А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Локазательство. Мы докажем липьь сходимость в среднем квадратичном и по вероятности. Утверждение о сходимости с вероятностью единица оставим без доказательства, поскольку доказательство такой сходимости потребовало бы значительных дополнительных сведений из теории вероятностей. Локижем сходнмость в среднем квадратичном. Лля этого вычислим квадратичное отклонение Е(Մ— т)2. Используя свойства линейности и аддитивности математического ожидания, несложно убедиться в том,что п и Е(Х ) = ЕР~~,Х1) = — ) Е(Х1) = — пт = т. !м1 1=1 Тогда по определению дисперсии Е(Մ— т)2 = О(Х„).
Лля вычисления дисперсии воспользуемся свойством 2) и след- ствием 3 1 12. В результате получим и Е(Хп — т) = ЩХп) = Р( — ~' Хь) = Ы1 и в = — ',О(ЕХ,) = — ', ЕУУ(Х,) = -'11(Х,). Ью1 1=1 (16.5) В последнем равенстве мы воспользовались тем, что случайные величины Хь одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые дисперсии.
Правая часть в (16.5) стремится к нулю при и -+ оо, а это и означает, что Х„-+ т в среднем квадратичном. 16. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 127 Докажем сходимость по вероятности. Воспользуемся оценкой (1О.З) с б = не. Для любого е > О по неравенству Чебышева имеем в е РОՄ— ™~ >с) = Р(~~~~ Х1 — ") Е(Х1)~ > не) с 1=1 1=1 а х' ,В(Х ) „гзг а4г Правая часть етого соотношении стремится к нулю при и— оо для любого фиксированного е.
Согласно определению вто означает,что Х„ -+ш по вероятности. Пример 1. Пусть и раз бросается симметричная однородная монета. Выпадению герба будем приписывать значение 1, а выпадению решетки — О. Иными словами, проводятся л случайных экспериментов, в каждом из которых наблюдается случайная величина Х1, 1 = 1, 2,..., н со значениями 1 и О в зависимости от выпадения герба или решетки, где ! — номер бросания.
Величины Х1 независимы, поскольку бросания никак между собой не связаны. Поскольку монета симметричная, то вероятности выпадения герба и решетки совпадают и равны 1/2. Тогда т = Е(Х~) 1 1 1 1121 Г 1121 -+ Π— = —, В(Х,) = ~! — -) -+ ~Π— -) — = —. 2 2 2' 2! 2 1 2~ 2 4 — 1» Величина Х„= — 2', Х~ выражает долю выпавших гербов при н бросанилх монеты. Согласно закону больших чисел Х„стремится к 1/2, т.
е. к вероятности выпадения герба. Если бы монета была несимметричной, т. е. вероятность выпадения герба была бы равна р, р ф 1/2, то т = Е(Х1) = 1 р+О ° (1 — р) = р, и по закону больших чисел доля выпадений герба будет стремиться к р. Таким образом, бросая монету большое число раз и вычисляя величину Х„, можно с большой точностью вычислить р, т. е. установить, симметричная монета или нет. В более общей ситуации, если проводятся я независимых одинаковых случайных экспериментов, в каждом из которых может наступить или не наступить событие А, то частота иоявлення этого события, в силу закона больших чисел, будет стремиться к Р(А).
Действительно, как и в примере 1, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 128 положим величину Х1, равной 1, если А наступило в (-м вксперименте, и равной О, если не наступило. Величины Х1, ( = 1,2,...,и независимы, так как независимы експеримен- 1 в ты. Тогда Хв = — ),1 1 Х1 — частота появления события А.
Очевидно Е(Х1) = Р(А), Р(Х1) = Р(А) — Р~(А) = Р(А)Р(А). Можно применить закон больших чисел, из которого следует, что Х„-+ Р(А). Звдача 2. На перрон стеяпии метро каждые 5 минут приходит случайное число пассажиров, распределенное по закону Пуассона с параметром )1 = 250. За то же время с перрона отправляются проходящие поезда, которые могут увезти количество пассажиров, имеющее равномерное распределение в промежутке [195,205]. Можно ли рассчитывать, что перрон не переполнится, если такой режим поддерживается постоянно? Решение. Пусть Х» — число пассажиров, пришедших на перрон в течение»-го пятиминутного отрезка (отсчет можно вести от произвольного момента), а У» — число свободных мест в проходивппгх за вти 5 минут поездах.
