окончательная формулировка теоремы сложения вероятностей находится в работе Т. Байеса (1702 — 1761), носящей длинное название — 'Опыт решении задач по теории вероятностей покойного цостопочтеиного мистера Байсса, члена Королевского общества. Сообщено мистером Прайсом в письме Лжецу Кентону, магистру искусств, члену королевского общества*'. Работа Байеса была зачитана на заседании Лондонского королевского общества 27 декабря !763 г., спустя два года после смерти литера. В определении! работы содержишься определение несовместимых собьпий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
