А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Нужно учесть, что АВ = И, поскольку одновременное наступление событий "выли рал первый" и "выиграл второй" невозможно. Тогда указанные события означают, что а) первый игрок выиграл или сыграл вничью; б) партия закончилась вничью; в) возможен любой исход партии; г) партия закончилась вничью; д) партия закончилась вничью. 2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ЗАдАчи 21 Задача 2.1. Из таблицы случайных чисел наудачу взято едко число. Событие А — выбранное число делится на б; событие  — данное число оканчивается нулем.
Что означают события А — В и АВ? Задача 2.2. Событие А — хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие  — бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события А и В? Задача 2.3. Когда возможны равенства: а) А + В = А; б) АВ = А; в) А+ В = АВ? Задача 2.4. Совместны ли события А и А+ У? Задача 2.8. Бросают две игральные кости. Пусть А— событие, состоящее в том, что сумма очков равна пяти, а  — событие, заключающееся в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Списать события АВ и АВ. Задача 2.6.
Рабочий изготовил в деталей. Пусть событие А;, 1 = 1, 2,..., в, заключается в том, что 1-я изготовленная 1вм деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что: а) ни одна из деталей не имеет дефектов; б) хотя бы одна деталь имеет дефект. Задача 2.Т.
Событие А — спортсмен прыгнул дальше Т метров, событие  — мужчина прыгнул дальше женщины, событие С вЂ” спортсменка прыгнула дальше Т метров. Что означают события АВС, А — АВ и АВС? Задача 2.8. Пусть А, В,С вЂ” три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А,В,С а) произошло только А; б) произошли А и В, но С не произошло; в) все три события произошли; г) произошло по крайней мере одно из етих событий; д) произошли по крайней мере два события; е) произошло ровно олио из этих событий; ж) произошло ровно два из этих событий; з) ни одно событие не произошло; и) произошло не больше двух событий. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ з 3.
КлАссическОе ОНРеделение Вегоятности Вероятность события характеризует возможность (шанс) осуществления события в ходе сяучайного вксперимента. Смысл вероятности раскрывается в следуззпшх требованиях, налагаемых на вероятности событий. Вероятность события выражается долей от целого, т. е. является числом от нуля до единицы. При атом за единицу принимается вероятность наступления достоверного события, т. е. события, которое обязательно происходит в ходе вкспернмента. Вероятности невозможных событий считаются равными нулю. Если взять произвольный конечный или счетный набор событий, таких что никакие два из них не могут произойти одновременно, то вероятность наступления хотя бы одного из втих событий должна быть равна сумме вероятностей этих событий. Иными словами, шанс наступления суммы попарно несовместных событий равен сумме шансов каждого из событий.
Указанные требования налагают жесткие ограничения на численные значения вероятностей. Вычисление значений вероятностей событий в различных случайных експериментах является предметом теории вероятностей. Лля конкретного случайного зксперимента вероятность конкретного события — объективно существующая величина. Оказывается, что численное значение втой величины проявляется следующим образом, Если случайный вксперимент многократно повторить при одних и тех же условиях и вычислить частоту появлений конкретного события среди всех проведенных экснериментов (чаетота цоявлений события есть отношение числа появлений события к числу зкспериментов), то при неограниченном возрастании числа експернментов зта частота в пределе совпадает с вероятностью события.
При определенных исходных предположениях теории вероятностей вто — строго доказанное утверждение (см. З16). Основной задачей теории вероятностей является разработка правил вычисления вероятностей событий, появляющихся в сложных случайных вкспериментах, по известным вероятностям событий более простыл експериментов. Изучение основ теории вероятностей мы начнем с рассмотрения простых случайных экспериментов, имеющих конечное число исходов. 3, клАссическОе ОпРеделение ВеРОятнОсти тз Пусть пространство элементарных событий конечно: П вЂ” (ог1> .
~ма)- Будем говорить, что на пространстве й за,паны вероятыости, если каждому исходу м1 сопоставлено неотрицательное число р(ыг) так, что выполнено условие нормировки р(м1) = 1. Ы1 Определение 1. Вероятностью события А = ж (о11„ы1„...,ой называется число Р(А), равное сумме вероятностей елементарных исходов, составляющих событие А, т. е. Р(А) = ~~1 р(щ). и~ел Рассмотрим простейшую модель теории вероятностей, которую часто называют "классической схемой". Если в силу тех или иных свойств, обычно связанных с симметрией, каждый влементарный исход експеримента имеет одинаковую возможность осуществиться (исходы равновозможны), то втим исходам естественно сопоставить одинаковые вероятности.
Пусть й = (ь11,мз,...,ы„),и все исходы ыг,ыз,...,И„равновозможны. Тогда полагаем р(м1) = р(ыз) = = ° ° ° = р(м„) = р. В силу условия нормировки ар = 1 или р(о11) = р = 1/н, где и — число исходов експернмента. Лля 1побого множества А символом сагб А (кардинальное число множества А) будем обозначать количество елементов етого множества. Исходы, составляющие событие А, назьтваются благоприятными для етого события.
