А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Число размен»екиз из в олелеентоо ао 1' определяется яо формуле ы А» = п(п — 1)... (и — 1 + 1) = — ' (о — »)! Доказательство. Отведемдля елементов размещения л занумерованных мест. Поскольку размещения упорядочены, то ето означает, что у каждого элемента есть номер места, на котором он расположен: 1-й, 2-й, ... или )е-й.
На »»ервом месте в размещении может стоять елемент с любым из номеров 1,2,..., и. Поставим на первое место, например, влемент с номером 1. Для того, чтобы получить различные размещения из и алементов по й, у которых единица стоит иа первом месте, нужно из оставшихся и-1 елементов составить всевозможные размещения по Е-1 елементу н поставить их на свободные )е — 1 мест. Следовательно, число различных размещений с единицей на первом месте будет равно А„»Р )за первое место можно поставить также любой из елемензх»в 2,3,...
нли и, и каждый раз число различных размещений с фиксированным первым елементом будет равно А» '». Так как на первое место можно поместить и различных алементов, то число всех размещений из и элементов по й будет вА» '„т. е. А» = пА»». Это равенство верно для любых а,н таких, что й < и. Используя етот факт и очевидное соотношение А„' »+, — — и — 1+1, получим .4» = п(п — 1)Ао-з —— п(п — 1 (и — 2) .. А„(» ',)— = п(п — 1)...А„' »+, — — п(п — 1) (п — Й+ 1) = — ' (о — »)! Задача 3. Студентам надо слать 4 экзамена за 8 дней. Сколькнмн способами можно составить расписание сдачи вкзаменов? ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Решение. Занумеруем дни сдачи екзаменов пифрами 1,2,...,8.
Составлять различные расписания можно следующим образом. Сначала выберем дни для сдачи вкзаменов, например, (2,4,5,7), а затем порядок сдачи екзаменов. Таким образом, нужно составить различные наборы четырех чисел нз восьми, которые отличаются друг от друга не только алементами, но и порядком. Таких наборов А4 ~= 8.7 6 Ь = 1680. О п р е д е л е н и е 4. Ыеупорядоченные наборы, состоящие из й елементов, взятых из данных и елементов, называются сочетаниями из и элементов по И Сочетания отличаются друг от друга только элементами. Пример 3. Лля множества (1, 2, 3) сочетаниями по 2 влемента являются (1, 2), (1, 3), (2, 3).
Число всех сочетаний из и елементов по й обозначается С~. Теорема 3 (о числе сочетаний). Чвсло сочетоввб вз и влемевтпоо по й опредоллетсл по формуле и! с =„м„ц, Локазательство. Формулу для числа сочетаний проще всего вывести, основываясь на формулах для числа размещений и перестановок. Лля получения етой формулы зададимся вопросом о том, как можно образовать различные размещения из и елементов по И Можно составить различные сочетания из и елементов по Е, а потом в каждом из сочетаний различными способами поменять порядок.
Таким образом, чтобы получить всевозможные размещения, нужно для каждого из С» сочетаний осуществить И перестановок. Следовательно, Апь = Спь И. Отсюда получаем С~ = А~/И = п ' м(п ьр Зада ка 4. В хоккейном турнире участвуют 6 команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. Сколько игр сыграно в турнире? Решение. Различные пары команд образуют сочетания из 6 по 2, поскольку порядок среди двух команд, играющих в одной игре, нам безразличен. Следовательно, число игр 2 6! будет равно Соц = —,', = 15. 1.
ЭЛЕМЕНТЫ $ЮМБИНАТОРИКИ Задача Ь. Имеется прямоугольник, разбитый на клетки. Яри атом вдоль одной стороны и клеток, а вдоль другой— ио Рис. 1 (а+6)" = ~~~ С«а«о" «. «=о Свойства коаффициентов С«: 1) Е С« = 2о; «=о 2) С« = Со 3 ) С «С «1 1 + С Пусть можно двигаться только по сторонам клеток либо вправо, либо вверх. Сколько существует различных путей палевого нижнего угла в правый верхнийу Решение. Сопоставим ходам вдоль клеток цифры 0 и 1. При етом 0 означает, что мы идем вправо, а 1 — вверх. Тогда каждому пути соответствует набор из и«+ а цифр, например, 00110...10, в котором будет ровно и нулей и и« единиц. Сколько таких различных наборов цифр? Всего в толом наборе имеется ш+ и позиций, и надо среди них разместить ж единиц, а остальные места оставить для нулей. Выбрать гл позиций среди и«+ а можно С"'+„способами. Столько существует различных путей. Коеффипиенты С«называются биномиальными коэффициентами, так как они входят в формулу бинома Ньютона тЮРИЯ ВбРОЯтНОСтай 12 где полагаем О! = 1 и Со = С,", = 1.
Первое свойство следует из формулы бинома Ньютона при а = 1,б = 1. Второе свойство непосредственно вытекает из формулы для числа сочетаний С„. Третье свойство можно проверить следующим образом: С~ ' С~ э ! (й — 1)!(в — й)! Ы(в — Й вЂ” 1)! (е — 1)! ( 1 1') (э — 1)! и ь ( +-1 — -С„, (~-~)(«- — )!~~-" ~~ (~-~)( — — 1М( - )» Третье свойство позволяет последовательно вычислять би- номиалъные коэффициенты С» с помощью так называемого треугольника Паскаля: Здесь каждое число кроме крайних единиц является суммой длух вьпперасположенвых. Формула Стирлиига (без доказательства) и! = 1/2тнн (1+ — ), где )о„! < 1/12, а е в 2.718 — основание натуралы!ого логарифма.
