А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Обозначим Ха — время до момента первого наступления события А. Тогда величина — равна числу попых о таний до первого наступления события А и имеет геометрическое распределение. Поскольку любому фиксированному х х соответствует гл е — испытаний, то согласно п. 3 ,( ...,,~, ~,~ъ, ~ =(1-ра)'"~(1-ДД~)*~яме-"*, Д(9. В последнем приближенном равенстве использован замечательный предел (см.
1 9). Переходя к дополнительным вероятностям, получаем, что предельное распределение для Хд имеет вид ~1 — е ~', приз>0, Г(х) = ~ '(о, при х < О. Это — показательное распределение, имеющее плотность ГАе ~, приз>0, У(*) = ~ 10, приз<0. Лля характеристической функции показательного распре- деления имеем выражение: ~р(1» = 2 епхе-~хлх Л о И.
ЗЬКОНЫ рдСПрбдеяаНИя СдуЧяйНЫХ ВЕЛИЧИН гм Математическое ожидание и дисперсию юячислим с помощью следствия 3 3 13: Е(Х) = -(у'(0) = ( е )— т1сеЛ П(Х) = -рх(О)+ (р'(0))' = — —," "., ),,+(-')' = 4. Задача 2. Пусть время ожидания регистрации прибором солнечного нейтрияо распределено по показательному закову с параметром А. К моменту времени в частица не зарегистрирована. Какова вероятность того, что начиная с момента времени в ожидать регистрации придется не меньше чем время Ь? Р е шеи и е.
Обозначим Х вЂ” время ожидания регистрации с момента включения прибора. Поскольку величина Х распределена по показательному закону, то при ( > 0 выполняется равенство Р(Х > () = е "'. Нас интересует вероятность Р(Х > в+ Ь(Х > в). По определению условной вероятности Р(Х ~~ в+ Ь(Х )~ в) = = — = с Р(Х ) е+ Л) е Л(е+Л) Р(Х ) е) е-"' Таким образом, если время ожидания события распределено по показательному закону, то информация о том, что событие не наступило к данному моменту не улучшает шансы на его наступление в дальнейшем. Это свойство называется отсутствием последействив, и им обладает только показательное распределение.
3. Нормальное распределение задается плотностью е г (х — е)в '1 У(х) = — ехр~- ), -оо < х < оо, ~/Зеа ( еее где в > О и а б (-со, оо) — некоторые параметры. Это распределение часто также называют гауссовским распределением. Если а = О и а = 1, то нормальное распределение с такими параметрами называется стандартным. Функция распреде- га. здконы рдспркдблания случдйных величин из Следовательно, ~р(З) епо-Ф'4*/г Лля вычисления математического ожидания и дисперсии нормального распределения применим следствие 3 3 13: Е(Х) = -вр'(О) = -г(га — ого)епа е ' ~о~с-о = -Па = а, В(Х) = -до(О) + (р'(О))' = ( оз+(;о изз)з)ои — '1 1з~ =о+(;о)г = от+ аг — аг = аг. Таким образом, параметры а и о имеют для нормального распределения следующий смысл: а — математическое ожидание, и — квадратный корень из дисперсии.
Лля нормального распределения со средним ноль несложно с помощью леммы 2 з13 вычислить все моменты. При а = О характеристическую функцию нормального распределения можно представить в виде следующего ряда Поетому [=о т; ( 1У" 21(21 Ц (2) 3+1)Зги-г, ггцг и, следовательно, ди О, при Й вЂ” нечетном. Согласно лемме 2 з 13 имеем, что все нечетные моменты рав- ны нулю> а для четных справедлива формула Е(Хи) аг~(21 1)п ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ый где принято обозначение (21 — 1)!! = 1 ° 3 5 °...
(21 — 1). Используя функцию Лапласа Ф(х), можно выразить вероятность того,что случайная величина Х, распределеннаяпо нормальному закону с параметрами а и о',лелеет в заданных пределах. Справедлива следуюшая формула Р(х1 < Х < хг) = -(Ф( — ') — Ф( — ')). (14.3) д-е Лействительно величина — имеет стандартное нор- ! о мальное распределение, поскольку в силу формулы (10.6) е / (ее+ е — а)г Ъ 1 ее1г уп- (у) = — ехр ( — ) = — е Применяя формулы (10.1) и (14.1), получим Р(хь<Х<хг)=Р1 ~ < — < г )= а е е Следствие 1 (правило "Зе").
