Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 79
Текст из файла (страница 79)
что оно обладает двумя следующими свойствами: 1) среднее арифметическое ошибок наблюдений, распределенных по закону Коши, имеет то жс раслр«деление, что и каждое слагаемое; 2) для этого распределения точность не повышаетси от того, что берется среднее арифметическое результатов нескольких наблюдений.
Этот мемуар был опубликован в 1832 г. На тридцать лет позднее, в 1853 г. в мемуаре "О сревних результатах наблюдений той же природы и о результатах наиболее вероятных" О. Коши получил характеристическую функцию для всех тех распределений, для которых функция распределения суммы только на множитель при аргументе (коэффициент растяжения) отличается от распределения отдельных слагаемых.
Коши нашел, что все такие функции имеют вид 7(х) = ехр( — г ), где л — положительное число. Позднее выяснилось, что 7(г) тогда я и ~олько тогда является характеристической функцией, когда 0 < в < 2. Гл. 3. Понятие случайной величины 430 П. Леви в книге пфа(сп! без ргодаЬ!Вте" (1 925) в главе У! "Экспоненциальные распределения" построил первую теорюо устойчивых распределений.
Эта теория, естественно продолжала исследовании О. Коши, уйдя от них далеко вперед. Пуси, Е(х) — функция распределения и /(г) — ее характеристическая функция. Распределение Ь(х) называется устойчивым, если при любых положительных постоянных а, на, найдется такое положительное постоянное а, что выполняется равенство )(а, г) . ~6т,г) =1(аг). В терминах случайных величин рассмотренный класс распределений облацает следУющим хаРактеРистическим свойсшом: если 1, и (з — независимые слУчайные величины с одним и тем же распределением вероятностей, а, и а, - произвольные положительные числа, то дпя каждой пары а, и а, найдется такое положительное число а, что сУмма а,(, +а,(з имеет такое жеРаспРеделение как аП.
П. Леви указал, что для устойчивых распрелелений функция г(Г) имеет вид г ехр[- с(1 + 15 — ) ~ г ! ], где 0 < а к 2. П. Леви также ввел понятие обчасзп лригяженил устойчивого закона: множество всех тех распределений Р(х), для которых функции распределения независимых и распределенных по атому закону случайных величин при соответствующем нормировании сходятся к ланяому устойчивому распределению. В 1 935 г.
А.Я. Хинчин пополнил понятие устойчивого распределения, введенного П. Леви, а именно: он предложил называть устойчивыми те распределения, для которых линейная форма а,(, таз(з лри произвольных положительных постоянных а, и аз имеет такое же РаслРеделейие, как а(, + Ь, где а — некотоРое положительное, а Ь— вещественное постоянное. Класс устойчивых в смысле Хинчина распределенкй оказжся несколько шире класса П. Леви, В 1939 г.
независимо друг от друга Б.В. Гнеденко и В. Лейлин нашли области притяжения устойчивых распределений. Условия принадлежности области притяжения устойчивого закона очень просты и сводятся к поведению *'хвостов*' распределений— поведению исходного распределения при больших значениях аргумента. Основной результат, принадлежащий П. Леви и А.Я. Хиичину, можно сформулировать так: если 1„1„... — последовательность опинаково распределенных независимых случайных величин, то суммы 1~+ +"л Ал 5» = Вл при наплежащем выборе постоянных Вл > 0 и вещественных Ал могут сходиться только к устойчивым законам распределения.
Каждый устойчивьзй закон является предельным для функций распределения сумм (1) . В заметке 1936 г. П. Леви и А.Я. Хинчин дали окончательное представление устойчивых распределений через логарифмы характеристической функции. Чтобы функция иО) была характеристической функцией устойчивого распределения, необходимо и лотаточно следующее ее представление: )пи(г)=!те с!г! ~!+(д —,(г,о) 3 17.
Обпзие предельные распределения для сумм где а, 11, у, с — вещественные постоянные ( — 1 < () < 1, с в О, 0 < о < 2) и 431 18 — о, сз(Г, а) = 2 2 — )п!тй если а м1, если а = 1. Этот результш полностью заверщил исследования, которые бьщи начаты Пуассоном и Коши. Естественный вопрос о классе предельных распределений для сумм (1), когда слагаемые могут быть распределены не одинаково, бьщ поставлен А.Я. Хинчилым в письме к П. Леви. Вскоре ответ был найден П. Леви.