Тогда в "классической схеме" мы имеем сагб й = п, р(ь11) = —, 1 = 1, 2,..., п, и Р(А) =,~ р(си1) = рсагЬА = —. наел Таким образом, в случае, когда все исходы равновозможны, вероятность события А равна отношению числа благоприятных исходов для события А к общему числу исходов эксперимента. Это — классическое определение вероятности. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Примеры. При бросании правильной монеты Р(Г) = Р(Р) = 1/2.
При бросании игральной кости Р(1) = Р(2) = = Р(6) = 1/6, Р(выпало четное число) = 3/6 = 1/2. В формулировках многих задач при случайном выборе чего-либо будет употребляться слово "наудачу". Это слово означает беспристрастный выбор, при котором все комбинации алементов, которые могут быть выбраны, равно- возможны.
Иногда слово "наудачу" будет заменяться вквивалентным ныражением "случайным образом". Задача 1. Лля участия в лотерее, на карточке, содержащей 49 чисел, нужно отметить 6 чисел. Затем ати числа сверяются с 6 числами, отобранными случайным образом. В зависимости от числа совпавших номеров выплачивается выигрыш, Какова вероятность угадать в лотерее 6 чисел из 49? Решение. В етой задаче П вЂ” совокупность всех сочете ний из 49 чисел по 6, и сагой = С400. Столько существует различных вариантов заполнения карточки, и каждый из них имеет одинаковый шанс стать выигрышным. Благоприятствует выигрышу только одно событие: номер на карточке совпал с отобранным.
Поэтому Р(угадать 6 из 49) = 1 1 1 Свз 10000010 14000000 Задача 2. В ящике т белых и в черных шаров. Шары тщательно перемешаны. Наудачу вынимаются сразу два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые? Р е ш е н и е. Шары можно для удобства пронумеровать числами от 1 до гп+ и.
Поскольку нам не важно, какой шар первый, а какой второй, то возможными исходами експеримента будут различные сочетания из гя+и чисел по 2. Тогда сзгдй = С~,+„. Событию А = (оба белые) отвечают лишь сочетания из пг чисел по 2. Следовательно, сей А = Сз, и Р(А) = —, От ~~~(~ 1) С~~+„(щ+ з)(т+ и — 1)' Задача 3 (де Мере). Егце в Х1~П-ом веке француз Шевалье де Мере задался вопросом: какая сумма очков имеет больше шансов выпасть при бросании двух игральных костей — 11 или 12? Сумму 11 могут составить лишь два чн- 3 КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ела — 5 и б, а сумму 12 тоже два числа — 6 и б.
На первый взгляд шансы у втих событий равны. Так ли вто? Решение. Будем различать игральные кости. Пусть мысленно одна будет красной, а другая — белой. Различных комбинаций очков на разноцветных костях согласно теореме 4 о числе комбинаций Я1) будет 66 = 36. Следовательно, сагбй = 36. Сумма 12 выпадает лишь при одной комбинации, когда на красной кости 6 и на белой б. Таким образом, Р(12) = 1/36.
Сумма 11 выпадает при двух комбийациях, когда на красной б, а на белой 5, и наоборот. Тогда Р(11) = 2/36. Следовательно, сумма очков 11 имеет в два раза больше шансов выпасть, чем 12. Обратимся еще раз к обсуждению понятия вероятности, используя уже рассмотренные нами примеры вкспериментов с конечным числом исходов. С математической точки зрения вероятность — неотрицательное число, которое сопоставляется случайному исходу эксперимента,при етом сумма всех вероятностей, отвечающих различным исходам эксперимента, равна единице. Абстрактная теория занимается в основном разработкой правил пересчета одних вероятностей в другие, предполагая, что исходные вероятности даны и не нуждаются ни в каких обоснованиях их действительных численных значений Выяснению численных значений вероятностей в различных конкретных експериментах посвящена другая математическая дисциплина — статистика. Существуют также аксиерименты, в которых априори ясно, чему равны значения вероятностей.
Таковы, в частности, експерименты с равно- возможными исходами, в которых исходам сопоставляются равные вероятности. По существу ото заложено в самом понятии "равновозможности". Чаще всего вывод о том, какие исходы считать равновозможными, основан на соображениях, связанных с симметрией и однородностью. Если, например, монета симметрична и сделана из однородного материала, то шансы выпадения герба и решетки совпадают, т е.
вероятности равны 1/2. Какой же смысл вкладываем мы подсознательно во фразу "при бросании правильной монеты вероятность выпадеюгя герба равна 1/2", кроме того, что монета симметрична? ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Оказывается, что вероятность проявляет себя, когда один и тот же случайный вксперимент проводится много раз, причем так, что результаты уже осуществленных експериментов никак не влияют на последующие.
При этих условиях частота наступяенвя события при неограниченном возрастании числа експериментов стремится к вероятности события. Пусть правильная монета бросается в рез, и пусть число выпадений герба при етом равно вг. Тогда при неограниченном увеличении числа бросаний монеты частота выпадений 1 ог 1 герба будет стремиться к —, т. е. — -~ — при в -+ оо. Этому 2' е 2 будет дано строгое математическое обоснование в,2 16. Эксперименты не обязательно проводить последовательно,можно одновременно провести много одинаковых експериментов. Например, в лотерее из задачи 1 участвуют сразу много людей. Считаем, что однш человек заполняет одну карточку, в которой отмечает 6 чисел из 49 возможных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
