Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Ыы вначале рассмотрим эту зщачу дчя простейшего случая — для схемы Бернулли. Это вполне естественно; тем более, что это соответствует историческому ходу исследований. Обозначим через ц„число появлений события А в л независимых испытаниях и рассмотрим разности 5„= ц„— пр. В 1909 г. Э. Борель дап обобщенную формулировку закона больших чисел, показав, что имеет более сильное утверждение, а именно (5„! О) = 1. Через четыре года бь Хаусдорф (1868 — 1942) доказал, что имеет место еще более сильное утверждение, а именно,что при любом е > 0 Год спустя, Г.
Харди (1877 — 1947) и Лж. Литвуд (1885 — 1977) обнаружили еще более сильное предлохсенне, согласно которому с вероятностью ециница отношение ) 5ч Н,,/л )пл остается ограниченным. В 1922 г. А Я. Хинчин дал для роста сумм5н оценку 5„= О (х7и )п (ц л). ЧеРез Два года А Я. Хинчин нашел окончательный РезУльтат. 433 3 18. Закон повторного логарифма Оказалось, что Р !нц эор !~л! =1 =!. В 1926 г. А.Я. Хинчнну удалось распространить этот результат на случай схемы Пуассона, т.е. на случай последовательных испытаний с переменной вероятностью появления события А. Работа А.Н.
Колмогорова 1929 г. значительно перекрывала результаты А.Я. Хинчина, которые являлись для нее простыми следствиями. Этими словами мы не хотим преуменьшить значения работ А.Я. Хинчина, поскольку открыть новую эакономерносп, даже на простом случае заслуживает самой высокой оценки. Пусть имеется последовательность 1„1„... взаимно независимых случайных величин, имеющих математические ожидания аа = М(а и дисперсии Ьа =0(1„ н л Вл = ~ Ь),. 5л = Е (Ря — аз,).
Если последовательность 11 Уловлетворяет 1=1 а=1 В„ еше Двум УсловиЯм: пРи л 1) Вл, 2) !1„! < тл = о , то она !л!лВл г удовлетворяет закону повторного логарифма, т.е. для нее выполняется соотношение Р Вш эцр !Хл ! ,/тю„'ъ ья; Иными словами было высказано следующее утверждение: в высказанных предположениях при любых положительных е и 6 можно указать столь большое целое число А', что 1) вероятносп того, что хотя бы при одном л > А'выполнится неравенство !Вв ! > (1 + 6) ъ/2 В„1л 1лв„ меньше е и 2) вероятность того, что хотя бы для одного л > й будет выполнено неравенство больше 1 — е .
Позднее задачей повторного логарифма занимались многочисленные исследователи — П. Леви, В. Феллер, Зигмунд и Марцинкевич„Хартман, Т.А.Сарымсаков, В.В. Петров, Б.В. Гнеленко и лр. Среди многих прекрасных результатов мы выделим лишь один: если слУчайные величины (а одинаково РаспРеделевы и имеют конечнУю дисперсию (конечно, отличную от нуля), то это условие достаточно для выполнения закона повторного логарифма. Как показал А.И. Мартнкайнен, этот результат да. пускает обращение ) *) Обрюцение закона повторного логарифма для случайного блуждания ЛТеория вероятностей и ее применения.
— 1980. — Т, 25, вып. 2. — С. 364 — 366. Гл. 3. Понятие случайной величины Аналогичная задача была поставлена для устойчивых распределений, отличных от нормального. При этом выяснилось (Б.В. Гнеденко), что для любой неубываюшей функции ы (н) и для любого устойчивого законас показателем а(0 < о < 2) ~5 ! с вероятностью единица отношение (вп зор равно 0 или бесконечности. в И(л) б 19.
Формирование понятий математического ожидания и дисперсии Понятие математического ожидания в самых начальных его элементах было введено в теорию вероятностей очень рано: впервые оно появилось в известной переписке Паскаля с Ферма. В более явной форме оно было введено Гюйгенсом. Именно, первые три предложения являются ничем иным как определением математического ожидания для случайных величин, способных принимать два или три значения. Как мы уже говорили в первой главе сам термин ожидание был предложен Схоутеном— учителем Гюйгеиса.
Этот термин прижился и сохранился до нашего времени. Но в ту пору этому термину придавался смысл ожидания той средней цены, которую можно дать за приобретение случайной величины, даюшей выигрыш х, с вероятностью р,, выигрыш ха с вероятностью р,,..., выигрыш х„с вероятностью р„. Эта мысль красной строкой проходит и в книге Н.
