А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Задача 1. Лискретная случайная величина Х имеет закон распределения Построить закон распределения случайной величины У = = Хт+1. Р еш е ни е. Значение 1 величина У принимает только, когда величина Х принимает значение О, с вероятностью 0.3. Значение 2 величина У принимает, если величина Х принимает значение -1 или 1 с вероятностями 0.2 и 0.3 соответственно. Тогда ети вероятности нужно сложить, что даст вероятность события У = 2.
Аналогично вероятность того, что У = 5 будет равна 0.1+ 0.1 = 0.2. Следовательно, закон распределения случайной величины У = Хз + 1 имеет вид Рассмотрим случайные величины, которые могут уже быть не дискретными. При определении таких случайных величин множество Й уже не является счетным и мы должны опираться на аксиомы теории вероятностей 1 б.
Будем считать, что из подмножеств пространства елементарвых событий й выделено семейство множеств А, которое является а-алгеброй. Множества из А составляют всевозможные события случайного експеримента. Предположим также, что ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ на А задана вероятность Р, удовлетворяющая аксиомам теории вероятностей. 0 и р е д е л е н и е 3.
Случайной величиной называется функция Х = Х(ы), заданная на пространстве влементарных событий й, для которой событие [Х < х) = (и: Х(м) < х» принадлежит >т-алгебре А для любого вещественного л. Условие [Х < х) Е А дает возможность рассматривать вероятности событий (Х < х), поскольку вероятности определены только на множествах из А. Кроме того> через события (Х < л», х е (-оо, оо), с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие будет также принадлежать >г-алгебре А, и, следовательно, для него определена вероятность. Вся совокупность вероятностей Р(Х < х), х Е (-оо, оо) задает закон распределения случайной величины Х в общем случае.
Часто для краткости закон распределения называют просто распределением случайной величины Х. Определение 4. Функция Р(з) = Р(Х < л), х Е [-оо, оо», называется функцией распредрления случайной величины Х. Замечание 2. Для дискретных случайных величин Г(з) = Р(Х < х) = Р(~,< (Х = х~)) = ,'["',,< Р(Х = х>) = ):, <„р>. Ясно, что функция г'(х) однозначно определяет все вероятности рь Пример 3. Функция распределения величины Х, равной числу гербов, выпавших при четырех бросаниях симметричной мснеты, имеет вид Рнс.
8 ю. случдйнык вбличины и еункции рдспркдблбния тз Свойства функции распредрления. 1) если х1 < хз, то Г(х1) < Г(хз), т. е. Г(х) — неубывающая функция; 2) Г(-оо) = О, Г(со) = 1; 3) функция Г(х) непрерывна слева: 11шв1о Г(х) = Г(у). Показательство етих свойств целиком опирается на свойства вероятностей (з 6). Положим А = (Х < х1»,В = (Х < хз). При хв < хз выполняется включение А С В, т. к.
если Х(м) < хн то и Х(ы) < хз. По третьему свойству вероятностей имеем Р(А) ~ Р(В), а ето по определению функции распределения и означает, что Г(х1) < Г(хз). Поскольку (Х < — оо» = И, а (Х < со» = й, т. е. ети события являются соответственно невозможным и достоверным, то по первому и второму свойству вероятностей Р(Х < -оо) = О, а Р(Х < оо) = 1. Это составляет второе свойство функции распределения. Выберем произвольную монотонно возрастающую последовательность а„, стремящуюся к точке у. Тогда для 6 = 2,3,...
выполняется (Х < хь 1» С (Х < хь), и (Х < у» = (Х < хз». По седьмому свойству вероятностей при в=1 в -+ оо Р(Х < х„) -+ Р(~(Х < хь») = Р(Х < у). В силу определения функции распределения ето соотношение можно переписать следующим образом: Г(х„) -+ Г(у) при х„1 у.
Таким образом, справедливо третье свойство функций распределения. Лемма 1. Явя любнх а < 6 выполняется равенство (10.1) Р(а < Х < Ь) = Г(Ь) — Г(а). Показательство. Очевидно, что (Х < 6» = (Х < а»+ (а < Х < 6», при етом события (Х < а» и (а < Х < Ь) несовместны.
Ис- пользуя формулу сложения вероятностей, получим Р(Х < 6) = Р(Х < а) + Р(а < Х < 6), ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и, следовательно, Р(а < Х < Ь) = Р(Х < Ь) — Р(Х < а) = г (Ь) — г (а). О и р ед е ление 5. Если существует такая неотрицательная функция Ду), что функция распределения у(х) для каждого х Е (-оо, оо) предстеввма в виде (10.2) у(х) = У(у)Ф, 00 то у(х) называется плотностью распределения случайной величины Х. Если случайная величина Х имеет плотность распределения, то ее функция распределения непрерывна, поскош,ку интеграл — непрерывнел фунюшя веркиего предела. В случае существовании плотности формулу (10.1) можно записать следующим образом: ь а Ь Р(а < Х < Ь) = Ду)Ну — Ду)ау = Ду)ду.
(10.3) Лля непрерывной плотности распределения из формулы (10.3) и теоремы о среднем для интегралов следует, что при Ь -+ 0 справедливо соотношение Р(Х Е (х, х+ Ь)) ж ~(х)Ь. (10.4) Это соотношение раскрывает суть плотности распределения, выражаюп1уюсл в том, что вероятность попасть в произвольно малый интервал, содержащий данную точку, сколь угодно близка к произведению плотности распределения в точке на длину интервала.
