А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется число о Е(Х) = ~ , 'х|рь 1=1 12. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 85 Замечание 1. Если случайная величина Х имеет счетное число значений, т. е. н = оо, то говорят, что математическое ожидание существует, если ряд ~ , '~х~~р~ сходится, в 1=1 противном случае говорят, что математйческого ожидания не существует.
«« Величину Е(~Х~) = Я ~хцр~ называют абсолютным мо- Ь«1 ментом дискретной случайной величины Х. Смысл математического ожидания наиболее ясно проявляется при рассмотрении схемы равновозможвых исходов. Это среднее арифметическое значение всех возможных реализаций случайной величины, которые могут появиться в ходе случайного експернмента. Лействительно, пусть Ф— число всех равновозможных исходов експеримента.
Пусть значение х~ соответствует па исходам, 1 = 1,2,...,п, и п11+ глз + ° ° ° + га« = № Поскольку исходы равновозможпы, то р~ = Р(Х = х~) = — '. Тогда И' « « Е(Х) = ~ хца = ~~, х~ — ' = В«1 !«1 1 х1+х~+...+х1+хз+хз+...+аз+...+х +х +...+х е«а «а «в„ Правая часть этого равенства и является средним арифметвческим всех возможных реализаций случайной величины Х. Поетому Е(Х) часто называют средним значением величины Х. Замечание 2. Если есть дискретная случайная величина Х, принимающая и различных значений, и некоторая взаимно однозначнал функция у(х), то случайная величина д(Х) принимает значения у(х~) с вероятностями р~ Р(Х = х~), 1 = 1,...,а (см.
замечание 1 110). Поетому Е(у(х)) = ,'> «~ 1р(х~)рь Это равенство выполняется и для функций у, не имеющих обратную, поскольку согласно замечанию 1 110 у(Х) принимает совпадающее для разных х~ значение с соответствующей суммарной вероятностью. Отметим важный частный случай. Определим 1 1, при хбА, 1А(х) = ~ (О, прихфА, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ вЂ” индикатор множества А. Пусть А — счетное множество, у(х) = 1л(х).
Тогда сире ведливо соотношение »» Е(»хл(Х)) = ~ хл(х»)р» = ~~~ р» = Р(Х Е А). »=1 а»ел Замечание 3. Если даны две дискретные случайные величины Х и У с совместными вероятностями р»1 = Р(Х = х;,У = уз), Ь = 1,...,и, у = 1,...,п» и Ь(х,у) — некоторая функция двух переменных, то в силу замечания 1 Ь 11 математическое ожидание случайной величины»»(Х, У) вычисляется по формуле Е(Ь(Х,У)) = ~»,'Ь ЬЬ(х<,р.)рб. »веуве Свойства математического ожидания.
1) (свойство линейности) для любых постоянных а и Ь Е(аХ + Ь) = аЕ(Х) + Ь; 2) (свойство аддитивности) для любых двух случайных величин Х и У Е(Х + У) = Е(Х) + Е(У); 3) если случайные величины Х и У независимы, то Е(ХУ) = Е(Х)Е(У), и более того для широкого класса функций у(х) и Л(у) Е(у(Х)Ь(У)) = Е(у(Х))Е(Ь(У)); 4) если Х > О то Е(Х) > О, если Х > У, то Е(Х) > Е(У). Лохазательство. Первое свойство следует из свойства линейности операпии суммирования. Лействительно, и »» »» Е(аХ+Ь) =~~ (ах»+Ь)р» = а "» х»р»+Ь~ р» =аЕ(Х)+Ь.
