Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Пуанкаре "Са1сц! беэ ргоЬаЬзйгеа" (Рагй, 1912) . Первый раэ в конце З 140 он писал, что "ошибка связанная с инструментом, есть результирующая очень большого числа независимых одна от лругой ошибок, таких, что каждая из них приносит лишь слабую долю в результат; результирующая ошибка следует закону Гаусса".
Затем в самом начале 8 144 бьи подведен следующий итог: '*Резюмируя, предположим, что окончательная ошибка буде~ резулыирующей очень большого числа частых погрешностей, независимых друг от друга, и что нет ошибок систематических; предположим также, что эти ошибки будут иметь приблизительно один и тот же порядок величины, внося каждая в общий результат лишь незначительную долю. В этом случае результирующая ошибка следует приблизительно закону Гаусса. Такой, мве кажется, лучший довод, который можно дать в пользу закона Гаусса" Следует сказать, что все зги идеи носят лишь качественный характер и нуждаются в математическом оформлении и последующем доказательстве строгих теорем. Второй толчок, который вызвал дополнительный интерес к предельным теоремам теории вероятностей, была статистическая физика, начала которой были построены в середине Х!Х века.
Первый общий результат в этом направлении был сформулирован в 1887 г. в работе "О двух теоремах относительно вероятностей" П.Л. Чебышева. Сформулированная Чебышевым теорема звучит следующим образом: Если математические ожидания величин и,, и,,... равны О, а математические ожидания всех их степеней имеют числовую величину ниже какого-либо предела.
427 й 16. Центральная предельная теорема вероятность того, что сумма и, + и, + ... + и„, деленная на квадратный корень из удвоенной суммы математических ожиданий их квадратов, заключается между двумя какими. нибудь пределами г и г' с возрастанием л до имеет пределом интеграл т' — (е»(э. Ч7 т Для доказаюльстаа этого предложения Чебышевым бьш разработан весьма сильный метод, получивший наименование метода моментов и являющийся одним из крупнейших достижений науки того времени. Однако в формулировке теоремы и в ес доказательстве был допущен ряд промахов, которые сразу же взялся исправить ученик П.Л.
Чебыпква А.А. Марков. Критика мемуара Чебышева содержится в письмах Маркова к профессору Казанского ун)тверситета А.В. Васильеву, который счел необхопнмым опубликовать ее в 1898 г. (" Закон больших чисел и метод наименьших квадратов") . В этих письмах Марковым была совершенно строго доказана несколько исправленная теорема Чебышева: Если 5и — последовательность сумм и, + и, +... +и„и Ф„(х) — их функции распределения, то из предположения, что при любом целом положительном (с имеют место соотношения 1 » 1 х»(Фн(х) — 1 х е с(х Э вЂ” х !2 э/2»»вЂ” вытекает, что при любых а и Ь имеет место равенство 5П ) 1 ь „»/2 Р~а < — < Ь~ — )е х с(г. 12 5л Метод моментов, которым работал Чебышев, торжествовал победу.
Бьша доказана сильная и, казалось бы, окончательная теорема. Некоторую неудовлетворенность приносило только то, что для простого результата требовалось выполнение счетного множества условий. Неожиданно в нескольких публикациях А.М. Ляпунова на протяжении 1900 и 1901 гг. было обнаружено, что окончательный результат имеет место лри выполнении только одного очень простого условия, которое, вдобавок, вьшсняло смысл тех предположений, которые должны приводить к сходимости распределений нормированных и цеитрироваиных сумм к нормальному распределению.
Сначала Ляпунов показал, что если величины имеют конечные третьи моменты л и са=М!(а — аа Н, С„= В сэ, В» = В 0(а и соотноикине Сп!Вй при и стрех=т э=! мится к нулю, то имеет место сходимость функций распределения сумм 5л к нормальномуу распределению. На следующий год ЛяпУнов же обнаружил, что для окончательного результата не обязательно требовать существования третьих моментов слагаемых. Достаточно, если существуют моменты некоторого порядка 2 э 6, где 6 > О. Ляпунов показы, что для сходимостн нормированных корнем из дисперсии сумм независимых слагаемых к нормальному распределению достаточно выполнения следующего условия: пусть 2+6 2+6 с„=ы!(а-а„!, С„= В с„; отношениеСн/Ви должно с рос~ом л ~~ремня =1 тьсл к О. Гл.
3. Понятие случайной величины 428 Ляпунов сделал несколько большее: он оценил скорость сходимости к предельному распределению функций распределения сумм. Порядок этой оценки оказался равным л Пз 1пл. Точно также в упомянутой статье Чебышева, помимо предложения о сходимостн к нормальному распределению, было дано асимптотическое разложение по степеням Общность результатов Ляпунова произвела огромное впечатление на современников. По-видимому, именно в ту пору и появился термин "центральнаи предельная теорема" ллн обозначения условий сходимости функций распределения нормированных и центрированных математическими ожиданиями сумм к нормальному распределению.
