А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 18
Текст из файла (страница 18)
с с Поскольку любое достаточно хорошее множество А на плоскости можно представить в виде суммы непересекающихся прямоугольников, то Р((Х,У) Е А) = /(х)д(у)с1хс1у. Пусть о = Х+ У. Обозначим А = ((х, у): х+ у < в). Тогда (Я < з) = ((Х,У) Е А) и Р(Х+ У < в) = /(х)д(у)с1хс1у= /(х)д(е — х)Ых Ао. с+а<с Ос сс 15. РАСПРЕггЕЛ ЕНИЯ СУММ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 119 В силу определения плотности из этого представления сле- дует, что функция Ь(о) = Дх)д(о — х)ах (15.3) является плотностью распределения суммы Х + У. Определенную этой формулой функцию Ь называют сверткой функций 1" и д и обозначают Ь(о) = у о д(о) или, без указания аргумента, Ь = у о д.
Таким образом, плотность распределения суммы двух независимых случайных величин, имеющих плотности распределения, равна свертке плотностей распределений слагаемых. Если величины Х и У неотрицательны, т. е. Дх) = О при х < О, и д(у) = О при у < О, то формула свертки (15.3) превращается в следуюпгую: при о > О о Ь(о) = „~ 1(х)д(о — х)ах, о (15.4) а при о < О имеем Ь(о) = О. Равенство нулю плотности при отрицательных значениях аргумента отражает тот факт, что сумма двух неотрицательных величин неотрицательна.
Теорема 2. Пусто г,д и Ь - илотности раснрсдсленив и про(1) = в"*д(х)дх, ру(1) = ~ сп*Дх)ах, ась(1) = вп Ь(х)ах — соотвстствугощие им характеристические функции. Тогда, если Ь = 1 о д, то варь(1) = ср1(1)рр(1) и наоборот если из(1) = = дг1 Я ро(1), то Ь = у о д. Доказательство. С помощью замены переменной интегрирования легко убедиться, что произведение характеРистических фУнкций У1(1) и 1оо(1) можно пРедставить в следующем виде: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 120 уу(8)~рв(Ф) = е' ях)е' вд(у)3хоу = — е' *Дя)е' ~" ~д(и — х)охпе = — е' " Дх)д(е — х)ях оо. ) Лв ~, приз)0, ~ О, при х<0.
Тогда плотность распределения суммы Я„имеет вид ( л(х*)"-' ,с 10, приз)0, при в < О. Из етого равенства следует, что произведение уу(М)ув(4) является характеристической функцией свертки Ь = у од, и наоборот, характеристическая функция свертки плотностей распределения распадается в произведение характеристических функций компонент.
Свертканескольких плотностей распределения определяется рекуррентным способом: сначала сворачиваются первые две плотности, затем результат сворачивается с третьей и т. д. Из теоремы 2 следует, что свертка плотностей распределений обладает свойством коммутативности Л вУа =Ь вЛ и ассоциативности (Л вЬ) «Уз = Л1(Л вУз), поетому не имеет значения, в каком порядке сворачивать плотности распределении. Ясно, что плотность распределения суммы о' = ,') ~~ 1ХН где Х~ — независимые случайные величины с плотностями распределения Д(х), равна свертке плотностей слагаемых, т. е. Ь(в) = ~~ эуз в ° ° ° в Д,(в). Пример 2.
Пусть 5'„= Х1 + Хз+ + Х„, где Х~ — независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром 1, т. е. Х~ имеют общую плотность ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Задача 15.2, Смешаны две группы однотипных деталей, содержащих пь и нг деталей каждая. Число бракованных деталей в каждой группе Х и У имеют биномиальные распределения Р(Х = т) = С„,р (1 — р)"', т = О, 1,2,..., иь, Р(У = т) = С„'",р (1 — р)"' ~, т = О, 1,2,..., ~~, с оответственно, Найти закон распределения числа бракованных деталей (Х+ У) в смешанной группе. Задача 15.3.
Пусть Хь распределена с показательной плотностью Л(*)= 0 ' .,0' 4е 4', 0 <х, а Хз не зависит от Хь и распределена равномерно с плот- ностью 1 О, х < 2, 4 < х. Найти плотность для суммы Х = Х + У. Задача 15.4. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале 10,2], случайная величина У равномерно распределена в интервале [ — 1, 1], Х и У независимы. Найти плотность вероятности величины л = Х+ У. Задача 15.5. Пусть случайная величина Х имеет показательную плотность с параметром сь, а величина У распределена равномерно на интервале ]О, Ф]. Найти плотность для Х+У и Х вЂ” У. ~16.
Неравенство ЧББышеВА. ЗАКОН Больших чисел В теории вероятностей часто оценивают вероятности событий, порожденных случайной величиной, через моменты случайной величины. Лемма 1. Пусть Х вЂ” неотрииательнал случайная оеличина, пь е. Х > О. Тогда дло льобого е > 0 Р(Х > е) < —. е(х) 16. ЭАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ туз где йл(и) — индикатор множества А. Согласно четвертому свойству математического ожидания (з 12) из очевидного неравенства Х11, сг1(Х) > сй(..с.1(Х) следУет, что Е(Хйй ог1(Х)) > сЕ(й(,,„,)(Х)). ИспользУЯ етУ оценку и тот факт, что математическое ожидание неотрицательной случайной величины неотрнцательно, получим Е(Х) Е(Х(а[ел)(Х) + й~г,со)(Х))) = Е(Х3$рл)(Х)) + Е(ХХ(,,с,)(Х)) > > Е(ХМй,„1(Х)) > сЕ(М(,,~1(Х)) = сР(Х > 6).
