А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Теорема 3 (Муавра — Лапласа (интегральная)). Доло:юим ть но юг ир Яй ' " /ой Предположим, чоьо пьь-+ оо,н- оо, и величина а„и б„хвлх«ьвех ограничениями. Тогда ь„ 1лп 1Р„(оьь,оьг) — — Ге ~гдх~ =О. е~ое ~ ~/Ы Л 6'. Д о к аз атель ство. По локальной теореме Муавра- Лапласа где х„(ль) = — ~, шь < т < пеги о~(1) — величина, стре,/йог ' мящаяся к нулю при н -+ оо.
Величина ом(1) зависит от пь. При доказательстве теоремы 2 можно было бы установить, что справедливо равномерное предельное соотношение: (9.6) 1шь внр ~о (1)~ = О. ее «Чфафиг Это привело бы к значительному усложнению выкладок, повтому мы принимаем ето соотношение без доказательства. Согласно теореме 2, 2 8 Р„(пьь,пьг) = ~~ Р„(пь) = ~» е * 1~1~~(1+о~(1)). ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Обозначим х„(т+1)-х„(пд) = Ьхв(т). Тогда Ьх (дп) = —, 1 и вероятность Рв(пдд, пдз) представима в виде мв Рв(пдд, пдз) = у ~~д е 1~>1~Ьхв(т)(1+ овд(1)).
юввезд Отсюда следует, что тэ ~Рв(пдд, пдз) — — ~~Ь е * рв1~2Ьхв(пд)~ < юввт1 < ВВР ~ДЬв(1)~ — ~ Е в Д'в>~2ЬХв(ПД). юв1хввфв1 ~/2з По определешпо интеграла тэ ь„ вх К .-в~ввв*.( ) = -,'х~ -"в~.+.(1) Вввдв1 Подставляя ото выражение в предыдущее неравенство и учитывая соотношение (9.6), найдем Ьв ь. * (-" ~ ~ (-*" Рв(пдд,пдз) — (е в ~~дЬ'-о(1)!<о(1)~ — (е * ~~<1х+о(1) . Теорема доказала. Положим ф(х) = — е в ~, Ф(х) = — е Р~ й. а Отметим одно очевидное свойство функции Ф(х), она является нечетной. Значения функшдй 4(х) и Ф(х) находются из таблиц, при етом таблицы даны лишь для неотрицательных значений х.
Функция 4(х) называется функцией Гаусса, а функция Ф(х) называется функцией Лапласа. Используя 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СХЕМЫ БЕРНУЛЛИ 67 функции ф(я) и Ф(я), сформулированные выше результаты можно кратко выразить так: локальная теорема Муавра- Лапласа утверждает, что Р„(6л) — Р(я„), где *„= — Р, (9.7) П 6 П ( — — 0 а интегральная теорема Муавра-Лапласа — что Рп(я1н п19) ж -(Ф(Ьп) — Ф(а„)), (9.8) ж6 — пр п06 — пр где а„=, 5~ = .
Требование о том, что ве- ,ЯЯ ' 0/йРд личины а„, 5п предполагаются ограниченными, не является сушественным. Это будет следовать из теоремы 2 з 17 (см. пример 1). Зв,цача 2. Найти вероятность того, что при 150 выстрелах мишень будет поражена ровно 70 раз, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0.4. Решение. Ланная задача решается с использованием схемы Бернулли: и = 150, А = (попадание при одном выстреле), р = Р(А) = 0.4, д = 1 — р = 0.6, 6п = 70. Применим локальную теорему Муавра — Лапласа. Имеем ~/ЕЯ = '160 0.4 0.6 = 6, 7О-ИО ОЛ Ю = — в 1.67. Тогда 6 6 Рыо(70) ° -Ф(1.67) ж — ° 0.0989 ж 0.0165.
Задача 3. Город ежедневно посешают 1000 туристов, которые вием идут обедать. Каждый из вих выбирает длл обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0.99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для етого быть в его ресторане? Решение. Пусть А = (турист пообедал у заинтересованного владельца). Наступление события А будем считать успехом", р = Р(А) = 0.5, и = 1000.
Нас интересует такое наименьшее число 6л, что вероятность наступления не менее ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ чем гв "успехов"в последовательности из и = 1000 независимых испытаний с вероятностью успеха р = 0.5 приблизительно равна 1 — 0.99 = 0.01. Это как раз вероятность переполнения ресторана. Таким образом, нас интересует такое наименьшеечисло п1,что Р1ооо(гп,1000)в 0.01. Примениминтегральную теорему Муавра-Лапласа.
