Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Классическая механика пользуется лишь такими схемами, прн которых состояние у системы дяя момента времени г однозначным образом определяется ее состоянием х в любой предшествующий момент г,; математически это выражается формулой у = У(х, г,, О. Если такая однозначная функция существует, как это всегда предполагается в классической механике, то мы говорим, что наша схема есть схема вполне дегермалироеаялоео процесса. К числу вполне детерминированных процессов можно было отнести и те, в которых состояние у не вполне определяется заданием состояния х для единственного момента времени г, существенным образом зависит еше от характера изменения этого сосшяння перед моментом г.
Однако обычно предпочитают избегать такой зависимости от предшествующего поведения системы, для чем расширяют само понятие состояния снсгемьч в момент времени г и соответственно этому вводят новые параметры *) . *) Хорошо известный пример применения этого метода мы имеем при описании состояния некоторой механической системы не только координатамн ее точек, но также и компонентами их скоростей.
б 20. Общие представления 439 Вие области классической механики, наряду со схемами вполне детерминированных процессов, часто рассматриваются и такие схемы, где состояние х снстемь1 в некоторый момент времени г, обуславливает лишь известную вероятность лля наступления возможного состояния у в некоторый последующий момент г > г,.
Если для любых заданных г„г > г, их сушесгвуетопределенная функция распределения вероятностей Лля состояния у, мы говорим, что наша схема есть схема сгохясгическн олределелиоео процесса. В общем случае эта функция распределения представляется в виде Р(г„х, г, А), причем А обозначает некоторое множество состояний, а Р есть вероятность того, что в момент г окажется реализованным одно из состояний А, принадлежащих этому множеству". Но не общефилософское содержание является основным достоинством этой работы А,Н.
Колмогорова. В ней бьши заложены основы теории случайных процессов беэ лоследействня и получены дифференциальные уравнения (прямые и обратные), которые управляют вероятностями перехода. В этой же работе был дан набросок теории скачкообразных процессов без последействия,подробное развитие которой позднее было дано В. Феллером и В.М.
дубровским. В настоящее время теория марковских процессов превратилась в большую и разветвленнуюглаву математической науки, которая получила огромное число ражглчных применений в физике, инженерном деле, геофизике, химии н ряде других областей знания. Построение основ другого класса случайных процессов на базе физических задач бьшо осуществлено А.Я.
Хинчнным в упомянутой нами работе. Он ввел понятие стационарного процесса в широком и узком смысле и получил знаменитую формулу для коэффициента автокорреляций. Эта работа послужила основанием для последующих исследований Г. Крамера, Г. Вальда, А.Н. Колмогорова и многих других ученых. В процессе развития теории случайных процессов произошло разделение близких понятий.
Если случайная величина $(г) илн вектор ((, (г),..., („(г) ) со значениями на числовой прямой зависит от одного вещественного параметра г, то принято говорить о случайном процессе ((г). При этом, как правило, параметр г носит название времени. Если время принимает дискретную последовательность значений г„г „.. то говорят не о случайном процессе, а о случайной последовательности. Если хе случайная величина ( (или вектор) зависит не от одного, а от нескольких параметров, то ее называют случайным полем. Со случайными полями столкнулись раньше всего в биологии и геофизике, а затем оказалось, что практически все области знания приводят к необходимости рассмотрения наряду со случайными процессами и случайных полей.
Рассмотрим примеры. Обозначим через р(г, х, у, з) плотность воды в океане. Эта величина изменяется от одной точки к другой и от одного момента времени к другому. Как показывают многочисленные наблюдения, р можно рассматривать как случайное поле. Рассмотрим изменение силы и направления ветра. Зля каждого момента времени и каждой точки пространства сила ветра у'(г, х, у, з) является скалярной величиной, а направление ветра г(г, х, у, т), о (г, х, у, з), у (г, х, у, з) — случайным вектором.
Зто типичный пример скалярного и векторного полей. Число примеров случайных полей, относящихся к различным областям знанкя, можно продолжать практически неограниченно. В истории каждой науки постоянно приходится сталкиваться с такими ситуациями, когда эта наука еще ие создана, а исследователи рассматривают отдельные задачи, которые относятся к ее компетенции. Так было с арифметикой и геометрией, алгеброй и теорией чисел. С таким же положением мы сталкиваемся н в теории случайных процессов. Этой теории еще не было, не было и свойственных ей понятий, не было даже идеи рассмотрения изменения случайной вели юны во времени, а отдельные задачи в этом направлении уже изучались.
Лля примера еще Н. Бернулли, Монмор и 440 Гл. 4. К истории теории случайных процессов Муавр заиимэлнсь задачей о разорении игрока и состоянии игроков после и партий. Это типичная задача теории случайных процессов, в которой число сыгранных партий играет роль времени. Такая же ситуапля складывается и с задачей Лапласа перекладывания шаров из урны в урну и подсчета содержания урны после л перекладываний. Всегда новое рождается в недрах старого и со временем вырастает из становящихся тесными рамок уже установившихся представлений и понятий. В результате появляется необходимость выделения специальной области научных исследований. Первоначально же отдельные новые задачи решаются в рамках старых представлений, как правило специальными приемами, создаваемыми лля каждой задачи.
