А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пентральная область является кругом с радиусом, равным расстоянию между окружностями, и попадание в нее оценивается в 10 очков. Попадание в прилегающее к ней кольцо оценивается в 9 очков, в последующее — 8 очков, и так далее — до 1 очка для последнего кольца.
Вычислить приближенное значение вероятности того, что при 100 независимых выстрелах будет набрано от 360 до 430 очков. Решение. Поскольку все точки мишени равновозможны для поиадания, то шансы попадания в каждое из колец описываются геометрическими вероятностями. Площадь круга равна и з, где т — радиус. Обозначим расстояние между окружностями через Ы. Легко подсчитать, что плошадь А- го кольца равна ~п11((Ь+ 1)з — Ьз) = я~11(2Ь+ 1).
За нулевое кольцо принимается центр круга, а за 9-е — последнее кольцо. Площадь всей мишени равна 100тчР. Следовательно, вероятность попадания в Ь-е кольцо равна (2Ь+ 1)/100, Ь = 0,1,2,...,9. Пусть Х вЂ” случайная величина, ранная числу очков, набранных при одном выстреле. Тогда закон распределения Х задается следующей таблицей Х 10 3 2 13 16 10О 100 100 1х центряльняя прбдельняя т~о~~мА 135 Вычисляя математическое ожидание и дисперсию величины Х, получим Е(Х) = 3.85, Р(Х) = Е(Хз) — Ез(Х) = = 5.5275. Следовательно, 1~(Х) )ж 2.351. Пусть Х~ — случайная величина, равная числу попаданий при 1-м выстреле. Тогда Я„= ~ ~ 1 Х~ — суммарное число очков при и выстрелах.
Применяя центральную предельную теорему (точнее формулу 17.6), для любых пз1 < тт получим Подставляя в правую часть етого соотношения значения математического ожидания, дисперсии и параметров гя1 = 360, 1пз = 430, получим, что вероятность набрать при стрельбе от 360 до очков 430 приблизительно равна -(Ф(1.91) — Ф(-1.06)) = -(Ф(1.91) + Ф(1.06)) ж 0.825. ЗАДАЧИ Задача 17.1. При выстреле по мишени стрелок попадает в десятку с вероятностью 0.5, в девятку — 0.3, в восьмерку — 0.1, в семерку — 0,05, в шестерку — 0.05. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова вероятность того, что он набрал не менее 900 очков? Задача 17.2.
Предположим, что на станцию скорой помощи вызовы в течение суток поступают по закону Пуассона с параметром А = 73 и в разные сутки их количество не зависит друг от друга. Определить вероятность того, что в течение года (365 дней) общее число вызовов будет в пределах от 26500 до 26800. ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИх1ЕСКАЯ СТАТИСТИКА Математическая статистика — ето дисциплина, изучающая методы оценивания и сравнения распределений случайных величин и их характеристик по наблюдениям случайных величин. $18. СлучАйнАЯ ВНЕОРНА.
ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Пусть Х вЂ” случайная величина с функцией распределения Г(«) = Р(Х ( «). Если в ходе случайного експеримента наблюдается одно значение случайной величины Х, то существенной информации о распределении Х или ее характеристиках получить нельзя. Однако, если проводится большое количество не зависимых друг от друга одинаковых случайных експериментов, в каждом из которых наблюдается значение случайной величины Х, то при достаточно большом количестве експериментов можно получить хорошие оценки функции распределения величины Х и ее характеристик.
Построение таких оценок и является одной из основных задач статистики. Определение 1. Случайной выборкой объема и, отвечающей случайной величине Х с функцией распределения г'(«), называется набор и независимых случайных величин Хы Хз,..., Х„, каждая из которых имеет распределение г'(«). Определение 2. Случайная величина, являющаяся функцией случайной выборки, называется статистикой. Таким образом, для любой достаточно хорошей (например, кусочно-непрерывной) функции у(«), величина у(Х\ ~ Хз,..., Хе) — статистика, Величина Х1ь1 = уь(ХМХз,...,Хи), где дь — отображение из В" в й~, сопоставляющее каждому вектору «б й" ту из его координат, которая занимает «-е по порядку значение в упорядоченном по возрастанию наборе, составленному из координат вектора, называется Й-й порядковой статистикой, В частности, Х~В = ппп(ХМХМ...,Х„) и 18.