Заметим, что Е(Х») = Л = 250 и Е(У») = (195+ 205)/2 = 200. Пусть Фв— число пассажиров, добавившихся за в пятиминуток к имевшимся на перроне, а с — произвольное положительное число. Поскольку К„> ~ в (Х» — У») и Е(Х») — Е(У») = 50, то при в > с/50 справедливо Р(Ф„< с) < Р(~~,(Х» — У») < с) = »в1 в = РД' (Х» — У» — Е(Х»)+ Е(У»)) < с — 50в) < «=1 в < Р() ~~1,(Х» — У» — Е(Х») + Е(У»))~ > 50п — с) < »=1 2. в(х» - у») <» 1 в(х -ь ) (»ов — с)» в(зо — а/в)» при и -+ оо. Последнее неравенство выполнено благодаря (16.3). Таким образом, переполнение перрона неизбежно, поскольку Р(Кв ) с) -~ 1 для любого е. 1Х ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 129 ЗАдАЧи Задача 16.1. Устройство состоит нз 60 независимо работающих клементов.
Вероятность отказа каждого елемента за время $ равна 0.05. Оценить снизу вероятность того, что число отказавших за время 1 клементов будет не больше четырех. Задача 16,2. Монета бросается 1000 раз. Оценить снизу вероятность отклонения частоты появления герба от 1/2 меньше, чем на 0.1. Задача 16.3. Вероятность наступления некоторого события А в каждом из 1500 испытзлий равна 0.2. Используя неравенство Чебышева, оценить сверху вероятность того, что отклонение числа наступлений события А от математического ожидания будет более 40. Задача 16.4. Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0.9.
Сколько следует проверить изделий> чтобы с вероятностью не меньшей 0.95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0.9 не превысит 0.01? 3 17. ПентРАльнАЯ пРедельнАЯ теОРемА Многие из случайных явлений возникают в результате взаимодействия большого числа малых случайных возмущений. Примерами могут служить помехи в радиотехнике, диффузии в жидкостях и газах, рост некоторых микроорганизмов и т.
д. При определенных условиях действие таких возмущений приводит к неожиданному феномену: величина. результирующего (суммарного) воздействия становится мало отличной от нормально распределенной случайной величины. Пель настоящего параграфа — дать математическое обоснование атому феномену. Сам феномен составляет суть предельной теоремы, которая в силу особой важности называется центральной. При доказательстве предельных теорем, т.
е. теорем о сходимости при в — оо функций распределения некоторых случайных величин, зависящих от индекса и, к распределению предельной величины, удобно иметь дело не с распределениями величин, а с характеристическими функциями атих величин. Это связано с тем, что характеристнче- ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ скис функции более удобны для аналитического изучения, и с тем, что сходимость распределений и сходимость характеристических функций эквивалентны, о чем свидетельствует следуютий результат. Теорема 1.
Пусть ~р~(1) — характеристические функции случайных величин П„, а Г„(х) — функции распределения П„, пь е. 1~„(Ф) = Е(е"х"), Г„(х) = Р(П„< х). Пусть ьо(1) — характеристическая функция случайной вееичины П, а Г(х) — функция распределения П, т. е. ьо(1) = Е(е"Х), Г(х) = Р(У < х). 7огда следующие утвержденна гквивалентны: 1) в каждой точке непрерывности функции Г(х) имеепь место сходимость Г„(х) -+ Г(х) при и -ь оо; 2) у„(1) — 1о(1) для люБого 1 б 11~ при и -> оо. Этот результат приводится без доказательства, так как для доказательства потребуются сложные математические рассуждения. Леьема 1. Если функция распределения Г(х) непрерывна на всей прямой, то сходимость Г„(х) -+ Г(х) для любого х Е 1ьь еквиваленпьна равномерной сходимости: при и -+ оо (17.1) еир [Гп(х) — Г(х)[ -+ О.
еепе Доказательство. Для произвольного е > 0 разобьем интервал [О, 1) на интервалы [уь,уь~ы),й = 0,1,...,т, так, чтобы 0 < уьль — уь ~ е. Считаем, что уо = О,у„,ль = 1. Поскольку функция Г(х) непрерывна и не убывает, то сушествуют такие точки хь, что Г(хь) = уь и хь < хь+ь й т = 0,1,...,т. Поскольку Рп(хь) -+ Г(хь) прин - со, то можно указать столь большое М, что при и > К будут выполнены неравенства [Г„(хь) — Г(хь)[ < е, й = 0,1,...,т+ 1.
