А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Исключая из етих двух равенств Р( — А), получим формулу сложения вероятностей. Слццствие 3. Ааялюбиз собнтиЕ АНЕ= 1,2,...,в, Р(~ А,) <~'Р(А,). Лля в = 2 ета оценка следует из свойства 6). Тогда для произвольного и > 2 можно написать Р(~А~) < Р(~~ А~) + Р(А„). Лля оценки вероятности суммы и — 1 событий снова можно воспользоваться такой же оценкой, и т. д.
В результате получим требуемую оценку. 6') (общая формула сложения вероятностей) для любых событий Аь1= 1,2, „и, е е Р( А~) = ~ Р(А) — ~ Р(А~Ау)+ М1 ь 1 1<~ е + Е Р(АААь)-" +(-1)" 'Р(ПА). !<1<а Эту формулу можно вывести из формулы 6) с помощью метода математической индукции. Нужно положить А1 + Аз + б. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ + А„г = А, А„= В, воспользоваться формулой б) и для и — 1 слагаемыя применить общую формулу сложения вероятностей, предположив, что она верна. Подробно проделаем ето лишь для и = 3. Дважды применяя формулу б), имеем Р(А» + Аг + Аз) = Р(А» + Аг) + Р(Аз) — Р((А» + Аг)Аз) = = Р(А») + Р(Аг) — Р(А»Аг) + Р(Аз) — Р(А»Аз + А»Аз).
Для последнего слагаемого, снова применяя формулу б), получим Р(А»Аз+ АгАз) = Р(А»Аз) + Р(А»Аз) — Р(А»АзА»Аз) Учитывая, что А»АзА»Аз = А»А»Аз и подставляя вто выражение в предыдущую формулу, окончательно будем иметь Р(А» + Аг + Аз) = Р(А») + Р(Аг) + Р(Аз)- — Р(А»Аг) — Р(А»Аз) — Р(АгАз) + Р(А»А»Аз).
Т) свойства непрерывности: если Аг С Аг С Аз С..., то 1пп Р(А„) = Р(~ А»); о оо если Аг Э Аг Э Аз Э..., то 1пп Р(А„) = Р(п А»). ( Доказательство. Поскольку Аа г С А», то А» = ~~~,(А» — А» г), »оп »оп где Ао = о,и события А» — А» г, Е = 1,2,... попарно несо- вместны. Тогда по третьей аксиоме вероятности оо оо о Р( А») = ~~~ Р(Аа — Аа г) = 1пп ~~~ Р(А» — А» г) = »ан аот »оп = 1пп "~ (Р(А»)-Р(А» г)) = 1пп(Р(А„) — Р(И)) = 1пп Р(А„). »он Докажем второе свойство непрерывности. Поскольку А» г Э А», то А» г С А», и по первому свойству непрерывности 1пп Р(А„) = Р (~~~ А») = Р Я А»).
»оп »оп ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Последнее равенство Справедливо в силу свойства 12') й 2 (н = оо). Переходя к дополнительным вероятностьив, полу- 1пп (1 — Р(А„))= 1- Р(П Ай), й«1 а ето и есть второе свойство непрерывности. Лемма 1. Пусть собатияй тввоои, что Р(й ) = 1 оля любого кввьурвлького гп. Тозов Доказательство. Применяя свойстве 12) 12 и следствие З,получим так как Р(й ) = 1 — Р(й,„) = О.
По пятому свойству вероятностей Р( П й ) = 1. Поскольку при 2 = 1,2,... Ъ«=1 й-1 й П йт Э П йт, то по второму свойству непрерывности ° «=! т«1 вероятности окончательно имеем По аналогии с классическим случаем дадим следующее определение условной вероятности. Определение б. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В с Р(В) ф О, называется число Р(А)В), которое определяется формулой Используя ото определение и свойства вероятности, несложно убедиться,что условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности. 6.
