А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Доказать, что если события А, В и С независимы в совокупности, то события А, В,С также независимы в совокупности, и независимы в совокупности события А,В, С. Р еще ни е. Проверим сначала, что вероятность произведения событий А, В, С распадается в произведение вероятностей. Применяя следствие 3 3 3, получим ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Применяя 11-ое свойство операций над событиями и форму- лу сложения вероятностей, получим Р(ВС) ='Р(В+ С) = 1 — Р(В+ С) = = 1 — Р(В) — Р(С) — Р(ВС) = = (1 — Р(В))(1 — Р(С)) = Р(В)Р(С).
Аналогично можно доказать независимость в совокупно сти событий А,В,С. Задача 4. Показать, что если события А, В и С независимы в совокупности, то события А — В, С независимы, а также независимы события А+ В, С. Р е ш е н и е. Воспользуемся предыдущими результатами и восьмым свойством операций над событиями. Тогда Р((А — В)С) = Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) = = Р(АВ)Р(С) = Р(А — В)Р(С). Несложно также доказать, что события А+ В, С независимы. Приведенные в задачах утверждения свидетельствуют в пользу следующего факта, который мы сформулируем без доказательства.
Пусть и независимых в совокупности событий разбиты на Е групп, не содержащих общих событий, /с ( и. Над событиямн внутри каждой группы произведены любые операции: сложения, умножения, вычитания и т. д. Тогда получившиеся в результате Е новых событий будут тоже независимыми в совокупности. Этот факт отвечает нашим интуитивным представлениям о независимости. ЗАдАч и Задача 5.1. Пусть события А и В1 независимы и независимы также события А и Вз, при атом В1Вз —— 8.
Доказать, что события А и В1 + Вз независимы. Зэ,цача 5.2. Бросили монету и игральную кость. Определить, зависимы или независимы события: А = (выпал "герб" ); В = (выпало четное число очков). Е. ОБШЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Задача 5.3. Брошены последовательно три монеты. Определить, зависимы или независимы события: А = (выпадение "герба"на первой монете); В = (выпадение хотя бы одной "репжиэ1. Задача 5.4. В урне 9 белых шаров и 1 черный шар.
Вынули сразу три шара. Какова вероятность того, что все шары белые? Звцача 5.5. Буквы слова ПОКОЛЕНИЕ выписаны на карточках. Наудачу вынимают орду карточку за другой и укладывают попорядку. Найти вероятность того, что получится слово ПОЛЕ. Задача 5.6. В двух ящиках находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных,а во второй соответственно 10, 8 и 8.
Из каждого ящика наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета? Задача 5.7. Лва стрелка поочередно стреляют по мишени до первого попадания. При каждом выстреле вероятность попадания для первого стрелка равна 0.2, а для второго равна 0.3. Найти вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй. Задача 5.8. Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой, если она содержит 5% бракованных деталей? 16.
Овщев ОпРеДеление ВеРОЯтнОсти Ло сих пор мы рассматривали такие примеры случайных экспериментов, в которых все исходы были равновозможны. Однако для многих экспериментов исходы не являются равновозможными. Приведем простой пример. Пример. Пусть есть однородная проволока длиной 1 метр с несколькими узлами, например, с тремя. Тогда мы не можем считать, что при растяжении проволоки за концы вероятность разрыва в узле будет такой же, как и в остальных точках проволоки. Вероятнее всего проволока будет рваться в узлах. Пусть все узлы одинаковы,и вероятность 40 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ разрыва в каждом из них равна положительному числу р, такому, что р ( 1/3, поскольку вероятность всех исходов должна быть равной единице.
Разрывы в остальных точках ввиду однородности проволоки равновозможны, поэтому вероятность разрыва в А — множестве точек проволоки, не содержащем узлы, должна быть пропорциональна его длине, т. е. пропорциональна шевА. Отсюда легко понять, что если множество А не содержит узлы, то естественно положить Р(А) = (1 — Зр) тезА, если А содержит один узел, то Р(А) = (1 — Зр) шезА+ р, если А содержит два узла, то Р(А) = (1 — Зр)тевА+ 2р, и если А содержит три узла, то Р(А) = (1 — Зр) п1езА+ Зр. В этом примере мы встретились со смешанной ситуацией, в которой участвуют как геометрические вероятности, так и вероятности, отвечающие классической схеме.