По прешюженню А.Я. Хинчина этот класс распределений получил наименование класса Е. На слагаемые суммы (а(Вл при этом естественно наложить требование: каждое из слагаемых оказывает на сумму незначительное влияние. Зто требование можно представить так: величины (л)Вл предельно постоянны, т.е, для них можно найти такую последовательиосп, постоянных шлл, что равномерно относительно й (1 < й <л) для любого е > 0 выполняется соопюшеиие Р~ — — шла >е( 0 при л !~Ви и ) Характеристическое свойство законов класса Е, найденное П. Леви, состоит в следующем: чтобы функция зе(г) бьша характеристической функцией закона класса Е, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: лри каждом а (О < а < 1) ИМЕЕТ МЕСТО РаВЕНСтВО П(т) =П(ат)7" (Г), ГДЕ уо(Г) — НЕКОтОРаа ХаРаКтЕРИСтИЧЕСКаЯ функция.
На этом история вопроса не завершилась, поскольку для полного завершения проблематики оставалось ответить еще на один вопрос, поставленный Б.В. Гнеденко. Каковы классы возможных предельных распределений, если случайные величины йы(з,...,(л,... могут быть распределены только пой (1 <)с < ) различным законам распределения Р, (х), Ез(х),..., Щх) ". Полисе решение этой задачи было дано в 1971 г. А.А. Винтером.
В рассмотренном круге вопросов бьша изучена еще опна задача: а что будет, если рассматривать суммы (1) одинаково распределенных независимых слагаемых не ло всем значениям л, а только цо некоторой подпоследовательности? Какие прецельные распределения при этом могут встретиться? Зтот вопрос был поставлен А.Я. Хиичиным; он же дал на него ответ: класс возможных предельных распределений в только что указанном ачысле совпадает с классом безгранично давимых распределений, в 1930 г.
введенным итальянским математиком Бруно де Финетти и подробно исследованным А.Н. Колмогоровым, П. Леви и А.Я. Хинчиным. Случайная величина называется безгранично делимой, если для любого целого числа л ее можно представить в виде суммы л независимых одинаково распределенных слагаемых. Отсюда и название этих величин. В 1933 г. А.Н. Колмогоров высказал гипотезу, что если суммируются примерно равноправные независимые случайные величины, то при увеличении числа слагаемых из распределения будут приближаться к безгранично делимым законам и, следовательно, если распределения последовательных сумм будут сходиться к предельному,то этот предельный закон обязательно должен быль безгранично делимым, В предположении, что слагаемые имеют конечные дисперсии, а дисперсии последовательных сумм ограничены эту гипотезу доказал ученик А,Н.
Колмогорова Г.М. Бавли (1908 — 1941) в 1934 г. В полном объеме зта гипотеза была доказана А.Я. Хиичиным с привлечением 432 Гл. 3. Понятие случайной величины довольно громоздких аналитических средств через три года. Отправляясь от этой работы, Б.В. Гнеденко построил теорию суммирования независимых случайных величин, основанную на сравнительно легко доказываемом факте: сели суммируются предельно постоянные независимые слагаемые и функции распределения соответствующих центрированных сумм сходятся к некоторому предельному, то можно построить последовательность безгранично делимых случайных величин, функции распределения которых сближюотся с функциями распределения сумм.
Эти безгранично делимые величинъ~ получили название сопровождающих. Из этого предложения в качестве частных случаев получались теоремы Бавли и Хинчнна. Кроме того, этот подход давал возможность совершенно прозрачно найти условия существования предельных распределений и условия схоцнмостн функций распределения сумм к любому возможному предельному распределению. В частности, были найдены необходимые н достаточныс условия для закона больших чисел, для сходнмости к нормальному распределению, распределению Пуассона, устойчивым распределениям. Весь круг этна вопросов нашел отражение в монографии Б.В.
Гнеденко и А.Н. Колмогорова "Предельные распределения лля сумм независимых случайных величин" (1949). В последние годы большее число исследователей приступило к изучению предельного поведения сумм независимых случайных слагаемых в случайном числе. Первоначально усилия были сосредоточены только на условиях сходимости к нормальному распределению и выполнимости закона больших чисел. Позцнее были поставлены вопросы о классе предельных распределений и об условиях существования предельного распределения. Эту задачу удалось решить в условиях одинаковой распределенности и независимости слагаемых, а также независимости индекса суммирования от слагаемых.
Заметим также, что к самой постановке этих задач привели вопросы теории надежности н физики. Основная теорема, относящаяся к названной проблематике, получила наименование теоремы переноса. б 18. Закон повторного логарифма От закона больших чисел взнла начало новая предельная закономерность, получившая наименование закона повторного логарифма. Эта теорема не ставит перед собой цели разыскания предельного распределения, но зато перевоцит задачу рассмотрения последовательных сумм совсем в новую область, а именно изучает поведение этих сумм всех вместе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