»=1 1ю1 »ю1 12. числОВые хАРАктеристики случАЙных Величин вт Согласно замечанию 1 й 11 величина Х+У является случайной величиной, принимающей значения х1 + у с вероятностями р» = Р(Х = а;, У = у1 ), 1 = 1,..., и, д = 1,..., ввв и ее математическое ожидание вычисляется согласно замечанию 3. Используя свойства 1) и 2) для вероятностей р», имеем Е(Х+У) = ~ ~~1 (х;+Уй)Р» = ~~в х;~),Рв1+~~~ Уд ~ Р» = ° и1 ° =1 1=1 х1ров+ ~~1 удр~'~ = Е(Х) + Е(У). ви1 1=1 Убедимся в справедливости третьего свойства. Поскольку величины Х и У независимы, то р» = Р(Х = х;, У = ув) = Р(Х = х1)Р(У = уу) = ру1рй1. Тогда вв ви и ив Е(д(Х)Л(У)) =~~ ~~) д(хв)Ь(у )р» = ) ~,,д(х1)Л(у1)ру1рй1 = в=1 ви1 ° =1 1=1 и ви = Яд(х1)ро1~~в Ь(уд)ру1 = Е(д(Х))Е(Ь(У)), в=1 1=1 Докажем четвертое свойство. У неотрицательной случайной величины математическое ожидание будет неотрицательным, поскольку ето сумма неотрицательных слагаемых.
Если Х > У, то Х вЂ” У > О, и Е(Х вЂ” У) > О. По второму и первому свойствам Е(Х -У) = Е(Х) -Е(У). Следовательно, Е(Х) — Е(У) ) О, а значит Е(Х) ) Е(У). Следствие 1. Олл лводой случайной велнчнни Х ~Е(Х)~ < Е(~Х~). (12.1) Действительно, поскольку Х < ~Х~ и -Х ( ~Х~, то по свойствам 4) и 1) имеем Е(Х) ( Е(~ХО и -Е(Х) ( Е(~Х~). Что и требовалось доказать. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕИ Следствие 2.
Ялх любих случайяих величая Х1, Хз,..., Хь Е~Д~ Х1) = ) )Е(Х1). 1=1 1=1 Это утверждение доказывается с помощью свойства 2) по индукции. Определение 2. Дисперсией дискретной случайной величины Х называется число П(Х) = ) (х1 — Е(Х)) р1. 1=1 В силу замечания 2 дисперсией случайной величины Х служит математическое ожидание (среднее) случайной величины (Х вЂ” Е(Х))з, т. е. П(Х) = Е(Х вЂ” Е(Х))з.
Смысл дисперсии заключается в том, что она характеризует средний квадратичный разброс случайной величины вокруг своего математического ожидания. Замечание 4. Если П(Х) = О, то в силу определения дисперсии Р(Х = Е(Х)) = 1, т. е. фактически Х вЂ” детерминированная (не случайная) величина. Пример 1.
Пусть Х вЂ” число гербов, выпавших при четырех бросаниях правильной монеты. Тогда, используя результат примера 2 из 110, получим Е(Х) = 0 ° — + 1 ° — + 2 ° — + 3 ° — + 4 — = 2, 1 4 6 4 1 16 16 16 16 16 ЩХ) (О 2)з + (1 2)з + +(2 — 2)'.-'+(3 — 2)'.-'+(4-2)'. ' =1, 16 16 16 Свойства дисперсии. 1) для любой случайной величины Х П(Х) = Е(Х') — Е'(Х); 2) для любых постоянных а и 4 П(аХ + 6) агзз(Х), 3) если случайные величины Х и У независимы, то Ю(Х + У) = П(Х) + П(У). 12. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 89 До к азат ел ь от в о. Первое свойство устанавливается с помощью следующей цепочки равенств: и х Р(Х) = ~~ (х~ — Е(Х)) р~ =,Ь (х~~ — 2х~Е(Х) + Ег(Х))рг = ьм ыг П с в х~~рг — 2Е(Х)~хгрг+Ег(Х)~~ р~ = ьы ьы Ыг = Е(Хг) — 2Е(Х)Е(Х) + Е~ГХ) = Е(Х ) — Е (Х).
