А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Различные результаты эксперимента мы будем называть исходами. Определение 1. Множество всех взаимно исключающих исходов експеримента называется пространством влементарных событий. Взаимно исключающие исходы — вто те, которые не могут наступить одновременно. В дальнейшем под термином исход подразумеваются только такие исходы. Пространство злементарных событий мы будем обозначать буквой й, а его исходы — буквой м с различными индексами и без них или другими понятными из контекста символами.
Термины "элементарное событие"и "исход"будем очи"гать синонимами. Определение 2. Произвольное нодмножество пространства влементарных событий называется событием. Событие может состоять из одного или нескольких елементарных событий, а также состоять из счетного или не- 16 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ счетного числа влементарных событий. События будут обозначаться заглавными латинскими или русскими буквами А,В,С,..., Г,Р,Ч, ..., или записываться словами> например, (выпало четное число очков на игральной кости), Особо следует выделить событие, состоящее из пустого множества исходов. Оно будет обозначаться символом 9.
Говорят, что событие А пастушило, если эксперимент заканчивается одним из исходов, входящих в событие А. Примерив 1) Бросание монеты. Предполагаем, что монета достаточно тонкая и при бросании не встает на ребро. Пространство влементарных событий состоит из двух исходов: Г = (выпал герб), Р = (выпала решетка), т. е.
а = (Г,р). 2) Бросзвие игральной кости, т. е. кубика, сделанного нз однородного материала, грани которого занумерованы цифрами 1,2,3,4,5,6, Число очков, выпавшее при бросании игральной кости — цифра на верхней грани кубика. Пространство злементарных событий й = (1,2,3,4,6,6). Событие Ч = [выпало четное число) состоит из трех исходов, т. е. Ч = (2,4,6). Считаем, что Ч наступило, если выпало либо 2,либо 4, либо 6. Б зависимости от задачи в одном и том же эксперименте можно по-разному выбирать пространство влементарных событий. Так, при бросании игральной кости, если нас интересует лишь то, что выпало четное или нечетное число, можно считать й =(Ч,Н), где Ч =[четное число), Н =(нечетное число).
Пример неправильно выбранного пространства еяементарных событий. Пусть при бросании игральной кости Ч =(четное число очков), Т=(число очков, кратное трем). Тогда й =(Ч,Т,1,5) составляет все исходы експеримента, однако исходы Ч и Т могут наступать одновременно. Пример пространства с несчетным числом елементарных событий. Пусть есть проволока длиной, например, 1 метр. Мы растягиваем ее за концы, в результате чего происходит разрыв в какой-то точке.
Множество исходов — вто все точки на проволоке, которые математически можно задать отрезком 10, 1], т, е. П = ]О, 1], а каждому исходу ы соответствует координата точки разрыва. 2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Определение 3. Суммой двух событий А и В (обозначается А+ В) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих либо в А, либо в В. Другими словами, под А+ В понимают сяедующее событие: произошло нли событие А, или событие В, либо они произошли одновременно, т, е.
произошло хотя бы одно из событий А или В. Определение 4. Произведением двух событий А и В (обозначается АВ) называется событие, состоящее из тех исходов, которые входят как в А, так и в В. Иными словами, АВ означает событие, при котором события А и В наступают одновременно. Определение 5. Разностью двух событий А и В (обозначается А- В) называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В. Смысл события А — В состоит в том, что событие А наступает, но при етом не наступает событие В. Определение 6. Симметрической разностью двух событий А и В (обозначается АЬВ) называется событие, состоящее из исходов, входящих в А или в В, но не входящих в А и В одновременно.
Смысл события АЛВ состоит в том, что события А и В наступают, но не одновременно. Определение Т. Противоположным (дополнительным) для события А (обозначается А) называется событие, состошцее из всех исходов, которые не входят в А. Наступление события А означает просто, что событие А не наступило. Примеры. Пусть при бросании игральной кости А (выпало четное число), В = (выпало число кратное трем). Тогда А+В = (2, 4,6)+(3,6» = (2, 3,4, 6), АВ = (2, 4,6)(3, 6) = = (6), А — В = (2,4,6) — (3,6) = (2,4), АйВ = (2,3,4), В = (1,2,4,5).
Если события изобразить множествами на плоскости, то результат определенных операций над событиями выглядит следующим образом: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 18 ЯЬД::,0сЬ Рис. 2 Событие й, состоящее из всех исходов эксперимента, называется достоверным событием. Оно обязательно происходит, так как експеримент всегда заканчивается каким- нибудь исходом.
