А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Вычислить плотность распределения величины У = (Х + 1)(2, где Х вЂ” величина, из задачи 10 9. 1 11. Совместные ФУнкЦии ЕАснгеделения НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ НЕЛИЧИН Рассмотрим сначала две дискретные случайные величины Х и У. Пусть сяучайнел величина Х нрзяшмает значения хм хг> °, а„, а случайная величина У принимает значения ум уз, ..., у„.
Одновременное наступление событий (Х = х;) и (У = РЕ) будем обозначать (Х = х;, У = РЕ), т. е. (Х = хь У = уу) = (Х = х6)(У = Уз). Обозначим рн = Р(Х = х;, У = у1 ). Определение 1. Соответствие, которое каждой паре значений (х;, у1) дискретных случайных величин Х и У сопоставляет ее вероятность рн, называетсн совместным закапом распределения случайных величин Х и У.
Совместный закон распределения величин (Х,1') можно задавать таблицей (Х,У) (хну~) ... (хьу ) (хз,у1) ... (х„,уд) ... (х„,у ) Задача 1. В ящике два шара, на каждом из которых написана цифра 1, и три шара, на каждом из которых написа.- на цифра 2. О.вин за другим наудачу вьшимают два шара. 11. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕСЗК1ЛЬМВВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 79 Пусть величина Х вЂ” ато номер ва первом шаре, а У вЂ” номер на второза Найти соввистшвй завов распределешгя величин (Х,У). Р еш ение.
Используя формулу умножения вероятзшстей, вй РИХ, У) = (1,1)) = Р~Х = 1)Р(У = 1!Х = 1) = 3 ° - = х —. Поступая аналогично для вычисления других вероятно- Ю отей, получим СЪойства вероятвОстей щ ° 1) ) р,у = р'-'1, где р"'1 = Р(У = уу); 1ы1 ~ р., руз где ру1 Р1Х х1). уьг 2) ЕЕ~"=три =1 Локажем, например, второе свойство. Поскольку 2 - 11У = щ) = й, то используя свойства 10') и 4) $2, получим пз т ~~,(Х = х1,У = у ) = 1Х = х1) ~~~,(У = уз) = 1=1 ую1 = (х = х1)а = (х = х1). Тзк как события (Х = х;, У = у ) при разных у несовместны, то применяя формулу сложения вероятностей, получим юп р,'О=р(Х =хг) =Ри(Х =ХНУ =у14 = уьт Р (Х = а;, У = уу) = ~ рц.
Оп р еде лен и е 2. Лискретные случайные величины Х и У называются независимыми, если для всех пар (1,у) выполняются соотношения ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Р(Х = х;, У = уу) = Р(Х = х;)Р(У = у1), т. е. события (Х = х») и (У = у;) являются независимыми. Замечание 1. Если Х и У две дискретные случайные величины, то для любой функции двух переменных Ь(х, у) величина Х = Ь(Х,У) тоже является дискретной случайной величиной, которая принимает значения х»о — — И(х;, у1) с вероятностями р; = Р(Х = х;,У = уу),» = 1,2,...,п,у = 1,2,..., ш, если И(х, у) является взаимно однозначной функцией. Если же значения Л(х;, у ) совпадают для различных пар (х;,х ) с величиной и,,„, то Я = Ь(Х,У) принимает общее значение И, с вероятностью, равной сумме вероятностей р,у, отвечающих всем таким (х;,х ), для которых Ь(х;, х.) = и и. Рассмотрим теперь общую ситуацию, когда имеется Ь > 2 произвольных случайных величин Хы Хз,..., Х». Поскольку для описания етого случал отправной точкой служат аксиомы теории вероятностей (16), то мы предполагаем, что за дано й — пространство елементарных собь»тий, из подмножеств которого образована х-алгебра А и на ней задана вероятность Р.
