Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 81
Текст из файла (страница 81)
159). Само это утверждение не очень понятно, но, несомненно, Чебышев имел в виду какое-то определенное замечательное свойство математического ожидания. По-видимому, свою роль сыграла и формулировка закона больших чисел в форме Чебышева. Заслуживает пристального внимания то обстоятельство, что в этих записках лекций имеется доказательство и формулировка теорем о математическом ожидании и дисперсии суммы случайных величин. Там же он привел и вывод своего знаменитого неравенства. Прк этом он предполагал как нечто самоочевидное, что речь идет а независимых величинах. Следует отметитзч что сам факт о том, что дисперсия суммы равна сумме дисперсий, имеется и использован Чебышевым в статье "О средних величинах".
Там же-впервые встречается и неравенство Чебышева. Следует отметить, что в распрострююллых учебниках (А. Пуанкаре и Ж. Бертрана) конца прошлого века и начала текущего столетия вообще нет теорем о математическом ожидании и дисперсии. Естественно спросить себя: когда же стал известен факт, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожицаний всегда, а не только при независимых слагаемых? Пока на это можно лишь ответить, что в учебнике Чубера (1908) и переиздании книги А. Пуанкаре (1912) такой теоремы нет, а в знаменитом пдя своего времени учебнике "Исчисление вероятностей" (1913, 1924) строго до.
казываются и теорема о математическом ожидании произведения и а математическом ожидании суммы со специальным упоминанием о том, что она верна не только лля независимых величин. Гл. 4. К истории теории случайных процессов 436 В заключение мы должны сказать, что история понятий математического ожидания и дисперсии изучена совершенно недостаточно. Мы видим, что основы понятия математического ожидания возникли одновременно с понятием вероятности, но выделены основные его свойства были очень поздно — только во второй половине прошлого — начале нашего столетия. Неясно, в какой мере на понятие дисперсии влияло уже существовавшее понятие момента инерции. Впрочем, заслуживает внимания и исследование истории становления и развития теории случайных величин. То, что изложено в насгаюцей главе может считаться лишь первым приближением к истории этого важного раздела научных знаний.
ГЛАВА 4 К ИСТОРИИ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОПЕССОВ 8 20. Общие представления Понятие случайного процесса принадлежит нашему столетию и связано с именами А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина, Е.Е. Слуцкого, Н. Винера (1894 — 1965) . Это понятие в наши дни является одним из центральных не только в теории вероятностей, но также в естествознании, инженерном деле, экономике, организации производства, теории связи.
Теория случайных процессов принадлежит к категории наиболее быстро развивающихся математических дисциплин. Несомненно, что это обстоятельство в значительной мере определяется ее глубокими связями с практикой. ХХ век не мог удовлетвориться тем идейным наследием, которое бьшо получено им от прошлого. Действительно, в то время как физика, биолога, инженера интересовал процесс, т.е. изменение изучаемого явления во времени, теория вероятностей предлагала им в качестве математического аппарата лишь средства, изучавшие стационарные состояния.
Для исследования изменения во времени теория вероятностей конца прошлого — начала нашепэ века не имела ни разработанных частных схем, ни тем более общих приемов. А необходимость нх создания буквально стучала в окна и двери математической науки. Изучение броуновского движения в физике подвело математику к порогу создания теории случайных процессов. В исследованиях датского ученого А.К. Эрланга бьша начата новая важная область поисков, связанных с изучением загрузки телефонных сетей.
Число абонентов изменяется во времени случайно, а длительность каждого разговора обладает большой инцивицуальиостью. И вот в этихто условиях двойной случайности следует производить расчет пропускной способности телефонных сетей, коммуташюниой аппаратуры и управляющих связью систем. Несомненно, что работы Эрланга оказали эиа мтельиое влияние не только наущение чисто телефонных зацач, но и на формирование элементов теории случайных процессов, в частности, процессов гибели н размножения. Во втором десятилетии ХХ века начались исследования динамики биологических популяций. Итальянский математик Вито Вольтерра разработал математическую теорию этого процесса иа базе чисто детерминистских соображений.
Позднее ряд биологов и математиков развивали его идеи уже на основе стохастических представлений. Первоначально и в этой теории применялись исключительно идеи процессов и гибели н размножения. Собственно именно от задач биологии и пошло наименование этого очень частного типа случайных процессов. 8 20, Общие представлении 437 Представим себе, что мы задались целью проследить за движением какой-нибудь молекулы газа ипн жидкости. Эта молекула в случайные моменты сталкивается с другими молекупючи н меняет при этом направление движения и скорость.
Состояние молекулы, таким образом, подвержено случайным изменениям и представляет собой ничто иное, как случайный процесс. Это процесс определяется шестью параметрами— тремя координатами и тремя компонентами скорости. Многие физические падения дпя своего изучения требуют умения вычислять вероятности того, что определенная доля молекул успеет за задвинью промежуток времени перейти из одной области пространства в другую, Например, если приведены в соприкосновение две жидкости, то начинается взаимное проникновение молекул одной жидкости в другую. Происходит диффузия. Как быстро происходит процесс диффузии, по каким законам и когда образующаяся смесь становится практически однородной? На эти и многие другие вопросы дает ответ статистическая теория диффузии, базирующаяся на использовании теории случайных процессов.