В силу этих оценок для любого и > М и й = О, 1,..., ьп будем иметь 0 ~ Гв(хьвь) — Гп(хь) ~ ([Рп(хь+ь) — Г(хь+ь)[+ + Г(хь.„ь) — Г(х,)+ [Г(хь) — Гп(хь)[ (~3~ 17, ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕмЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА Используя теперь монотонность функций Р„(х) и р'(х), для и ) Ф получим вир ~р'„(х) — Р(х)~ < твх ~ вир (р'„(х) — р'„(хь))+ еен' -Ойь,т!.„...„,) + !рп(хь) — р'(хь)~+ вир (Р(х) — Р(хь))~ < ге1еь,гь+г) < ПЬаХ (Ро(Хе+1) — К (ХЬ) + ~К,(ХЬ) — Р(ХЬ)1+ ась< + Р(хе+1) — Г(хь)) < Зе + е + е = бе, Теорема 2 (центральнаи предельная теорема).
Пусть (Х))1 — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с магпематическими охсиданиями Е(Х1) = а и конечными дисперсиями 1з(Х1) = хз. По*озгсим П„= ~"~~ 1 Хь Пуспьь Г„(х) = Р(Я„< а) — функдив распределения сеучайной величины 2„= —, а Ф(х) — функХия расв4п пределения нормального закона со средним О и дисперсией 1. Тогда пра п - оо вир ~Рп(х) — Ф(х)~ -+ О.
гвнь (17.2) Показательство. Характеристическая функция нормального распределения со средним О и дисперсией 1 имеет вид е ' гз (см. $ 14). Пусть 1о„(1) = Е(е"Я") — характеристическая функция величины Я„. Согласно теореме 1 и лемме 1 достаточно доказать, что для любого 1 б И.1 1з„(1) е-г 71 (17.3) Пусть р(1) = ~рз;(1) = Е(е"1') — характеристическая функция Хг— величины у) = —. Величину П„представим в виде суммы о Так как е выбиралось произвольным, нз етой оценки следует утверждение леммы.
Теорема 1 об аквивалентности утверждений о сходимости характеристических функций и функций распределения играет принципиальную роль при доказательстве следующего основополагающего результата теории вероятностей. 17. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 133 получим „(1) — ((1+ А(1))17Я (О)"Щ') -в'/2 Требуемое соотношение (17.3), а, следовательно, и теорема 2 доказаны, Замечание 1. Как следует из доказательства, величину Хв Межие ПрЕдСтаВИтъ В ВИДЕ Хв = ~ ~" 1 Ув,п ГдЕ СЛаГаЕМЫЕ 3'( Увя = — независимы и одинаково распределены со средним ~/в 1 Е(У„А) = О и дисперсией Е(У~~) = — — обратно пропорцио- нальной числу слагаемых. Часто оказывается, что зависи- мость слагаемых тву от и является более сложной, чем зави- симость вида 1'~/1ф.
Тем не менее, если ети слагаемые при каждом и независимы, имеют среднее О и дисперсию, обрат- но пропорциональную п, то при некотором дополнительном ограничении справедливо соотношение (17.2). Очень важ- ным обстоятельством является то,что центральнаяпредель- ная теорема справедлива для случайных величин Х~ с любы- ми распределениями, для которых ЕХ~ = 0,13(Х~) = пз < оо.
Замечание 2. Из формул (17.2), (10.1) и (14.1) следует, что для з1 < зз (17.6) Пример 1. Приведем вывод интегральной теоремы Муавра-Лапласа (3 9) из центральной предельной теоремы. Проводятся и испытаний Бернулли и нас интересует число наступлений события А. Пусть случайная величина Х~ принимает значение 1, если в 1-м испытании событие А наступило, и О в противоположном случае. Тогда Е(Х~) = р, 11(Х~) = р4, где р = Р(А) и 4 = 1 — р. Обозначим ов = Я~ Хь Величина ов равна числу наступлений события А в в испытаниях. Лля ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 134 т1 пР Фаз аР т1 ( тз положим а , Ь„= —. Используя вве,,/Ещ,,/ярд денные обозначения и (17.6), получим, что для Р„(т1,тз) (определение см.
18) справедливо соотношение Р„(т1, тз) = Р(т1 ~( Я„( тз) = Р(т1 (~ Я„( тз + 1) в в — (Ф(Ь„+ — )-Ф(а„))в -(Ф(Ь„) — Ф(а„)). В последнем приближенном равенстве мы воспользовались равномерной непрерывностью функции Ф(х). Полученное соотношение и составляет утверждение интегральной теоремы Муавра — Лапласа. Задача 1. Производится стрельба с большого расстояния по круглой мишени так, что при каждом выстреле попадание равновозможно в любую точку мишени. Промахов нет. Мишень разделена концентрическими окружностями, равноотстоя1цнми друг от друга на 10 областей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
