А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Процесс заполнения карточкн отдельным человеком — случайный експеримент. В результате доля людей, угадавших 6 из 49, будет близка к вероятности, которую мы вычислили в задаче 1. Так, если в лотерее участвовало 56 млн. человек, то угадавших 6 чисел будет скорее всего 4, поскольку 4 1 50000000 14000000 Свойства вероятностей. 1) Р(11) = 1 в силу условия нормировки; 9) Р(Е~) = О, поскольку сумма, в которой нет слагаемых, равна нулю; 3) если А С В, то Р(А) ( Р(В), так как выражение для вероятности Р(В) по сравнению с Р(А) содержит дополнительные неотрицательные слагаемые; 4) 0 ( Р(А) < 1 для любого события А, что следует нз свойств 3) и 1); 5) Р(А) = 1 — Р(А), так как Р(А)+Р(А) = 1 р(ьл)+ ~ р(ьл) = ) р(ы1) = 1; мЕА мел ичей 6) (формула сложения вероятностей) для любых событий А и В Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).
3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 27 Лействительно Р(А+ В) = ~ р(ь>>) = о>ЕА+В = „).'„РМ) + ~~~ Р(аи) — ~~, Р(~д = Р(А) + Р(В) — Р(АВ). и>ел н>ев м>ЕАВ Следствие 1. Есаи АВ = И, пь а. собмп>ил А и В насоамес>пнм, >по Р(А+ В) = Р(А) + Р(В), Следствие 2. Если собмтил Ап! = 1,2,..., и, попарно несоамас>пнм> е.
е. А~А? = >3 дал л>обмз1 ф у> >по Р(~~~ Ас) = ~ь Р(Аю). ьы М1 Это равенство несложно доказать по индукции, используя следствие 1 и свойство 10>) З 2> нз которого следует несовместность событий Аз+1 и ~„~~ 1 А> для любого Е Следствие 3. Есаи С С В п>о Р( — С) = Р(Р) — Р(С). действительно, события Р-С и С несовместны, а их сумма, составляет событие Р. Тогда по следствию 1 Р(В) = Р( — С)+ Р(С). Задачи Задача 3.1.
В выпуклом двадцагиугольнике случайным образом берут лве вершины и соединшот отрезком. Чему равна вероятность того, что отрезок является диагональю двалцатиугольника? Задача 3.2. Наудачу взят телефонный номер, состоящий из пяти цифр. Чему равна вероятность того, что все цифры различные? 26 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Задача 3.3. На полке стоят 15 книг, 5 из них в переплете. Берут наудачу три книги. Какова вероятность того, что все три книги в переплете? Задача 3.4. В ящике 20 шаров с номерами 1, 2,..., 20. Наудачу выбираются шесть шаров. Найти вероятность того, что среди них есть шары с номерами 1 и 2.
Задача 3.5. Среди 100 фотокарточек есть'одна фотокарточка знаменитого артиста. Взяли наудачу 10 фотокарточек. Какова вероятность того, что'среди них есть фото артиста? Задача 3.6. Из 12 лотерейных билетов, среди которых есть 4 выигрышных, наудачу берут 6. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выигрышный? Задача З.Т. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того,что сумма очков не более трех? Задача 3.8.
В ящике 2 белых и 4 черных шара. Один за другим вынимаются все имеющиеся в нем шары. Найти вероятность того,что последний шар будет черным. Задача 3.9. В течение пяти дней случайным образом поступают сообщения о банкротстве одного из пяти банков, назовем их условно А,В,С, Р,В. Чему равна вероятность того, что сообщения о банкротстве банков А и В не следуют друг за другом? Задача 3.10. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что ети цифры нечетные и разные. Найти вероятность того,что номер набран правильно. Задача 3,11.
Найти вероятность того,что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года. Задача 3.12. В ящике 10 красных и 6 белых шаров. Вынимаются наудачу два шара. Какова вероятность того, что шары будут одноцветными? Задача 3.13. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновременно. Задача 3.14. Из последовательности чисел 1, 2,..., и наудачу выбираются два числа. Какова вероятность, что одно из них меньше 5, а другое больше 5, где 1 < 5 < а — произвольное целое число? 4, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Задача 3.15.
Бросаются 4 игральные кости, Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков. Задача 3.16. На шахматную доску из 64 клеток ставятся наудачу две ладьи белого и черного цвета. С какой вероятностью они не будут "бить" друг друга? Задача 3.17. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью не меньше а) 0.5; б) 0.9 хотя бы один раз выпала шестерка (шесть очков)? 14. 1'еометРические ВеРОятнОсти Пусть в пространстве задана некоторая область, например, отрезок, если пространством служит прямая, квадрат, если пространством служит плоскость,или куб, если пространство трехмерно. Пусть результатом експеримента является случайный выбор точки из втой области.
Предположим,что по каким-то соображениям, обычно связанным с симметрией либо однородностью, выбор любой точки облачив равновозможен. Чему равны вероятности событий в таком експерименте? Ответ на етот вопрос связан с понятием геометрических вероятностей.