Очевидно, что подобные же задачи возникают в химии, когда приступают к изучению процессов химических реакциЯ. Какая часть молекул уже вступила в реакцию, какая особенность протекания реакции со временем, когда реакция практически уже закончилась? Весьма важный круг явлений протекает по принципу радиоактивного распада. Суть его состоит в том, что атомы радиоактивного вещества распадаются, превращаясь в атомы другого элемента. Распад каждого атома происходит мгновенно, подобно взрыву, с выделением некоторого количества энергии.
Многочисленные наблюдения показывают, что распад отдельных атомов происходит в случайно взятые моменты времени и расположение этих моментов, если количество распадающегося вещества не превосходит некоторого определенного критического предела, ие зависят друг от друга. Лпя изучения процесса радиоактивного распада весьма важно определить вероятность того, по за определенный промежуток времени распадается то ипи иное число атомов. Формально, есин задаться целью выяснения только математической стороны явления, аналогично происходят многие другие процессы: обрывы нитей в прядильной машине, число броуновскнх частиц, оказавшихся в данный момент в определенной области пространства, вызовы от абонентов, поступающие на телефонную станцию и тд.
Теория броуновского движения, исходяшхя из теоретико-вероятностных предпосылок, быпа разработана в 1905 г. двумя известными физиками М. Смолуховскнм (1872 — 1917) и А. Эйнштейном (1879 — 1955). Позднее высказанные ими идеи использовались неоднократно как при изучении физических явлений, так и в различных инженерных задачах. В частности, именно с их работ, как, впрочем, и с работ Эрланга, начался широкий интерес к процессу Пуассона. Впрочем, сам Пуассон ввел в рассмотрение только распределение Пуассона н о процессе Пуассона даже не мечтал, но он заслужил того, чтобы его имя произносилось н прн рассмотрении случайных процессов, связанных с его распределением.
Это не единственный случай, когда в честь того или другого исследователя новым понятиям прнсваиваются их имена, хотя до этих понятий они и не доходили. Теперь широко распространены гауссовские случайные процессы, хотя сам Гаусс о иих не имел никакого представления, да н само исходное распределение задолго до его рождения было получено Муэвром, Лапласом н др. В теории же ошибок измерений одновременно с Гауссом к нему пришел также Лежандр.
Попытка изучения средствами теории вероятностей явления диффузии бьша предпринята в 19!4 г. двумя известными физиками — М. Планком (1858-1947) и Фоккером. Н. Винер в середине двадцатых годов при изучении броуновского движения ввел в рассмотрение процессы, удовлетворяющие спедуюпшм условиям: 438 Гл. 4. К истории теории случайных процессов 1) фУнкциЯ РаспРеделениЯ Разности 1(ге + г) — 1(г,) не зависит от начального момента г, (однородносгь во времени); 2) приращения процесса 1(г) за непересекающиеся промежутки времени(г;, г() в конечном числе взаимно независимы (независимость приращений); 3) величины 1(г, + г) — 1(г,) нормально распределены со средним значением равным 0 и дисперсией о*с.
Мы должны упомянуть еще о двух важных группах исследований, начатых в разное время и по разным поводам. Во-первых, это работы А.А. Маркова (1856 — 1922) по изучению цепных зависимостей. Во-вторых, работах Е.Е. Слуцкого (1880 — 1948) по теории случайных функций. Оба эти направления играли очень существенную роль в формировании общей теории случайных процессов. Зля этой цели уже был накоплен значительный 'исходный материал н необходимость построения теории как бы носилась в воздухе. Оставалось осуществить глубокий анализ имеющихся работ, высказанных в них идей и результатов н на его базе осуществить необходимый синтез.
В 1931 г. бьша опубликована большая статья А.Н, Колмогорова "Об аналитических методах в теории вероятностей", а через три года работа А.Я. Хинчина "Теория корреляции стационарных стохастическнх процессов", которые следует считать началом построения общей теории случайных процессов. В первой из этих работ были заложены основы теории марковских процессов, а во второй — основы стационарных процессов. Они были источником огромного числа последующих исследований, среди которых следует отметить статью В.
Феллера '*К теории сгохастических процессов" (1936), павшую интегро-дифференциальные уравнения для скачкообразных марковских процессов. Обе только что упомянутые основополагающие работы содержат не только математические результаты, но и глубокий философский анализ причин, послуживших исходным пунктом для построения основ теории случайных процессов. Приведем с целью ознакомления с этим аспектом исследований довольно большой отрывок из введения к работе А.Н. Колмогорова. 'Желая подвергнуть математической обработке явления природы или социальной жизни, необходимо предварительно зти явленкя схематизировать; дело в том, что к исследованию процесса изменения некоторой системы математический анализ применим лишь в том случае, если предположить, что каждое возможное состояние этой системы может быль вполне определено с помощью известного математического аппарата, например, при помощи значений, принимаемых известным числом параметров; такая математически определимая система есть не сама действительность, но лишь схема, пригодная дчя описания действительности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