При этом предполагается, что при любых 1 = 1,2,...,Ь и х Е (-оо,со) события (Х~ < х) принадлежат А. Это условие позволяет рассматривать вероятности событиИ (Х» < хм Хз < хз,...,Х» < х») = П(Х~ < хД. ьм Определение 3. Функция г (вы хе,...,х») = Р(Х» < х», Хз < тз,...,Х» < а»), х» Е [-со, со) называется совместной функцией распреде« лепил величин Хы Хз,, Х». Свойства совместной функции распределения. 1) функция г'(хцхз,...,х») является неубывающей функцией каждого аргумента, при условии, что другие фиксированы; 2) если х» = — оо при некотором 1, то Г(хм хе,...,х»)= О, а если положить х~ = оо, то Р(хц...,х~ ысо,х~+ы ° ° °,х») 11. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН вз юьн функция й — 1 переменной будет являться совместной функцией распределения й — 1 случайных величин Хз, " Хт-з, Хт+1,..., Хь, среди которых отсутствует величина Хт; 3) по каждой переменной хт функция Г(хи хз,..., хь) непрерывна слева: 11щ Г(х1,..., хт,..., хь) = Г(хи..., у,..., хь), юза Доказательство етих свойств точно такое же, как для функции распределения одной случайной величины.
Достаточно выделить один из сомножителей в произведении множеств Пт 1(Хт < хт), отвечающий выбранной координате ь функции распределения, и для него почти дословно повторить то, что делалось для доказательства свойств функции распределения. Набор случайных величин Х = (Х1,Хг,...,Хь) называют случайным вектором, функцию Г(х) = Г(хи хг, °, хь) — функцией распределения случайного вектора Х. Определение 4. Случайные величины Хт,Х»,...,Х» называют независимыми, если для любых (хз, хг,..., хь) б Кь Р(Х1<хь Хг<хг,..., Хь<хь) = Р(Х1<хз)Р(Хз<хз)...Р(Х»<хь). Это соотношение можно выразить в терминах функций распределения Г(хнхз,...,хь) = Гт(хз)Г»(хг)...Гь(хь), (11.1) где Гт(х) — функция распределения случайной величины Хт.
Лемма 1. Если величины Хз, Хг,.... Х» незввисими, в ут(х),1 = 1,2,... >х, — монотонно ввзрастивитщие !дунхттаи, нтв а величиям Уз = дз(Хт), Уг — — дг(Хз),..., Уь = дь(Х») хвлвтошсв незавасамима. Справедливость етого утверждения следует из цепочки равенств Р(У1 < ун 1'з < уз, ", Уь < уь) = = Р(Х <д,т(у~),Х < д,'(уз),,Х» < д ~(уь)) = = Р(Хт < дт 1(уз))Р(Хг < дз 1(уг))... Р(Х» < дь ~(уь)) = = Р(У1 < ут)Р(Уз < уз) Р(Уь < уь). Замечжкио 2. Утверждение леммы 1 верно для иверского класса функций Н>(х).
К етому классу относятся, например, Определение 5. Если существует такая неотрицателыыя функпия Дрь уз,..., уз), что функция распределения Р(х~ ха...,хз) для всех х>,хв...,хз представимав виде х1> ха > х> Ф> Фа Р(х1 хт ° ° ° хз) = ' ' ' 1(уь у2 . Ля)иу1йуз йуь то У(хь аз,..., хх) называется совместной плотностаю раопредечмижв случайныт величин Хь Хт,..., Хз. Свойства совместной плотности распределения. 1) /' °" ) Дхьхз,...,хд)<1хд~Ьз...сиз =1; а и в 3) для любого 1 функция Яхь...,х~ ьх~+ь...,хз) = ~ Дхь...,хп..., з) ... х ... х )»х~ является совместной плотностью распределения й — 1 случайнык величин Хз,..., Х~ з, Хц.ь..., Хз, среди которыл отсутствует вели вина Хь Свойства 1) и 2) устанавливаются аналогично тому, как ото было сделано для плотности одной случайной величины в 116.