Марков подошел к результатам Ляпунова с далеко иных позиций. В связи с этим полезно привести ноплинные слова Маркова: "Общность выводов в последней работе Ляпунова датско превзошла ту, которая была цостигнута методом математических ожиданий. Достигнуть столь общих выводов методом математических ожиданий казалось даже невозможным, ибо он основан на рассмотрении таких математических ожиданий в неограниченном числе, существование которых в случаях Ляпунова не предполагается. Для восстановления поколебленного таким образом значения меюда математических ожицаний необходимо бьшо выяснить, что вышеупомянутыми работами он не исчерпан до конца".
Марков в 1908 г. выступил с замечательной идеей — урезания случайных величин. Этот прием дал возможность доказать предельную теорему в условиях Ляпунова методом моментов или, как говорил Марков, методом математических ожиданий. Идея урезания прочно вошла в жизнь теории вероятностей. Дальнейшая судьба центральной предельной теоремы такова: в 1922 г.
финскому математику Лиицебергу улялось пойти дальше Ляпунова н отказаться от предположения существования даже каких-либо моментов, кроме вторых. А именно, он доказал, что если прнлюбом т > 0 имеет место соотношение 1 л Вш — В 1 (х — ал) Пра(х) = 0* Вл Я= Г 1х — ая!>гя« то функция распределения сумм центрированных математическими ожиданиями и нормированных корнем квадратным из суммы дисперсий слагаемых сходятся к стандартному нормальному распределению. Через 12 лет В. Феллер показал, что условие Линдеберга является и необходимым в предположении, что слагаемые равномерно малы.
Ясно, что из теоремы Линдеберга в качестве следствия получается данно ожидавшийся результат: если случайные величины независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию, отличную от О, то к суммам таких величин применима центральная предельная теорема теории вероятностей. В работе 1927 г. С.Н. Бернштейн рассмотрел несколько более общую задачу: имеется последовательносгь независимых случайных величин йм 1„..., 1„, . относнмльно которых не предполагается ин существования дисперсий, ин существования математических ожиданий. Спрашивается: когда можно подыскать такие Вл — Ал постоянные В„> 0 и А„, что функции распределения сумм сходятся к норв„ м альп о му распределению? Достаточные условия для этой зацачи были найдены Бернштейном в ъзй же работе 1927 гл чеРеэ восемь лет Феллер показал, что эти условия не только достаточны, но и необходимы в предположении, что слатммые равномерно малы в очысле теории вероятностей.
429 й 17. Общие предельные распределения для сумм В том же 1935 г. независимо один от лругого А.Я. Хинчин и П. Леви в постановке С.Н. Бернппейна нашли необходимое и достаточное условие сходимости к нормальному распределеншо функций распределения сумм независимых, одинаково распреде(зенных случайных величин. Еще в 1926 г. в специальном курсе по предельным теоремам А.Я. Хннчин задал следующий вопрос: имеется ли связь между законом больших чисел и центрщьиой предельной теоремой? Ответ был найден Д.А.
Радловым и А.А Бобровым, которые доказали следующую теорему: чтобы функции распределения сумм 1, ь...е(„— А„ Вл лри надлежащем выборе действительных постоянных Вл > 0 и Ал схоцилнсь к нормальному распределеиюо, необходимо и достаточно чтобы суммы (1 — аз)*+(1з — 4.)'+ . +Й» — 'л)' е были относительно устойчивы, а„= / холл(х), е > 0 — произвольно.
-е Исследование вопросов сходимости функпий распределения к нормальному закону не окончились и в наши дни, но теперь исследуются другие вопросы: быстрота сходи- мости к предельному распределению, сходимость случайного числа случайных слагаемых, суммирование неравномерно малых случайных величин. 1 17.
Общие предельные распределения для сумм Естественный вопрос о том, какие распределения вообще возможны в качестве предельных для сумм независимых случайных величин лри условии, что они примерно одинаковы по величине, возник только в двадцатые — тридцатые годы нашего столетия. Раньше во всей общности этот вопрос не возникал, хотя частные результаты по этому поводу и появлялись. В этом отношении заслуживает упоминания мемуар С. Пуассона "О вероятности средних результатов наблюдений", в котором, пользуясь аппаратом характеристических функций, он вывел распределение суммы большого числа независимых ошибок наблюдений и рассмотрел распределение, которое получило впоследствии название распределенив Коши. Лля этого распределения Пуассон нашел плотность 1 7'(г) = з(1+ х') и доказал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