Это достаточно простой пример. В сложных примерах невозможно выписать явные формулы для вероятностей произвольных событий, однако можно сформулировать общие свойства, присущие вероятностям любых событий. Перейдем к изучению основ теории вероятностей в общем случае. Естественно ожидать, что они будут учитывать все известные нам результаты для частных случаев. Пусть Й вЂ” произвольное множество, природа элементов которого нам совершенно безразлична. Оно может быть как счетным, так и несчетным. Предположим, что Й является пространством всех элементарных исходов для какого- нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует ровно одна точка из Й, а разным результатам отвечают разные точки.
Выделим некоторую совокупность подмножеств Й, обозначим ее А. Множества из А будем трактовать как случайные события. Естественно потребовать, чтобы события, полученные из А в результате рассмотренных нами выше (в ~ 2) операций над событилми, снова принадлежали бы А. Это, конечно, налагает на совокупность множеств А некоторые условия, что приводит нас к следующим ниже определениям алгебры и о-алгебры событий. Определение 1. Совокупность А подмножеств множества Й называется алгеброй, если выполнены следующие 6. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ аг условия: 1) П Е А; 2) если А Е А и В Е А, то А + В Е А; 3) если А Е А, то А Е А.
Пример. Пусть П = [0,1). Тогда на отрезке [0,1) все множества, состоящие из конечного числа интервалов вида [а,б), образуют алгебру. Оказывается, что условий 1) — 3) достаточно для того, чтобы другие операции над событиями из А не выводили бы нас за пределы алгебры А. Это вытекает из следующего утверждения. Предложение 1. Пусть А — алгебра. Тогда а) И Е А; 6) гсгаАЕА иВЕА, тоАВЕА; в) гслиАЕА аВЕА, то А — В Е А; г) если Аь Е А,1 = 1,2,,а, то ~ г г Аь Е А; а П,", Аь Е 4. Доказательство.
а) В силу условий 1), 3) имеем Еь = = Й Е А. б) По свойству 10) з 2 АВ = А+ В, и, следовательно, АВ = АВ = А+В. Согласно условию 3) А Е А,В Е А, а тогда по условию 2) А+ В Е А. Снова воспользовавшись условием 3), имеем А+ В Е А, а ато и означает, что АВ Е А. в) В силу определения разности событий А — В = АВ. Согласно условию 3) В Е А, и по свойству б) АВ Е А.
г) Первое включение устанавливается с помощью многократного применения условия 2). Если Аь+Аг Е А и Аз Е А, то по условию 2) выполняется (Аь + Аг) + Аз Е А и т. д. Второе включение устанавливается аналогично с помощью многократного применения свойства б). Если А|Аз Е А и Аз Е А, то по свойству б) (АьАг)Аз Е А и т. д. Из предложения 1 следует, что любое конечное число известных нам операций над событиями из А не выводит за пределы алгебры. Однако, при рассмотрении многих задач теории вероятностей приходится иметь дело и с бесконечным числом операций.
Пример. Пусть аксперимент состоит в последовательном бросании монеты. Нас интересует событие А = (хотя бы один раз выпал герб). Определим события Аь = (в первые а — 1 бросаний выпала решетка, а при а-м бросании выпал герб), а = 1,2,.... Тогда ясно, что А = ~„~~ Аь. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лля того, чтобы можно было рассматривать бесконечное число операций над событиями, необходимо усилить ограничения, налагаемые на алгебру А. Оп р еде ление 2. Совокупность множеств А называется о-алгеброй, если выполнены условия 1), 3) из онределення алгебры и 2') если А~ Е А, 1 = 1, 2,..., то д" ~ 1 Ас Е А. Условие 2') сильнее, чем 2), поскольку из 2') вытекает 2). Действительно, пусть А1 Е А и Аз Е А. Положим А~ = И при 1 ) 3.
