А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Справедливо представление (А наступило не менее т! и не более тх раз) = та = ~~) (А наступило ровно й раз). Все слагаемые являются несовместными событиями, так как А не может наступать различное число раз в и испытаниях одновременно. Используя формулу сложения вероятностей и формулу Бернулли, получим Р„(т1, тх) = Р(А наступило не менее т! и не более тз раз) т» т» = ~ Р(А наступило ровно а раз) = ~~! Сирий» ь.
Второе выражение для Р„(гп1, тз) справедливо в силу фор- мулы бинома Ньютона: Определение 1. Число наступлений события А называется иаивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления А любое другое количество раз. Теорема 3. Наиаероятнейтее число наступлений собатия А а п испитаниях заключено месссду числами пр — й и ар+ р. Замечание 2. Если пр — й — целое число, то наивероятнейших чисел два: пр — д и пр+ р. Локазательство. По формуле Бернулли при т 1,2,,п, Р»(пь) С»»'р~»д»»' »!(т — 1)!(и -т+1)!р (»+1 — т)р Р»(пь — 1) С» ~р"' !а» т!(» — т)!»!а т(1 — р) 8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ 59 Следовательно, вероятность Ри(тп) будет больше, равна или меньше вероятности Ри(тп — 1) в зависимости от того, какое из следуюших трех соотношений будет выполняться (и+1 — ти)р (и+1 — ти)р (и+1 — ти)р >1, =11 < 1.
ти(1 — р) ' ти(1 — р) ' ти(1 — р) Если переписать ати соотношения в более простом виде (п+1)р> тп, (и+1)р= тп, (п+1)р < п1, то мы приходим к выводу, что Ри(тп) > Р„(тп — 1), если тп < (п+ 1)р, (8.4) Ри(тп) = Р„(тп — 1), если тп = (п+ 1)р, (8.5) Р„(тп) < Р„(тп — 1), если тп > (п+ 1)р. (8.6) Следовательно, вероятность Ри(тп) сначала возрастает, когда тп < (п+ 1)р, а затем убывает, когда тп > (п+ 1)р. В случае, когда (и+ 1)р не является целым числом, для наивероятнейшего числа наступлений события А (обозначим его пто) должно выполняться неравенство Ри(тпо + 1) < Ри(тпо), что согласно (8.6) возможно при тпо + 1 > (п+ 1)р, т.
е. при тпо > пр — д, а также должно выполняться неравенство Ри(тпо — 1) < Ри(тпо), что в силу (8.4) возможно при пто < пр+ р. Таким образом, пр- д < тпо < пр+ р. Это и утверждается теоремой. Заметим, что разность между пр+р и пр — д равна единице, и значит число тпо единственно. В случае, когда пр+ р является целым числом, то тпо = пр+ р будет наивероятнейшим числом наступлений события А, однако ите — 1 тоже будет таковым, поскольку в силу (8.5) Р„(тпо) = Р„(тпо — 1).
Поетому таких чисел будет два, а именно тпо = пР— 4, тпо = пР+Р. [П Ол Задача 1. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равна 1/3. Производится шесть выстрелов. Какова вероятность ровно двух попаданий? Какова вероятность не менее двух попаданий? Каково наивероятнейшее число попаданий? Р е шеи и е.
Обозначим А = (поцадание при одном выстреле), р = Р(А) = 1/3, 4 = 1 — р = 2/3. Число выстрелов ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ в = 6. Естественно предположить, что выстрелы не зависят друг от друга. Тогда ответ на первый вопрос находим по формуле Бернулли Ответ на второй вопрос следующий: Рв(2,6)=1 — Св(3) (3) -Св(з) (з) =1 у ж =тзз'ез' Наивероятнейшее число попаданий лежит в пределах от 1 3 1 1 1 1 6 — — - до 6 -+ —, т. е. от 1- до 2-.
Следовательно, оно 3 3 3 3' 3 3 равно двум. Задача 2 (Банаха). Некий курящий математик носит с собой две коробки спичек. Каждый раз, когда он хочет достать спичку, он выбирает наугад одну из коробок. Найти вероятность того, что когда математик вынет в первый раз пустую коробку, в другой коробке окажется ровно г спичек, 0 < г ( в, где в — число спичек, бывших первоначально в каждой из коробок. Решение. Пусть А — событие, которое состоит в том, что вынимается спичка из коробка, который в копне оказался пустым. Если вынутая коробка пуста, а другая коробка содержит г спичек, то ето означает, что спички брались всего 2я-г раз.
При етом событие А наступило ровно я рзз, так как коробок стал пустым. Поскольку каждый раз коробок выбирается наугад, то Р(А) = 1/2. По формуле Бернулли событие А наступает а раз в 2я — г испытаниях с вероятностью Рзп-г(в) Стев-г ~( у 2~ ЗАдАчи Заиача 8.1. Б семье 10 детей. Считал вероятности рождения мальчика и девочки равными 1/2, определить вероятность того, что в дашюй семье: а) пять мальчиков; б) мальчиков не менее трех, но и не более восьми. Зя,кача 8.2. Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста (ничейный исход партии исключен): больше одной партии из четырех или больше двух партий из пяти? В. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СХЕМЫ БЕРНУЛЛИ 61 Задача 8.3.