Поделив правую и левую части етого неравенства на с, получим требуемую оценку. Лемма 2 (неравенство агебышева). Яля любой случайной ослачины У с коночным вторым моментом а любого б > О РЦУ-Е(У)~ > б) <+~, (16. 1) До к азат ель ств о. В силу неравенства (12 3) из конечности второго момента следует, что математическое ожидание и дисперсия существуют. Применим лемму 1 для случайной величины Х = (У вЂ” Е(У))г н с = бг.
Тогда имеем Р(!У вЂ” Е(У)~ > б) = Р((У вЂ” Е(У))г > бг) < ж(у — в(уйг и( ) гг Следствие 1. Юля любой случайной осличины У с коночным оторым моментом а любого б > О (16.2) Поскольку сумма вероятности события и вероятности его дополнения равна единице, то оценка (16.2) непосредственно вытекает из (16.1). Локазательство. Очевидно, что для неотрицательной случайной величины Х справедливо равенство ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 124 Следствие 2. Пусте Хс,Хг,...,Х„незеенснмие случайние еелкчкни с конечнимн енсорммн моменснамн. Тогда длсс любого б ) 0 й й й Р(~~~ Хс — ~Е(Хс)~ ) б) ( ег ~Р(Хс), вм сйс с=с й й й Р(~~~~,Хс — ~~~ Е(Хс)~ < б) ~л 1 — — ~~~,о(Хс). сйс ьйс Ссм (16.3) (16.4) Е(Хс) =1 рс = 0 8(0.99)с ' О(Х,) = Е(Х,') — Е'(Х,) = 0.8(0.99)'-' — (0.8(0.99)'-')', то, используя известную формулу для суммы членов геоме- трической прогрессии, получим Е(Хс) = 0.8 ° ' ~ ас 50.72, =шо й = 0.8 ' ~1 — 0.8 ' ) ~ ж 50.72 ° 0.45 нс 22.87.
Л о к а з а т е л ь с т в о. Положим У = Яс~ с Хс. В силу аддитивности математического ожидания Е(У) = ~ с", Е(Хс). По следствию 3 $12 имеем 13(У) = ~~" с О(Хс). Подставляя ати выражения в (16.1) и (16.2), получаем (16.3) и (16.4) соответственно. Задача 1. Изнашивание орудия при стрельбе ведет к тому, что каждый выстрел уменьшает вероятность попадания в цель на 1 %. При первом выстреле вероятность попадания равна 0.8.
Производится 100 выстрелов. Найти границы, в которых с вероятностью не меньшей 0.85 будет заюпочено число попаданий, Решение. Поскольку каждый выстрел уменьшает веролтность попадания на 1 %, то при втором выстреле она равна рг = 0.8 ° 0.99, а при 1-м равна рс = 0.8 (0.99)с с. Пусть величина Хс принимает значение 1 в случае попадания при 1-м выстреле и 0 в случае промаха. Сумма ой = Я,й,Хс будет числом попаданий при н выстрелах. Поскольку 10. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 120 При и = 100 кз (16.4) следует, что 100 100 Р(~Е(Х,)-5 < 8100 < ~'Е(Х!)+5) > !л1 Ы1 100 > 1 — —.
~! П(Х!) = 0.85, где 5 выбирается так, чтобы выполнялось последнее равенство, т. е. 5 = О ! ! Р(Х!)/0.15)1!2 !к 12.35. Таким образом, 100 100 7' Е(Х!) — 5 я! 38.37, Я Е(Х!) + б а! 63.07. Следовательно, !ю1 с гарантированной вероятностью 0.85 число попадзю1й при ста выстрелах будет заключено в пределах от 38 до 63. Рассмотрим различные виды сходимости последовательностей случайных величин. Оп р еде ление 1.
Говорят, что последовательность случайных величин Х„сходится при и -+ оо к величине Х в среднем квавратичном, если Е(Մ— Х)з - О. Определение 2. Говорят,что последовательность случайны:! величин Х„сходится при в -+ оо к величине Х по вероятности, если Р(!Մ— Х! > 0) -+ 0 для любого 0 > О. Определение 3. Говорят что последовательность случайных величин Х„сходится при п — оо к величине Х с вероятностью единхпха, если вероятность множества всех исходов из Й, для которых имеет место сходнмость числовых последовательностей Х„(ы) -е Х(0!), имеет единичную вероятность, т. е.
Р(ы: Х„(0!) -+ Х(0!)) м 1. Следую1ций фундаментальный резулътат теории вероятностей имеет название "закон больших чисел". Пусть проводится большое количество независимых одинаковых акспериментов, в каждом из которых наблюдается случайная величина одной и той же природы. С математической точки зрения зто означает, что наблюдается последовательность независимых случайных величин с одинаковыми распределениями.
Предполагается, что существует математическое ожидание отдельно взятой величины. Обозначим его т. ЗаМетим, что математические ожидания у одинаково распределенньгх случайных величин одинаковы. Тогда среднее арифМетическое всех значений случайных величин, полученных ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 126 в результате экспериментов, приближается при возрастании числа экспериментов к неслучайному числу т. Теорема 1 (закои больших чисел). Пусть (Х1)~'1 последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием т = Е(Х1) а конечными дисперсиями Р(Х1) ( оо. Тоеда величина Х„= и — ~ ХО равная среднему арифметическому первых и вень личин ав последовательности (Хь)~" 1, сходится при п -ь оо в среднем квадратичном, по вероятности и с верояпьностью еданииа к математическому ожиданию т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