СЛУЧАЙНАЯ ВЫБОРКА Х<„> = шах(Х1,Хз,...,Х„), Набор упорядоченных случайных величин ХОО ( Х111 ( ° ° ( Х1„1 называется варивциоииым рядом. Часто для краткости случайную выборку Х1,Хз,...,Х„ объединяют в один случайный и-мерный вектор Х = (Х1, Хз,..., Х„). Экспериментатор (статистик), как правило, располагает одной реализацией втой случайной выборки, т. е. набором чисел х = (х1,хз,...,х„), полученных в результате наблюдений величины Х при в независимых повторениях случайного эксперимента в одинаковых условиях. Согласно теории, оценки параметров величины Х или ее распределения, построенные по случайной выборке (Х1, Хз,..., Х„), будут сходится при в — ~ со к истинному значению параметра или распределению либо по вероятности, либо с вероятностью единица, т.
е. для почти всех реализаций выборки. Таким образом, уже по одной реализации с (х1,хз,...,х„) случайной выборки, когда в велико, можно построить оценку, с большой вероятностью хорошо аппроксимирующую истинный параметр или распределение. Пример 1. Рассмотрим задачу о приближенном вычислении вероятности выпадения герба для несимметричной монеты. Пусть р — вероятность выпадения герба, а 1 — р — вероятность выпадения решетки. Для того, чтобы приближенно вычислить параметр р, производятся независимые бросания монеты, и каждый раз выпавшему гербу сопоставляется единица, а решетке — ноль.
Таким образом, мы имеем последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин 1, если при 1-м бросании выпадает герб, Х~ = О, если при 1-м бросании выпадает решетка. Набор величин (Х1,Хз,...,Хе) является случайной выборкой для величины Х с Р(Х = 1) = р, Р(Х = О) = 1 — р. Поскольку Е(Х1) = 1 ° р+ 0 ° (1 — р) = р, то из закона больших чисел (см. часть 1, 116) следует, что случайная — 1» величина Х„= — 1 1 ХБ равная доле выпавших гербов, сходится с вероятностью единица при в -~ оо к величине р. Следовательно, статистика Х„ является хорошей оценкой для р, если и достаточно велико. При многократном МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА бросании монеты наблюдатель имеет лишь набор и чисел вида (1,0,1,1,0,...,1) = (хд,хз,...,х„), т.
е. одну конкретную реализацию случайной выборки (Х1,Хз,...,Х„). Вместо случайной величины Х» он тоже имеет ее реализацию 1» х„= — ~, хь С математической точки зрения реализация » случайной выборки (х1,..., х„) представляет собой значение случайного вектора Х при каком-то елементарном исходе. Поскольку сходимость Х„- р имеет место для почти всех исходов (с вероятностью единица), то и х» при достаточно больших и будет близка к р.
Замечание 1. Одна из основных задач математической статистики состоит в построении по случайным выборкам Х других случайных величин, которые служат оценками параметров или распределений. Эти оценки при неограниченном увеличении числа наблюдений компонент выборки, сходятся с вероятностью единица или по вероятности к истинному значению параметра наблюдаемой величины или ее распределению. Прикладная статистика имеет дело с конкретными реализациями случайных величин, полученными в ходе случайных экспериментов. Она использует оценки и формулы математической статистики, при этом вместо случайных величин Х1 подставляются их конкретные реализации хп Рассмотрим задачу о построении оценки для функции распределения Г(х) случайной величины Х по случайной выборке Х = (Х1, Хз,..., Х„).
Такой оценкой будет служить так называемая эмпирическая функция распределения. О и р е де лен и е 3. Эмпирической функцией распрецеленил, построенной по случайной выборке (Х1,Хз,...,Х„), называется случайная функция » 1 г„(х) = — ~~,$1»,, 1(Х1), 1»1 где 14(у) — индикатор множества А. Замечание 2. Лля конкретной реализации (х1, хз,..., х„) выборки (Х1, Хз,..., Х„) и фиксированного числа х величина Р»(х) равна доле тех значений хп которые меньше х. Замечание 3. Свойства эмпирической функции распределения Г„(х) аналогичны свойствам обычной функции рас- тв.сяучдйнля выборка ззэ пределения: Г„(х) — неубывающая функция по х, О < Г„(х) < 1 для любого х, и Г„(-со) = О, Г„(оо) = 1.
Замечание 4. Эмпирическую функцию распределения можно описать следующим образом. От минус бесконечности вплоть до первой порядковой статистики ХОО значение 1 Г„(х) равно нулю. Лалее значение Г„(х) увеличивается пав й в каждой из точек Х(ьр т. е. Г„(х) = — при х Е (Х1ь1, К1ь+ц). э При х большем чем и-я порядковая статистика Х1„1 значение Ге(х) равно 1. Лля любого фиксированного х случайная величина Г„(х) имеет следующее распределение Р(Г„(х) = -) = С„;(Г(х))~(1 — Г(х))" ~, й = 1,2,...,п. ь Лействительно, событие (Г„(х) = -) состоит в том, что п произошло ровно 1 из событий (Х~ < х), 1 = 1,2,...,и, и, следовательно, произошло н — й противоположных событий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