Убедимся в справедливости свойства 3). Воспользуемся определением плотности в свойством, что можно менять порядок интегрирования. Полагая хс = со получим Г(хь... > х~ ьсо,х!+ь...,хз) = х> Ф$ 00 ~(и~ >..., ип..., из ~да~ Йи> >... > Ии>+д >...
>Ииы Согласно второму свойству совместной функции распределения слева стоит совместная функция распределения величин Хь...,Х~ ьХ~+>,...,Хз. Снова используя определение 11. РАЕНРеделения нескОлькихслучдйных Величин аз ггиотности, получаем, что выражение в скобках является совместной пяотностью распределения етих величин.
Аналогом соотношения (10.3) является следующее: Р(аг < Хг < бг,аг < Хг < бг,...,а» < Х» < 6») ь, ь, — у(ль, лг,..., л»)Их»~!яг... ~!в». (11.2) а~ аг аг Если у случайных величин Хг, Хг,..., Х» существует совместнал плотность распределения, то в силу свойства 3) существуют плотности распределения у каждой из величин Х! в отдельности. Проднфферевцировав равенство (11.1) по каждой из переменных ян ! = 1,2,..., л, легко убедиться в том, что свойство независимости случайных величин Хг, Хг,...,Х» через плотность распределения выражается так: для любых (ль, хг, ...,я») б К» К(яь, хг,-",аа) = Л(ль)Л(хг) ...Л(*»), (П.З) где !1(я) — плотность раснределевия случайной величины Хь Зада га 2.
Некто получил два кредита, каэкдыйиз которых он должен вернутыю первому требованию. Требование вернуть кредит !(! = 1, 2) приходит в случайный момент времени ьг, причем гь имеет плотность распределения р~(х), определлемую формулой рг(з) = ог ехр(-агх) прн л > 0 и рг(х) = 0 при я < О. Требования приходят независимо. Найти распределение длительности случайного промежутка времени, в течение которого в распоряжении заемщика будут находиться оба кредита. Решение. Вычислим функцию распределения интересующей нас случайной величины шш(гг, гг), которая как раз и равна времени, в течение которого заемшик может лользоваться обоими кредитами. Имеем Р(ппп(т1, гг) < т) = = 1 — Р(пйп(гн гг) > з) = 1 — Р((гг > з)(тг > з)) = = 1 — Р(тг > х)Р(тг > з) = 1 — (1 — Р(тг < з))(1 — Р(гг < з)). ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учитывая вид плотности распределения, получаем,что при х) О и(=1,2, Р(Я < х) = о1ехр( — о1х)йх = 1 — ехр(-а~х), и повтому Р(пнл(г1, г2) < х) = 1 — ехр (-(а1+ а2)х).
ЗАДАЧИ Задача 11.1. В кошельке лежат 8 пятикопеечных монет и 6 двухкопеечных. Наудачу вынимают одну за другой 2 монеты. Пусть величина Х вЂ” достоинство первой монеты, У вЂ” 2-й. Составить совместный закон распределения величин (Х, У). Задача 11.2. Определить совместную плотность распределения двух положительных случайных величин Х и У по заданной функции распределения Г(х, у) = (1 — е '*)(1 — е 1з). Задача 11.3. Определить функцию распределения величины равной максимуму из двух независимых случайных величин Х и У с функциями распределения Рх(х) и Ру(х) соответственно. Задача 11.4.
Определить функцию распределения величины равной минимуму из двух независимых случайных величин Х и У с функциями распределения Рх(х) и Ру(х) соответственно. Задача 11.5. Плотность распределения двух случайных 1 величин (Х, У) задается формулой: у(х, у) = — вш(х+ у), при 2 О ( т ( т/2, О ( у < т/2. Лля других значений аргументов полагаем ее равной нулю. Определить совместную функцию распределения величин Х и У. 212. Числовые хАРАктеРистики слУчАЙных Величин 1. Дискретные случайные величины. Пусть Х вЂ” дискретная случайная величина, принимающая значения хн! = 1,2,...,я, с вероятностями р1 = Р(Х = х~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