Эта формула является полезной при болъших и. Например, из нее следует, что !п(н!) с точностью до 1/(12п) приближается выражением -!п(2т) + !1п+ -) )пв — н. 1 Г 11 2 2) Рассмотрим вопрос о числе комбинаций элементов, составленных из элементов различных групп. Считаем, что в состав комбинации входит по одному элементу из каждой группы и порядок элементов безразличен. СО С,' С,' С С С Сзо Сз Сз Сз С4 С4 С4 С4 С4 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 ВЯЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ 13 Теорема 4 (о числе комбинаций). Число раяянпных комЮннаннб авемвнтов вада (а1, аз,..., а"), где ૠ— некоторый овемвнт!-йхруппы, состоящеМ ноп«а«вментов, равно п«пз...и, Доказательство. Докажем сначала теорему для комбинаций элементов вида (а, аз), составленных из элементов двух групп, т. е.
рассмотрим сначала случай г = 2. СостаВим из пар елементов (а«,аз), 1 = 1,2,..., п1, у = 1,2,..., пз, прямоугольную таблипу (матрицу), содержащую п1 строк и ир столбцов, так чтобы пара (а1,аз) стояла на пересечении 3-й строки и у'-го столбца: (а1, а31) (а31, аз) (а31, а13) (а«, аз) (а13 азз) (33>«13) (33~««по) (««1 з «13) (аз, аз) («13 ю аЗ) (а„',, а31) (а1 „азз) (а„',, азз) ... (а1,, аз,) каждая нз пар (а«,а13) встречается в этой таблице один И только один раз, и число таких пар равно произведению п«пз.
Тем самым, утверждение теоремы справедливо ири г = 2. Лля сяучая произвольного числа групп элементов формула о числе комбинаций доказывается по индукции. Предположим,что она верна для г = й и докажем ее для г = Е + 1. Первые й элементов можно рассматривать иак один елемент вида ««~ = (а,аз,..., ав). По предположению число различных элементов етой объединенной группы равно т = п«пз...пв. Любой елемент (а«,аз,...,аз+1) ив группы, состояшей из к + 1 елемента, представим в виде (а«,аз,...,а +1) = (««~,а +').
Используя полученную формулу для числа различных елементов, составленных из двух групп, получим, что число комбинаций элементов вида (а«,аз,...,33+1) определяется равенством ««' = тпв+1 —— ~ к«пз...пзпво1. Тем самьпч, формула о числе элементов верна для г = к+1. Индукционный переход от г = к к г = к+1 завершен«а значит, доказана и теорема 4.
Задача 6. Из трех классов спортивной школы нужно соатавить команду для соревнований, взяв по одному ученику от класса. Сколько различных команд можно составить, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ если в одном классе учатся 18, в другом — 20,а в третьем — 22 ученика? Решение очевидно: 18 20 22 = 7920. ЗАДАЧИ Задача 1.1. Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма? Задача 1.2. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, из которых ровно 3 лежат на одной прямой? Задача 1.3.
Сколько словарей нужно издать, чтобы переводить с любого из 5 языков на любой другой из этих языков. Задача 1.4. Есть пятирвзрядный цифровой замок. Кодовое устройство замка состоит из пяти вращающихся дисков, каждый из которых имеет шесть цифр от 0 до 5. Только одна комбинация из пяти цифр позволяет открыть замок. Сколько таких комбинаций? Звязвча 1.8. Сколькими способами можно упорядочить множество (1, 2,..., 2в) твк, чтобы каждое четное число имело четный номер? За,днча 1.6. Сколькими способами можно упорядочить множество (1, 2,..., в) так, чтобы числа 1,2,3 стояли рядом и в порядке возрастания? Задача 1.7. Какое количество различных символов (букв, чисел и т. д.) можно передать не более чем пятью знакамн кода Морзе, использующего точку ( ) и тире (-)? Задача 1.8. Автомобильные номера состоят из трех букв и четырех цифр.
Найти число таких номеров, если используются 32 буквы алфавита, Зацача 1.9.(сказка) Жил-был странный прввитеяь. Решил он своих подяанных разлячать не по именам, а по зубам. Себе все 32 зуба оставил как и были белыми. Ближайшим подданным повелел один зуб на разных позициях окрасить в черный цвет, чтобы их отличать.
Далее шли вассалы с двумя черными зубамн на разных позициях, и так далее. В самых низших слоях были люди с одним белым зубом на разных местах, и был одлн только с черными. Сколько было подданных у правителя? 2. СЯУЧАЙНЫБ СОБЫТИЯ Звлача 1 16. Сколько машинных (различающихся но на~исакию и не обязательно имеющих смысл) слов можно составить из букв слова КОЛОКОЛ, из букв слова ВОЛОРОЛ? Задача 1.11.
Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7 женщин так, чтобы никакие дзе женщины не сидели рядом? Задача 1.12. Сколькими способами 9 одинаковых конфет можно разяожить по пяти различным пакетам, если ни один из пакетов не должен быть пустым? Тот же вопрос, но пакеты могут быть пустыми. з2. СлУчхйные соеытия В основе теории вероятностей лежит понятие случайного експеримента. Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым из совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя предсказать, каким именно. Примеры случайного експеримента: бросание монеты, бросание игральной кости, проведение лотереи, азартные игры, стрельба по цели, поступление звонков на телефонную станцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