(Проблема Джона Смита) В 1693 г. Джоном Смитом был поставлен следующий вопрос: одинаковы ли шансы на успех у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну шестерку при бросании игральной кости 6 раз, второму — не менее двух шестерок при 12 бросаниях, а третьему — не менее трех шестерок при 18 бросаниях. Задача 8.4. В кошельке лежат 8 монет достоинством 5 копеек и 2 монеты достоинством 3 копейки. Наудачу выбирается монета и бросается 5 раз.
Какова вероятность того, что в сумме будет 15 очков, если герб принимается за О. Задача 8.5. Какова вероятность выпадения хотя бы двух шестерок при трех бросаниях игральной кости? Задича 8.6. В помещении четыре лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0.8. Найти вероятность того, что к концу года горят три лампы. Чему равно наивероятнейшее число ламп, которые будут работать в течение года? Задача 8.7. Партия изделий содержит 1 % брака. Каков должен быть объем контрольной выборки, чтобы вероятность обнаружить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0.95.
Задача 8.8. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания мяча при каждом броске равна соответственно 0.6 и 0.7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий. з 9. ПРедельные теоРемы для схемы БеРнУлли Сохраним все обозначения предыдущего параграфа. В случае, когда число испытаний велико, формулу Бернулли применять неудобно. Для больших и существуют приближенные формулы. Эти формулы тем точнее, чем и больше.
Рассмотрим сначала случай, когда с ростом и вероятность р уменьшается обратно пропорционально и. При малых р, речь идет о появлении очень редких событий, так как вероятность их наступления в отдельном испытании мала. Однако вероятность появления одного или нескольких редких событий в длинной серии испытаний уже не будет малой величиной. В этом параграфе и далее соотношение а„ 5„, где 1а„) ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 62 и (6„) — две числовые последовательности, означает, что я„/о„-+ 1 при и - оо, или, что то же самое, а„= б„(1+ +о(1)), где о(1) обозначает некоторую величину, стреышпуюся к нулю. Соотношение а„и 6», означает, что а„— о» -+ 0 при и -+ оо Теорема 1 (Пуассона).
Предполозгсим, что произведение пр является настоянная величиной, когда и неограниченно возрастает. ОБозначим А = пр. Тогда для любого Б1иксированного т и любого постоянного Л 1пп Р»(пг) = —,е ". »о-л Доказательство. Применяя формулу Бернулли, получим Р„( ) =ОД'р"(1-р)"- =, "',(-') (1--") 1 Л'" е Лъ» '" = — п(п — 1)... (и — пг + 1) — (1 — -) »и »"' » =Б('-!) (- )(- ) ('-)('-!) Поскольку при любом фиксированном в имеет место сходив мость 1 — — - 1 при и-+оо то » Р„(т) —, (1 — -) Теперь, используя замечательный предел 1пп (1 — -) = е несложно убедиться в справедливости утверждеяия теоремы.
Задача 1. Радиоаппаратура состоит из 2000 влементов. Вероятность отказа одного влемента в течение года равна 0.001. Какова вероятность отказа двух влементов за год? Какова вероятность отказа не менее двух влементов за год? ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 64 Поскольку в силу определения х„имеем т — "р+ хауз/~Рй и — т = и — ир — х„,/йЯ = ид — х„,/йре, (9.2) то — =1+ — 1, т х„./ц ир /ирр (9.3) и п~ хе~/рР 'и /йт (9.4) Поатому, при достаточно большом и, ,/йрдР„(т) — (1+ — "-~-) ~1 — -"-т-) — — ехр ( — т 1в ~1 + — ") — (и — т) 1и (1 — — ") ) .
Далее воспользуемся следующим асимптотическим выражением: 1в(1 + х) = х — †(1 + о(1)) при х-~0. Тогда ,/иР4Р„(т) — ехР ~-т1с — — — "(1 + о(1)) ~- т / Гх~,/е х~е ~/те ~,/йр тор — (и -т)(--"-з — — — "Р(1+о(1)))). (9.5) В силу (9.1), (9.2), 2( + ) 2 Применяя (9.3), (9.4), получим, что /(и - т),/р еъ~/д1 ти хо 1 /пд,~пр ) ~/й~~~ — — ) = — (идр — хезЯрдр- ирд — х„З/вид) = 9.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СХЕМЫ БЕРНУЛЛИ ах 2 1р( ()) ( (4 2(Р 2 Подставляя полученные выражения в (9.5), имеем /пЯР (ш) — ехр( — х„+ — "(1+ о(1))) — ехр(- — "). 1 2 1 ей у'те " 2 ~/Ы 2 Теорема доказана, Рассмотрим приближенную формулу для вероятности Р„(пч,пьз) того, что событие А наступило не менее пЫ и не более пег риз в п испытаниях, когда и велико. Предположим, что числа пьь и пьг растут с ростом и, а вероятность успеха постоянна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