Тогда А1 + Аз = ~ ~1 АН поскольку добавляя в сумму невозможные события Э, мы ничего не меняем. Теперь из условия 2') очевидно следует 2). Используя условие 3) и равенство П~ 1 А~ = ~ ~ А~ легко убедиться в справедливости следующего утверждения. Предложение 2. Пусть А — а-алаеБра. Тоада, если А~ Е А,1= 1,2,..., жо п~ 1А~ Е А.
Таким образом, счетное число операций суммирования или перемножения событий не выводит за пределы а- алгебры. Событиям из а-алгебры А сопоставляются нх вероятности. Вид явных формул, конечно, зависит от конкретной задачи, однако и в общей ситуации можно сформулировать естественные аксиомы и вывести некоторые свойства вероятностей, которые будут выполняться для всех частных случаев. Определение 3. Если каждому множеству нз А сопоставлено некоторое число, то будем говорить, что на А задана функция множеств. Определение 4. Вероятностью называется функция множеств, заданная на а-алгебре А подмножеств из й н удовлетворяющая следующим условиям: 1) Р(А) ) 0 для любого А Е А; 2) Р(й) = 1; 3) если события АИАз,... попарно несовместны, т. е. А,А1 = о для любых 1 ф,), то Р(~~~ А!) = ~Р(А!).
С=1 ьм б. ОБШЕЕ ОПРЕНЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Условия 1),2'),3) в определении о-алгебры А и условия 1), 2), 3) в определении вероятности составляют аксиомы теории вероятностей. Тройка (й, А, Р), удовлетворяюв1ая етнм аксиомам, называется вероятностным пространством.
Остальные уже хорошо известные нам по 13 свойства вероятности выводятся из аксиом. В з3 мы вывели эти свойства, опираясь на классическое определение вероятности для случая конечного числа исходов експеримента. Здесь мы выведем вти свойства исходя из аксиом теории вероятностей. Свойства вероятностей. 1) Р(0) = 1. Это свойство входит в определение вероятности. 2) Р(ю) = О. Лействительно, по аксиоме 3) Р(ю + ) ~, А~) = Р(ю)+ + 2 ~ Р(А~) и Р(~ ~ А~) = 2 ~, Р(А~). Кроме того, й+ Я~ з А~ = ~, А1, поатому левые части этих равенств совпадают.
Отсюда следует совпадение правых частей и выполнение требуемого свойства. Следствие 1. Если события А1 и Аз нссоомсстанм, то Р(А1 + Аз) = Р(А1) + Р(Аз). Это утверждение вытекает из свойства 2) и аксиомы 3), если в нем положить Аз = ю, А4 = и,.... Следствие 2. Если события Ап! = 1,..., н, — иоиарно нссооллсстнм, вс с. А;А = И для любых 1 ф,з, то Р(~~ А~) = ~ Р(А~). ы1 ы1 3) если А С В, то Р(А) < Р(В). Воспользуемся тем, что В = ( — А) + А при А С В. Поскольку события  — А и А несовместны, то применяя следствие 1 и аксиому 1), получим Р(В) = Р( — А) + Р(А) ) Р(А).
4) 0 ( Р(А) ( 1 для любого события А. Это свойство выполняется в силу свойства 3) и аксиом 1), 2). ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5) Р(А) = 1 — Р(А). Поскольку события А и А несовместны и О = А+ А, то 1 = Р(й) = Р(А+ А) = Р(А)+Р(А). 6) (формула сложения вероятностей) для любых событий А и В Р(А+ В) = Р(А)+ Р(В) — Р(АВ). Локазательство. Справедливы следующие представления: А+ В = А+( — А), где события А и В-А несовместны; В = АВ+( — А), где события АВ и  — А несовместны. Поетому в силу следствия 1 имеем Р(А+В) = Р(А)+Р(В-А) и Р(В) = Р(АВ) +Р(В -А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