Бернулли "О применении искусства предположений в вопросах права*'. Он писал там, что "правило это (вычисления ожидания — Б.Г.) тождественно с тем, с помощью которого обыкновенно отыскиваются среднее арифметическое нескольких данных величин, а также и с тем правилом смешения, на которое счел уместным сослаться мой дядя*( Палее он рассмотрел пример, заимствованный из рукописи книги Я,Бернулли "Искусство предположений'*: "Если три кружки пива ценой по 13 смешиваются с 2 кружками ценой по 8, то после перемножения 3 на 13 и 2 на 8 получится общая цена всех кружек — 55, что дает путем деления на число всех кружек, т.е. 5, среднюю цену одной кружки смеси, равную 11.
Такова же должна быть, согласно правилу, и оценка величины ожидания чего-либо, что будет иметь 3 случая по 13 и 2 случая по 8*( Заметим, что сказанное является ничем иным как повторением правил Гюйгенса. Заслуживает внимания не только то, что Н. Бернулли рассмотрел ожидание для случайных величин, принимюошнх не только два илн три значения, но и большее число значений, но и нечто совсем новое, а именно сравнение формулы для вычисления математического ожидания с правилом вычисления координат центра тяжести системы материальных точек. Вот подлинные слова Н. Бернулли, нз той же книги "Еше более заслуживает быть отмеченным особое и исключительное совладение, наблюдающееся между этим правилом и тем, которое рекомендуется для нахождения центра тяжести нескольких грузов; действительно, ведь сумма моментов, т.е.
сумма произведений весов на соответствующие расстояния от какой-либо данной точкИ, делеиная на сумму весов, показывает расстояние от центра тяжести, т.е. той точки, по отношению к которой подвешенные грузы находятся в равновесии, точно также и та средняя, которая получается согласно настоящему правилу, является, так сказать, центром тяжести всех вероятностей, который их так уравновешивает, что ни та, нн другая из них, отклоняясь в ту или другую сторону от средней, ие перевешивают друг друга. В целях соблюдения такого же равновесия в сомнительных н темных делах наши юристы придерживаются обычно середины.'* Для ХЬ'П1 зека обращение к математическому ожиданию было не характерным. Все внимание привлекало понятие вероятности случайного события.
В энциклопедии науки о вероятностях — знаменитой книге П. Лапласа "Аналитическая теория вероятностей" — нет определения математического ожидания и тем более правил действий с иим. Возможно, зто связано с тем, что Лаплас не рассматривал и понятия 4 19. Математическое ожидание и дисперсия 435 случайной величины, вместо этого ои изучал ошибки наблюдений, плотности их распределений и даже вывел и использовал формулу для плотности суммы двух независимых ошибок. Правда, при этшл он не говорил о том, что рассматривались независимые, поскольку другие и не изучались. Казалось бы создание и развитие теории ошибок наблюдений должно было стимулировать развитие числовых характеристик случайных величин (которые в ту пору еще назывались ошибками измерений). Однако этого не случилось.
Впрочем, для нормального распределения были введены понятия истинного значения и точности наблюдений; было известно как их вычислять по плотности распределения. Таким образом для этого частного случая уже была известна формула лдя вычисления математического ожидания и дисперсии. Обратим внимание на то, что в начале Х1Х века нормальное распределение затмило собой все остальные, поскольку с ним столкнулись в теории ошибок наблюдений и, казалось, доказали в работах Гаусса и Лежандра, что распределение ошибок наблюдений должно бьюь нормальным. С ннм же столкнулись в теории стрельбы.
Бельгийский биолог Кетле давал многочисленные свидетельства того, что и в биологии нормальное распределение играет центральную раль. Остальные распределения потеряли интерес, о них попросту не думали. Несомненно, в связи с этим никто и не помышлял о доказательстве теорем относительно математических ожиданий и дисперсий, поскольку для нормального распределения все уже было известно. В связи со сказанным интересно заметить, что в книге П.Л. Чебышева "Опьп элементарного анализа теории вероятностей" (М., 1845) понятия случайной величины, математического ожидания и дисперсии даже не упоминаются. Однако в курсе лекций по теории вероятностей, который систематически он читюз в Петербургском университете, Чешев говорит о величинах (имея в виду случайные величины), кх математическом ожидании и дисперсии.
Более того, в этих лекциях (записанных А.М. Ляпуновым, переписанных у него А.Н. Крыловым и изданных в 193б г. в издательстве АН СССР) было сказано, что "ойо (понятие математического ожидания) имеет большее значение на практике, чем сама вероятностк потому что на основании ее у нас составлвется суждение о том, что мы можем ожидать перед появлением известного события" (с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