Ялх нормально распределенной случайной величины Х со средним а и дисперсией ег Р(!Х вЂ” а! < Зе) = Ф(З) е 0.9973. Правило "Зо" означает, что с большой вероятностью, равной 0,9973, значения нормально распределенной случайной величины Х лежат в интервале (а — За, а+ За). Показательство правила "Зе" основано на формуле (14.3).
Применяя (14.3) с хг— - -За+ а,хе=За+ а, получим Р(!Х вЂ” а! < Зе) = Р(-Зп+ а < К < Зо + а) = = -'(Ф(~) — Ф(-'— )) = -'(Ф(З) — Ф(-3)) = Ф(З). С нормальным распределением мы уже встречались в интегральной теореме Муавра — Лапласа (З 9). Формула (9.8) пн — ир тг — пр при а„=,й„= утверждает, что вероятность ./впе чсййе наступления события А не менее те и не более епг раз при 1а ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 115 большом количестве испытаний (и -г со) приблюкенно равна вероятности того, что случайная величина Х со стандартным нормальным распределением принимает значения в пределах от а„ до (га.
4. Двумерное нормальное распределение. Пусть Х и У вЂ” независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами а1, гг1 и ат, а'1 соответственно. Тогда по формуле (11.3) совместная плотность распределения равна ПРОНЗВЕДЕНИ1О 1(х,у) = — ехр(— 1 / (а — аг)а (З вЂ” аг)а Ъ тааг аа 1 таг з„, В общем случае совместная плотность двумерного нор- мального распределения имеет вид Х(в,у) = 1 (*-~~)' ( — )(х- а) (т- ~)' ехр (— а + Ъгаг аагг1ат 1 З(1 — га)ааг (1 - г*)агах т(1- га)ага г Смысл параметров, входщцих в ету формуяу, следующий: о1 —— Е(Х),яз = Е(У),гг11 = Ю(Х),ггзз = 1У(У),г = г(Х,У)— коэффициент корреляции.
Замечение 1. При г = 0 плотность двумерного нормального распределения величин (Х,У) распадается в произведение плотностей величин Х и У, а етв означает, что величины Х и У независимы. Таким образом, свойство независимости компонент двумерных нормально распределенных величин полностью характеризуется условием равенстванулю коэффициента корреляции.
ЗАДАЧИ Задача 14.1. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием пг = 40 и дисперсией ггз = 400. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (30,80). Задача 14.2. Две игральные кости бросают до выпадения числа 6 хотя бы на одной из них. Найти вероятность того, что впервые число 6 появится прн (г-ом бросании, л = 1, 2,.... ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ мб Задача 14.3. Пусть ХыХ»,...,Մ— независимые случайные величины, распределенные равномерно на отрезке [О, Ц. Найти функции распределения случайных величин У = щах»4»ба Х» и Я = ппп»4»4„Х».
Задача 14.4. Случайная величина Х распределена равномерно с математическим ожиданием Е(Х) = 4 и дисперсией 11(Х) = 3. Найти плотность распределения величины Х. Задача 14.б. Пусть Хм Хз — независимые случайные величины, имеющие геометрическое распределение: Р(Х~ = а) = 4»(1 — о), Л = О, 1, 2,..., [ = 1, 2. Найти распределение величины Я = тах(Х», Ха). 1 15.
РАспРеделения сУмм незАВисимых случАИных Величин. Свегтки РАспРеделений »ь = ~л~ р»Ф-»1 »=о (16.1) г = 0,1,2,... Распределение П = (и„) о, определенное этими равенствамн по РаспРеделевиЯМ Р = (Р»)» о и Я = (4»)фа, называется спиртной распределений Р и»',) и обозначается П = Ро»в. Свертка П = Р»»;) является распределением суммы Я = = Х+ У независимых величин Х и У с распределениями Р и 1) соответственно. Теорема 1. МТуси»» расиредоеоииам Р = (р»)»~ о, ь) = (а»фо, П = (и,,)~ о отвеча»нл ароиоводлщио функции ФР(х)=)' з р» Фо(»)=~,хе, Фп(а)=~~~ а'и »=о ыо ю'юо Рассмотрим сначала две независимые целочисленнозначные неотрицательные случайные величичы Х и У с распределениями р» = Р(Х = й), а = О, 1,2,..., и е = Р(У = 1),1 = 0,1,2,....