Свойства плотности распределения. 1) 3' У(у) Ь=1; 2) Дх) = У'(х), если функция распределсния дифференцируема. 10. случАЙные величины и е>унк(1ии РАспРеделения >5 Р(х1 ~< >1 < х2) ев = х2 — х1 п>ев(х>,хв) в>ев(0, 1) для любых 0 < х1 < а2 < 1. Следовательно, функция распределения и плотность распределения этой случайной величины имеют вид О, прих<0, Р(х)вв х, приО<х<1, 1, при 1 <х, О, прих<0, у(х) = 1, при 0<в<1, О, при 1<х. Пусть у = у(х) — монотонно возрастающая функция, х = у 1(у) — обратная функция. Если Х вЂ” случайная величина, то У = у(Х) тоже является случайной величиной, поскольку (У < у) = (у(Х) < у) = (Х < д '(у)), и, следовательно, событие (У < у) принадлежит х-алгебре А для любого вещественного у, поскольку (х < у 1(у)) принадлежит (.
Для функций распределения величин Х и У справедливо соотношение Гу(у) = Р(У < у) = Р(Х < у ~(у)) = Ех(у 1(у)). (10.5) Если случайная величина Х имеет плотность распределения 1л(х)> а функция у(х) дифференцируема> то случайная величина У тоже имеет плотность распределения гу(у) и Л'(у) = )х(Е (у))(у '(у))' (10 6) Это равенство, в силу второго свойства плотности распределения, является следствием результата дифференцирования соотношения (10.5). При использовании равенства (10.6) бывает полезной формула (а '(у))'= 1Й'(у '(у)). Для проверки первого свойства достаточно в (10.3) положить а = -со, 1 = оо и заметить, что тогда слева в (10.3) стоит вероятность достоверного события.
Дифференцируя равенство (10.3),получим второе свойство. Пример 4. Однородная проволока длиной 1 метр растягивается за концы и разрывается. Пусть Х вЂ” случайная величина, равная расстоянию от точки разрыва до левого конца проволоки. Используя геометрические вероятности, найдем, гто ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В случае, когда у = д(х) — монотонно убывающая дифферен- цируемая функция, можно показать, что Уг(д) = Ул(д '(у))/Ь'(д '(у)И (10.7) /(х) =, при — оо < х < оо.
1 е(1+ хз) ' Вычислить плотность распределения обратной случайной величины У = 1/Х. Р е ш е н и е. Функция у = 1/х не определена в нуле, убывает на интервалах (-со, О), (О, оо) и имеет однозначную обратную функцию х = 1/р. Применяя формулу (10.7), получим 1 1 1 ( ) к(1+в-2) Зз „(1+З2) ~ при — со < в < оо. Следовательно, величина, обратная величине, распределен- ной по закону Коши> также имеет распределение Коши.
ЗАДАЧИ Задача 10.1. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 2 шара. Случайная величина Х вЂ” число вынутых белых Эта формула верна и для взаимно однозначных (существует обратная функция) кусочно монотонных функций д(х). Тот факт, что возможно для счетного числа точек (концов интервалов монотонности) етой формулой значения /г(у) не определяются, не является принципиальным. Плотности на выделенном счетном множестве можно придать любое значение, при етом функция распределения не изменится в силу свойств интеграла.
Существует широкий класс функций д(х), не обязательно монотонных, для которых У = д(Х) будет случайной величиной. К нему относятся, например, все непрерывные функции. Обсуждение етой проблемы выходит за рамки елементарного курса, так как требует дополнительных знаний из теории функций. Задача 2. Случайная величина Х имеет распределение Коши с плотностью распределения 10. случдиные величины и еункции рдспредбления тт 1паров.
Построить закон распределения и функцию распределения величины Х. За,цача 10.2. Построить закон распределения и функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания каждый раз равна 0.8. Задача 10.3. Случайная величина Х имеет плотность распределения О, при т<х, У(х) = -вшх, при О < х < в, О, при х< 0. а) Определить функцию распределения Е(х); б) найти вероятность того, что величина Х примет значение, заключенное в интервале (О, т/4). Зщцача 10.4.
Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Построить закон распределения случайной величины У = вш Х. Задача 10.5. Случайная величина Х имеет плотность распределения 7х(х) = е, х > О. Найти функцию распределения случайной величины У = е ~. Задача 10.6. Случайная величина Х распределена с плотностью распределения ух(х). Найти плотность распределения случайной величины У = Хз. Задача 10.7.
Построить закон распределения для величины Х, равной числу выпадений очков кратных трем при четырех бросаниях игральной кости. Задача 10.8. Случайная величина Х имеет плотность распределения вида (~хз, р О< <2, Л*)=~ ~ О, прих<О, 2<х. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вычислить константу а и определить вероятность того„что Х>1. Задача 10.9. Случайнзл величина Х имеет плотность распределения вида у(х) = а(х — 1)з, при 1 < х < 5, О, прих<1, 5<х. Вычислить константу а и определить вероятность того,что 3(Х<4. Задача 10.10. Вычислять плотность распределения величины У = ч'Х, где Х вЂ” величина из задачи 10.8. Зазвзча 10.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