Пример. Однородная проволока растягивается за концы. Результатом эксперимента является разрыв проволоки и какой-то точке. Всю область исходов експеримента можно отождествить с отрезком, равным длине проволоки. Заданную в пространстве область обозначим й. В эксперименте, связанном со.случайным выбором только одной точки из Й, множество й служит пространством алементарМмх событий. Случайными событиями в етом експерименте можно считать различные подмножества й.
Будем говорить, что событие А наступило, если случайно выбранная точка принадлежит множеству А С Й. Возникает вопрос: какая Вероятность соответствует событию А? Символом шее обовиачим меру Лебега в пространстве: для прямой ето длина, для плоскости — площадь, для трехмерного пространства— объем. В фразу "выбор любой точки области равновозможж~" вкладывается следующий смысл: шансы выбрать точки Юз любых двух множеств одинаковой меры Лебега равны между собой. Разобъем й на и частей одинаковой меры Ле- ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ бега. Нусть событие А таково,что оно целиком состоит из в таких частей. Тогда екснеримент случайного выбора точки из Й может быть описан с помощью классической схемы.
Исходом здесь служит выбор точки из той или иной выделенной части. Всего и равновозможных исходов. При атом вероятность события А равна отношению числа частей, составляющих А, к общему числу частей, т. е. Р(А) = — = Считая, если необходимо, и пронзвольньпи и применяя предельный переход при п -+ оо,можно показать,что любому событию А, длякоторого определена мера Лебега, соответствует вероятность Р(А) = —.
Вероятности, заданные по втой формуле, называют гео- метрическими. Свойства геометрических вероятностей точно такие же, каки для веролтностей в классическом определении. В примере о разрыве однородной проволоки можно рас- смотреть событие А = (проволока разорвалась ближе к цен- тру, чем к концам). Здесь, чтобы вычислить вероятность со- бытия А, можно разбить проволоку иа четыре равные че.сти. Событию А отвечает точка разрыва, появляющаяся в одной 2 1 из двух средних частей.
Следовательно, Р(А) = — = — . а 2' Задача 1. Наудачу выбираются два числа из промежутка [О, Ц. Какова вероятность, что их произведеш1е меньше 1/22 Решение. Слово "наудачу" здесь означает, что появле- ние любой нары чисел [я, Е) из квадрата [О, Ц х [О, Ц ш Й рав- иовозможно. Множество А = ((в, у) б [О, Ц х [О, Ц: ау < 1/2) составляет случайное событие, вероятность которого нуж- но найти. Очевидно, 1пезй = 1.
Множество А образуют те 1 точки квадрата Й, которые лежат под кривой р = —. Слезе довательно, пмзА = -+ У вЂ” ая = -(1+1н2). Г1 1 2 /тз2 )/й Ф. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ з1 Зто и есть искомая вероятность. Задача 3 (о встрече) Лва челожжа в течение промежутка времеви (0, Т) случайным образом приходят к месту встречи и ждут время т < Т. Какова вероятность, что они встретятся? Решение. Пусть х — время прихода первого человека, а 3 — второго. 'Гогда (х, у) б (О, Т) х (О,Т) = П. Поскольку они приходят случайным образом, то все исходы П равновозможны. Событие А = (они встретятся) можно задать так: А = ((х, у) Е 10, Т) х (О, Т): )у — х~ < т). Множество А образуют те точки квадрата Й, которые лежат между прямыми 3 = х-т и 3 = х+г.
Поетому пмвА = Тв-(Т-г)в. Поскольку шеей = Тв, то Задача 3. Какой толщины должна быть монета радиуса 1?„чтобы вероятность падения на ребро была равна 1/3? Р е ш е ни е. Укажем лишь на основные моменты репинин, даюшего ответ В/~/2. Монету рассматриваем как вписанную в сферу. Если радиус, проведенный из центра сферы в направлении, выбранном наудачу, пересекает поверхность монеты, составляюшую ребро, то считаем, что монета упала на ребро. Вероятность падения монеты на ребро равна отношению площади сферического пояса, заключенного между круглыми сторонами монеты, к плошади сферы Задача 4.1.
На плоскость с нанесенной квадратной сеткой со стороной 4 см бросают монету радиуса 1 см Найти вероятность того,что монета не пересечет линии Звиача 4.2. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что точка, брошенная в круг наудачу, окажется внутри квадрата? Задача 4.3. Нз промежутка (О, 1) выбрали наугад два числа. Какова вероятность, что их сумма больше либо равна 1, а их разность меньше яибо равна 6? Зе,цвча 4.4. На отрезке (А, В) длиной 1 поствяили наугад две точки — ? и Ы. Найти вероятность того„что Ь будет ближе к точке М, чем к А.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Задача 4.5. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых меньше либо равно 1, будет меньше либо равна 1, а их произве- 2 дение будет не больше -? 9 Задача 4.6. На отрезке длиной! наугад ставятся две точки, которые разбивают его на три отрезка. Найти вероятность того, что из втих отрезков можно составить треугольник. Задача 4.?. Электрон вылетает из случайной точки нити накала и движется по перпендикуляру к нити. С какой вероятностью он свободно пройдет через сетку, окружающую нить и имеющую вид винтовой линии радиуса В, толщиной б и шага Н? Задача 4.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