Но время еще ие созрело лля выделении соответствующей новой ветви научного знания. Требуется иногда длительный срок, чтобы первоначальные идеи и отдельные задачи сформировались и дали начаю новой теории со своими постановками проблем и методами исследования, позволюощими продвинуться по пути познания явлений окружающего нас мира. Теоряя вероятностей имеет богатую н поучительную историю. Она наглядно показы. вает как возникали ее основные понятия и развивались методы из задач, с которыми сталкивался общественный прогресс.
Истрия теории вероятностей еще далека от совершенстваа и требуется систематическая работа дпя того, чтобы восстановить пройденный путь и воздать должное ее создателям. При этом мы увидим как человечество переходило от первичных догадок к более полному и совершенному знанию, как создание теории вероятностей позволяло переходить от строгих детерминистических представлений к более широким стохастическим концепциям, тем самым открывая новые возможности дпя глубоких заключений о природе вещей. Теория вероятностей продолжает бурно развиваться, в ней появляются новые направления исследований — оптимальное управление случайными процессами, теория мартиигалов, теория просачивания, случайные операторы, вероятностные закономерности на алгебраических и топологических структурах.
Эти направления представляют значительный общетеоретический и прикладной интерес. Практически исторический очерк ограничивается во времени сороковыми годами нашего столетия и только отдельные замечания относятся к более позднему времени. Я надеюсь на то, что вопросы истории теории вероятностей заинтересуют некоторых читателей и им удастся существенно дополнить настоящий очерк в ряде направлений, Гл. 4. К истории теории случайных пронес ов (Окончание) 442 х Таблица значений функции Ф(х) = ! е ~/2е о х о 1 0,0 0,0000 0040 0080 0199 0596 0987 1368 1736 2088 2421 2734 3023 3289 3531 3749 3943 4115 4265 4394 4505 0398 0438 0793 0832 1179 1217 !554 1591 1915 1950 2257 2291 2580 2611 2881 2910 3159 3186 3413 3437 3643 3665 3849 3869 4032 4049 4192 4207 4332 4345 4452 4463 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,1 0,2 О,З 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 0043 0032 0023 00!7 0012 0008 0006 0004 0003 0002 0042 0031 0022 0016 0012 ОООО 0006 0004 0003 0002 0478 0871 1255 1628 1985 2324 2642 2939 3212 3461 3686 3888 4066 4222 4357 4474 0040 0030 0022 0016 0011 0008 0005 0004 0003 0002 0120 0517 0909 1293 1664 2019 2356 2673 2967 323 8 3485 3708 3906 4082 4236 4370 4484 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 0159 0557 0948 1331 1700 2054 2389 2703 2995 3264 3508 3728 3925 4099 4251 4382 4495 ООЗВ 0028 0020 00!5 0010 0007 0005 0004 0002 0002 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0239 0636 1026 1406 1772 2123 2454 2764 3051 3315 3554 3770 3962 4131 4279 4406 4515 0036 0026 00!9 00!4 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0279 0675 1103 1443 1808 2157 2486 2793 ЗО78 3340 3577 3790 3980 4147 4292 4418 4525 0035 0034 0025 0025 0018 0018 0013 0013 0009 0009 0007 0006 0005 0004 0003 0003 0002 0002 0001 0001 0319 0359 0714 0753 1064 1141 1480 1517 1844 1879 2190 2224 2517 2549 2823 2852 3106 3133 3365 3389 3599 3621 3810 3830 3997 40!5 4162 4177 4306 4319 4429 4441 4535 4545 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1.
Боровков А.А. Теория вероятностей. — 2.е изд. — Мл Наука, 1986. 2. Гихмеи И И., Скороход А В., Ядренко М И. Теория вероятностей и математическая статистика. — Киев: Виша школа, 1979. 3. Гихмаи И.И., СкороходА.В. Введение в теорию случайных процессов. — М. Наука, 1977. 4. Гнедеяко Б.В., Колмоеорое А.Н. Предельные распрецеления для сумм независимых случайных величин. — М2-Пл Гостехнэдат, 1949. 5. Венгиель А.Д. Курс теории случайных процессов. — Мп Наука, 1975. 6.
Карпин С Основы теории случайных процессов. — Мл Мнр, 1975. 7. Кендалл М., Морен П. Геометрические вероятности. — М л Наука, 1972, 8, Климов ГП. Теория вероятностей и математическая статистика. — Мл Изд.во МГУ, 1983. 9, Климов Г.Л., Кузьмин А.Д. Вероятность, процессы, статистика; Задачи с решешшми. — Мл Изд-во МГУ, 1985. 10, Коваленко ИН., Кузнецов НЮ., Шуренков ВМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