ОБШЕЕ ОПРЕДЕДЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Свойства условньхх вероятностей. 1) Р(й)В) = 1; 2) Р(о(В) = О; 3) О < Р(А)В) < 1. Эти свойства следуют непосредственно из определения. 4) если А с С, то Р(А)В) < Р(С)В). Лействительно, из А С С следует АВ С СВ, и по третьему свойству вероятностей Р(АВ) < Р(СВ). Поделив это неравенство на Р(В) и применив определение условной вероятности, получим требуемое утверждение. Ь) Р(А(В) = 1 — Р(А)В).
Это свойство является следствием цепочки равенств: Р(ОВ) Р((А + А)В) Р(В) Р(В) Р(АВ+ АВ) Р(ХВ) + Р(АВ) Р(А)В) Р(А)В) Р(В) Р(В) 6) (формула сложения условных вероятностей) для любых событий А и С Р(А+ С)В) = Р(А)В) + Р(С1В) — Р(АС)В). Доказательство. Применяя формулу сложения обычных вероятностей, имеем Р((А+ С)В) = Р(АВ + СВ) = Р(АВ) + Р(СВ) — Р(АСВ). Поделив левую и правую части этого равенства на Р(В), получим формулу 6). 7) (формула умножения вероятностей) для любых событий А и В Р(АВ) = Р(А)Р(В~А) = Р(В)Р(А)В).
Формула непосредственно следует из определения условной вероятности. 6) (обвгал формула умножения вероятностей)для любых событий АИАг,,А, Р(А1Аз" Ао) = = Р(Аг)Р(Аг)Аг)Р(Аз)АгАг) "Р(Аа)АгАз" А -г). ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вывод этой формулы из формулы 7) был осуществлен в з 5. Сохраняются в силе все определения, связанные с независимостью событий, сформулированные в 1 5. Большинство задач, которые возникают в теории вероятностей, связано, по-существу, с пересчетом вероятностей. Нужно подсчитать вероятность, возникающую в какой- нибудь сложной модели, когда вероятности, отвечающие простым компонентам этой модели, известны. При этом нас не интересует природа возникновения этих элементарных вероятностей.
Их величина может быть получена из соображений, связанных с симметрией и однородностью, или их приближенное значение может быть вычислено с помощью методов математической статистики. Рассмотрим одну задачу, решение которой опирается на полученные выше общие свойства вероятностей. Задача 1 (о расчете надежности электрических цепей). Пусть есть некоторая цепь элементов, соединенных последовательно и параллельно. Например, цепь вида Г 1 1 Рис. 3 Пусть известно, что элемент 7 выходит из строя (происходит разрыв цепи в этом элементе) с вероятностью рн Естественно также предположить, что все элементы выходят из строя независимо друг от друга. Какова вероятность того, что вся цепь выйдет из строя, т. е.
через нее не пойдет ток7 Решение. Сначала нужно рассчитать вероятности отказа элементарных цепей, т. е. цепей вида 6. ОБ%ЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ г) Рис, 4 Введем события А~ = (выход из строя влемента 1). 'Гогда Р(А~) = рь Элементарная цепь вида 1) выходит из строя, когда события Аз и Аз наступают одновременно. Следовательно, Р(цепь 1) выходит из строя) = Р(А1Аз) = Р(А1)Р(Аз) = р1рз.
Элементарная цепь вида 2) выходит из строя, когда наступает либо событие Аз, либо А4. Поатому Р(цепь 2) выходит из строя) = Р(Аз+Аз) = Р(Аз)+Р(Аа)— Р(АзА4) = рз + ра — рзр4 Нашу сложную цепь можно упростить с помощью укрупнения. Это означает, что мы влементарные цепи рассматриваем как новые алементы (они выделены на рис.