В силу того, что величины независимы, событие (Х = а,У = 1) имеет вероятность р»4ь Сумма 8 = Х + У есть случайная величина, и событие (Я = г) равно сумме событий (Х = Л,У = г — л),я = 0,1,...,г. Поскольку слагаемые несовместны, то вероятность и„= Р(Я = г) равна сумме вероятностей событий и, следовательно, задается формулой 15. РАСПРЕЙЕЛЕНИЯ СУММ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 117 Тогда, если П = Рх(3, то Фп(г) = фр(г)фд(х) а наоборот, если фп(х) = фр(г)фс1(г), то У = Р о 1). Показательство.
Перемножив функции фр(г),ф11(г) так, чтобы в результате получился ряд по степеням г, полу- ео фр(г)фд(х) = ЯЯРац„а)г". =а а=о (15.2) Из етого равенства следует утверждение теоремы. Действительно, из (15.2) и (15.1) следует, что произведение функций фг и фд является производящей функцией свертки распределений У, и наоборот, производящая функция свертки распределений распадается в произведение производящих функций компонент. Пример 1.
Пусть независимые величины Х и г имеют распределения Пуассона с параметрами Л1 и Лз соответственно. Тогда сумма Я = Х + У снова распределена по закону Пуассона с параметром Л = Л1+ Лг. Действительно, фх(х) = е"'1' 1~, фу(г) = е"'(' Ц, а тогда, согласно теореме 1, 1ох(х) = е~"'+"'Хг 1. Это снова производящая функция распределения Пуассона, но с параметром Л = Л1+ Лз. Пусть имеются независимые целочисленнозначные неотрицательные величины Хн1 = 1,2,..., н, с распределениями Р~ = (раш)а а.
Калим будет распределение суммы о'„= 2 ~ 1Х~? Составляя сумму последовательно, т. е. каждый раз прибавляя по одному слагаемому, несложно получить, что распределение величины о„будет иметь вид Р1 х Рг а ° ° ° о Р„. Свертку нескольких распределений определяем рекуррентным способом: сначала сворачиваем первые два распределения, затем результат сворачиваем с третьим и т. д. Из теоремы 1 следует, что свертка распределений обладает свойствами коммутативности Р1 а Рх —— Ра а Р1 и ассоциативности (Р1 о Ра) и Рз = Ра а (Рг а Рз), повтомУ в ь,кой последовательности сворачивать распределения, безразлично. Зццача 1. Бросаются независимо друг от друга две правильные пирамидки, на гранях каждой из которых есть цифры 1,2,3,4, выпадающие с равными вероятностями. Найти распределение суммы цифр, выпавших на обеих пирамидках.
Вычислить функцию распределения втой суммы. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 118 Решение. Возможные значения суммы выпавших цифр составляют множество (2,3, ...,8). Обозначим рь вероятность того, что величина Х, равная сумме цифр, принимает значение х. Прямым подсчетом можно проверить, что для 6 = 2,3,...,8 выполняется рь = (4 — [5 — Ц)(1/4)з. Так, например, рз = (1/4)з, а Рь = 3(1/4)з, поскольку сумму 2 дает только один набор (1, 1), а сумму 6 составляют 3 таких набора: (2,4), (3,3), (4,2).
Тогда функция распределения равна О, при х < 2, Р, = 1/16, при2<х<3, Рз + Рз = 3/16, при3<з(4, Рз+Рз+Рь = 6/16 при4<х(5, Рз+Рз+Рь+Рь =10/16, при5<х(6, Рь + Рз+ Рь+ Рь+ Рь = 13/16, приб<х<7, Рз+Рз+Рь+Рь+Рь+Рт = 15/16, при 7 < х < 8, Рз + Рз + Рь + Рь + Рь + Рт + Рз = 1, при 8 < х < оо. Рассмотрим теперь независимые случайные величины Х и У, имеющие плотности распределения /(х) и у(у) соответственно. Согласно (11.2) и (11.3) для любых а < 6 и с < с1 вероятность того, что случайный вектор (Х,У) принадлежит прямоугольнику [а,6) х [с,с1), равна ь д Р(а < Х < 6, с < У < Ы) = /(х)д(у)с1хду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