Имеем /йр4 = 54ГО, Ь„= '~ =10/10, Ь„= '~ = — -10Л6, з|/Б ' " з/Б зЯо вестно. Тогда 0.01 оз Р1ооо(тц 1000) ж — (Ф(10ЛО) — Ф( ~ю — 10ЛО)) ж сэ -(1 — Ф( — — 10с/ГО)). Откуда следует, что Ф( — — 10АО) ж 0.98. Используя таблипы для функции Ф(з) находим, ™ з /ьо -10~/ГО в 2.33, и, значит, вз ж 2.33 ° 5~/ГО+ 500 ж 536.8. Следовательно, в ресторане должно быть 537 мест. ЗАДАЧИ За,цача 9.1.
Текст содержит 20000 букв. Каждая буква может быть неправильно напечатана с вероятностью 0.0004. Какова вероятность, что в тексте не менее двух опечаток? Задача 9.2. Телефонная станция обслуживает 600 абонентов. Вероятность любого позвонить в течение часа ровна 0.005. Какова вероятность того, что в течение часа позвонит один или два человека? Задача 9.3. Игральную кость бросают 80 раз. Найти приближенно границы, в которых число выпаданий шестерки будет заключено с вероятностью 0.9973. Задача 9.4.
В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью 1/4. Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет в пределах от 564 до 600. 10. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 69 Задача 9.6. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 1/4. Какова вероятность того, что среди 300 грибов белых будет Тб? Задача 9.6. Завод отправил в магазин 5000 лампочек. Вероятность того, что лампочка разобьется при транспортировке равна 0.0002. Найти вероятность того, что в магазин привезли не более трех разбитых лампочек. Задача 9.7. При социологических опросах граждан каждый человек независимо от других может дать неискренний ответ с вероятностью 0.2.
Найти вероятность того, что из 22500 опросов число неискренних ответов будет не более 4620. $10. СЛУчяйные Величины и Функции РАспРеделения Рассмотрим сначала случайный вксперимент с дискретным пространством исходов, т. е. с таким пространством елементарных событий 0 = (ыныз,...), которое состоит из конечного или счетного числа исходов.
Пусть есть веяичина, которая в результате случайного вксперимента принимает различные числовые значения в зависимости от наступления того или иного исхода, при етом каждому исходу соответствует только одно число. Иными словами, на пространстве влементарных событий задала функция. Определение 1. Функция, заданная на пространстве влементарвых событий П = 1ын ыз,...), называется случвзгиой величиной. Лля любого исхода м значение в = Х(ы) — ето ревлиыьция случайной величины при данном исходе. Поскольку в ходе случайного вксперимента реализуется лишь один какой-то исход, то вто означает,что в результате вксперимента наблюдается лишь какое-то одно значение случайной величины (одна реализация) из всех возможных.
Обозначать случайные величины будем заглавными латинскими буквами Х, У,..., а конкретные их значения соответствующими строчными буквами л, у,.... Пример 1. Пусть бросается игральная кость. Величина Х, равная числу выпавших очков, является случайной величиной. Величина Х принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, б. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В етом примере влементарный исход — ото выпадение той или иной грани игрального кубика. В стандартной ситуации (игральная кость) на гранях кубика написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Однако можно втим граням сопоставить и другие числа. Тогда мы получим другую случайную величину, хотя пространство влементарных исходов и соответствующие им вероятности 1/6 останутся прежними.
Ллл днскретвь|х пространств й = (ыпыз,... ) будем обозначать х~ = Х(ол), ! = 1,2,.... Величина Х принимает при етом не более чем счетное число значений (хп хз,... ) и называется дискретной. Значение х~ случайной величины Х наступает с некоторой вероятностью, обозначим ее рь Ясно, что р~ = 1 р(ол). Кратко вто будем записывать ж:Х(му)юж так: р~ = Р(Х = х~). В силу аксиом 3) и 2) из определения вероятности (э 6) следует,что ОО ОО ОО р~ = ~ Р(Х = х~) = Р(~ (Х = х~)) = 1. ьи ьм ьм Определение 2.
Соответствие, которое каждому значению х~ дискретной случайной величины Х сопоставляет его вероятность рн называется законом распредялеиия случайной величины Х. Закон распределения величины Х удобно задавать в виде таблицы: Пример 2. Пусть Х вЂ” число гербов, выпавших при четырех бросаниях правильной монеты. Величина Х может принимать значения О, 1, 2, 3, 4. По формуле Бернулли рь = Р(Х = хь) = Се~н Н = -~-, и, следовательно — ЫЫ 1 закон распределения имеет вид 1о. случайныб величины и вункции распределения тт Замечание 1.
Если Х вЂ” дискретная случайная величина, то для любой функции у величина У = д(Х) тоже является дискретной случайной величиной. Эта величина принимает значения м = у(х~) с вероятностями р~ = Р(Х = я~), 1 = 1,2,...,в, если функция у взаимно однозначна. Если же значения у(я~) совпадают для различных я~ с величиной йе, то У = у(Х) принимает общее значение в,е с вероятностью, равной сумме вероятностей р~, отвечаюших всем таким хп для которых д(яу) = ие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