Используя определение дисперсии и свойство линейности математического ожидания, получим Р(аХ + Ь) = Е(аХ + Ь вЂ” Е(аХ + Ь)) = Е(аХ вЂ” аЕ(Х))г = а Е(Х вЂ” Е(Х)) = агР(Х). Для доказательства третьего свойства воспользуемся уже доказанным первым свойством дисперсии и вторым и третьим свойствами математического ожидания. Имеем Р(Х+У) = Е(Х+ У)г — Ег(Х+У) = Е(Хг + 2ХУ + Уг) (Е(Х) + Е(У))г = Е(хг) + 2Е(ХУ) + Е(уг) Ег(Х) — 2Е(Х)Е(У) Ег(У) = Е(Хг) — Ег(Х) + Е(Уг) — Ег(У) = Р(Х) + Р(У). Следствие 3. Ялл кезависвленх случайных велачии Хи Хг,...,Хг г ь Это утверждение доказывается с помощью свойства 3 по индукции. 2. Случайные величины, имеющие плотность распределения.
Пусть функция распределения Г(х) случайной величины Х имеет плотность распределения у(х). Определение 3. Математическим ожиданием случайной величины Х с плотностью распределения у(х) называется число Е(Х) = ) хЯх)йх. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Говорят, что математическое ожидание у случайной величины Х существует, если у нее конечен абсолютный момент Е(~Х~) = ~ ~хц(х)лх. Замечание б. Если есть случайная величина Х с плотностью распределения Дх) и некоторая непрерывная функция д(х), то математическое ожидание случайной величин д(Х) вычисляется по формуле Е(д(Х)) = д(х)У(х)Ых. Если д(х) — монотонно возрастающая функция> то ета формула является следствием формулы (10.6) и правила замены переменной интегрирования.
Для важного частного случая, когда д(х) = Мл(х), где А — интервал (а,Ь) или объединение интервалов такого вида, справедливо соотношение Замечание 6. Если даны две случайные величины Х и У с совместной плотностью распределения Дх, д) и случайная величина Л(Х,У), где Л(х,д) — непрерывная функция двух переменных, то Е(Л(Х, У)) = Л(х, у)у(х, д)ИЫу. Определение 4. Лисперсией случайной величины Х с плотностью распределения Дх) называется число В(Х) = (х — Е(Х))тУ(х)а . Справедливы все свойства математического ожидания и дисперсии, сформулированные для дискретных величин. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пример 2. Пусть имеется однородная проволока, растя- гиваемая за концы. Любой точке проволоки сопоставим ко- ординату, равную расстоянию от этой точки до левого кон- ца плюс некоторое число а.
Тогда левый конец проволоки имеет координату а. Пусть Ь вЂ” координата правого конца проволоки. Очевидно,что а < Ь. Пусть Х вЂ” случайная вели- чина, равная координате точки разрыва. Ясно,что разрыв происходит в промежутке 1а, 6]. Используя геометрические вероятности, аналогично примеру 4 2 10 найдем, что функ- ция распределения и плотность распределения Х имеют вид О, приз(а, О, приз<а, 6'(х)=:, при а<а<6, Г(х)= —, прях<а<6, 1, приЬ<г, О, при Ь(з.
Случайная величина с таким распределением называется равномерно распрцделенной на отрезке [а, 6). Ее матема- тическое ожидание и дисперсия имеют следующие значения ь да ьед Е(Х) = — ь хдх = — — = —, Ь-д/ 6 — д 2 2 д ь 16-дУ2 П(Х) = — ь ььз — — ) ьЬ = — ) е ьЬи = —. ГГ ь+дта ь Г а (ь-д)* 6 — дЬь 2 ) Ь вЂ” д / га д 1 -ьуа Лемма 1 (неравенство Конан — Вуняиовскьно). Длх лаь- бих случдбких едлачав Х и У Е(~ХУ~) ( (Е(Ха)) (Е(Уа)) . (12.2) Показательство. Лля любых вещественвых чисел хь, ха и а справедливо неравенство хьха < -( — хь + а ха), ь ь а а а которое вытекает из очевиьщого неравмьства(а ьхь-аха) ) О.
Используя его неравенство и свойства 1), 2) и 4) матема- тического ожидания, несложно убедиться, что Е(~ХУ~) ~~ Е(-( — аХ + а~У~)) ~ (-( — Е(Х )+а~Е(У~)). Полагал здесь аа = (Е(Ха)) /(Е(Уа)); получаем (12.2). 12. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 93 Следствие 4. Ялл любой случайной величиям Х Е(~Х0 < (Е(хз))"'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