4 пунктирной линией), вероятности отказа которых мы уже знаем: вто Р1 — — р1рз и Рз = Рз+ Ра — рзра. Но упрощенная цепь будет снова вида 1), и вероятность ее отказа будет равна Р1Рз = р1рз(рз+ рз -рзра). Методом последовательного укрупнения схем можно рассчитывать вероятности отказа любых цепей, если вероятности отказов элементов известны. Задача 2 (о разорении игрока). Рассмотрим игру в "орлянку", когда игрок выбирает "герб"или "решетку", после чего бросается монета. Если выпадает сторона монеты,названная игроком, то он выигрывает, получая 1 руб.; в противном случае столько же проигрывает. Пусть начальный капитал игрока составляет х руб. и игрок ставит себе целью довести его до некоторой суммы в руб.
большей чем л руб. Игра продолжается до тех пор, пока либо игрок наберет заранее определенную сумму в, либо разорится, проиграв весь имеющийся у него капитал. Какова вероятность того,что игрок разорится? ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Решение. Введем события: Н1 — — (игрок выиграл на первом шаге), Нз = (игрок проиграл на первом шаге), А = (игрок разорится, имея начальный капитал х руб.). Обозначим через ре = Р(А) искомую вероятность. Оче- видно, эта вероятность определена для любого целого х, 0( х ( в и очевидно ро =1 р = О.
1 Поскольку монета симметрична, то Р(Н1) = Р(Нз) = —. 2 Если наступает событие Н1, то капитал игрока стал х+ 1, а если наступает событие Нз, то капитал игрока стал х — 1. После етого можно считать, что игра начинается снова, и согласно принятому обозначению Р(А~Н1) = рз+1, Р(А~Нз) = = р 1, где х — любое число 1 ~ х ( <в — 1. Поскольку А = Ай = А(Н1 + Нз) = АН1 + АНз и событиЯ Н1 и Нз несовместны, то по формуле сложения вероятностей Р(А) = Р(АН1)+ Р(АНз).
Применяя формулу умножения ве- роятностей, получим Р(А) = Р(Н1)Р(А~Н1) + Р(Н1)Р(А~Нз). Это в силу принятых обозначений дает следующее рекур- 1 1 рентное уравнение для вероятности р,: р, = -р +1+ -Р -и 1 ( х ( в-1. Известно, что решением етого уравнения явля- ЕТСЯ ТОЛЬКО ЛИНЕЙНаЯ ФУНКЦИЯ Ре = С1 + СЗХ, ГДЕ С1, СЗ вЂ” ПРО- извольные коеффициенты. Эти коеффициенты можно определить, подставляя в выражение длв р, значения х = 0 и х = в и пользуясь граничными условиями рв = 1, р, = О. Имеем 1 с1 — — 1, с1 + сзв = О. Откуда следует, что с1 — — 1, сз = -- и значит рв = 1 — —, 0(х (в.
ЗАДАчи Задача 6.1. Лвое бросают монету. Выигрывает тот, у кого первого вьшвдет герб. Найти вероятность выигрыша для каждого. Задача 6.2. Прибор содержит четыре узла: А1, Аз, Аз, А1. Узел Аз дублирует А1, а Ав дублирует Аз. При отказе происходит автоматическое переключение. Надежность иереключающего устройства равна р. Надежность в течение за- б. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ данного времени каждого из узлов равна р;,1= 1,2,3,4. Вычислить надежность прибора.
Задача 6.3. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна 0.875. Найти вероятность попадания при одном выстреле. Задача 6.4. Лля того, чтобы разрушить мост, нужно попадание не менее двух бомб. Независимо сбросили три бомбы с вероятностями попадания 0.1, 0.3 и 0.4. Какова вероятность, что мост разрушен? Задача 6.5. Рассчитать вероятность отказа цепи (не идет ток), где р; — вероятность отказа 1-го вяемента. Задача 6.6. Рассчитать вероятность отказа цепи (не идет ток), Рис. 6 где р; — вероятность отказа 1-го алемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