Пустое множество исходов эксперимента называется невозможным событием и обозначается символом И. Пример невозможного события. При бросании игрального кубика на ровную поверхность событие ю состоит в том, что кубик встал на вершину. Определение 8. События А и В называются несовместными, если нет исходов, входящих как в А, так и в В,т.е.АВ=Э. Это означает, что события не могут наступать одновременно. Определение 9. Говорят> что событие А содержится в событии В (обозначается А С В), если все исходы события А входят в событие В. Иными словами, включением А С В обозначается такая ситуация, при которой наступление события А обязательно влечет наступление события В.
Свойства операций над событиями. 1) А+ В = В+ А; 2) АВ = ВА; 3) А+ А = й; 4)АЙ=А; 5)АВСА; 6)АА=ю; 7)А=А; 8) А — В = АВ; 9) АЛВ = АВ + АВ; 10) (А+ В) С = АС+ ВС; 11) А + В = А В; 12) АВ = А+ В; 13) (А — В) С = АС вЂ” ВС. Свойства 1) — 9) непосредственно следуют из определения операций над событиями. т. случАЙные сОБытия Доказательство свойства 10). Возьмем произвольный исход ы из события (А+ В)С (будем обозначать вто следующим образом: ы б (А+ В)С). Тогда ш б А+ В и ы б С.
Из включения ы б А+ В следует, что ы принадлежит хотя бы одному слагаемому. Пусть, например, ы Е А. Из и б А и Ы Е С следует, что ы Е АС, и, следовательно, ы Е АС+ ВС. Таким образом, любой исход события (А + В)С является исходом события АС+ ВС, т. е. (А + В)С С АС+ ВС. Аналогично можно показать, что любой исход события АС+ВС является исходом события (А+ В)С. Отсюда следует свойство 10), так как события его левой и правой частей состоят из одних и тех же исходов. Л о к аз ат е л ь с т в о свойства 11).
Принадлежность исхода ы событию А+ В означает, что он не принадлежит событию А+ В, то есть не принадлежит ни А, ни В. Не принадлежит А значит принадлежит А, не принадлежит В значит принадлежит В, а вто влечет, что ы принадлежит А и В одновременно, т. е. ы Е А В. Следовательно, выполняется включение А+ В С А В. Рассуждая в обратном порядке, мы получим включение А В С Х+ В. Это доказывает равенство 11). Локазательство свойства 12).
Применим свойство 11) к событиям А, В вместо А, В. Имеем А+ В = А В = АВ. Во втором равенстве мы воспользовались свойством 7). Взяв дополнение к левому и правому событиям етого равенства и снова используя Т), получим свойство 12). Л о к а з а т е я ь с т в о свойства 13) .
Воспользуемся свойствами 8), 12) и 10). Тогда имеем цепочку равенств АС вЂ” ВС = АСВ7" = АС(В + С) = АСВ = (АВ)С = (А — В)С. Операции над событиями можно последовательно осуществлять несколько рзз. Так, например, по определению, А+В+С=(А+В)+С и АВС =(АВ)С. В силу свойств 1) и 2) порядок осуществления операций сложения и умножения безразличен. Событие А|+ ° ° ° + А„= ~„~ Аз заключается в том, что происходит по крайней мере одно из событий АИАз,..., А„1 или А„. Событие А1Аз...А„1А„= П~ Аь состоит в том, что все события Аи Аз,..., А„п А„настувают одновременно. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Следствиями свойств 10) — 12) являются следующие свойства операций над событиями: и и и и 1б') В~А»=~ ВА,; И') ~;А»=ЦА», йи» й»п й»н йи» и и 12') ПА» = ),А». »=1 й»п Эти равенства верны и для н = оо.
Зеднча 1. Монета подбрасывается три раза подряд. Исходом каждого бросания служит выпадение "герба"- Г или "решетни"- Р. Описать пространство элементарных событий данного эксперимента и описать событие А, состоящее в том, что выпало не менее двух "гербов". Р еш е ни е. Исходом данного эксперимента является по-явление либо трех "гербов", либо трех "решеток", либо комбишщий "гербов" и "решеток". Эти исходы будем записывать следующими наборами символов: ГГГ, РРР, ГРГ и т. д.
Используя эти обозначения, пространство элементарных событий й можно записать следующим образом: й = (ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, РРР, РРГ, РГР, ГРР). Событие А состоит из четырех исходов: А = (ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ). Задача 2. Лвое играют в шахматы. Событие А означает, что выиграл первый игрок, событие  — что выиграл второй игрок, Что означают события а) В; б) ХЬВ; в) А+)з', г)  — А; д) А — ВУ Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
