А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Спутник Земли двюкется по орбите, которая заключена между 60э северной и 60' южной широты. Считая падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30' северной широты. 2 б. Условныв ввгоятности. НезАВисимОсть совытий Рассмотрим вопрос о том, как определить вероятность какого-либо события А при условии, что уже произошло другое событие В. Начнем с примера, в котором возникает условная вероятность. Пусть брошена игральная кость и нам неизвестен результйт, но известно, что выпало четное число.
Мы же хотим, зная эту информашпо, подсчитать вероятность того, что выпало число больше трех. Тогда речь идет об условной вероятности события А = (выпало число больше трех) при условии, что произошло событие В = (выпало четное число), Нам уже известно> что вьшало либо 2, либо 4, либо 6 очков, и все эти исходы равновозможны. Срешх этих исходов событию А удовлетворяют лишь исходы 4 и 6. Повтому 2 условной вероятностью естественно считать отношение — . 3 Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью и обозначается Р(А~В).
5. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ ЗЗ Условную вероятность мы будем рассматривать лишь для таких событий В, вероятность наступления которых отлична от нуля. Вопрос об условных вероятностях для событий, имеющих нулевую вероятность тоже имеет смысл, но его изучение выходит за рамки элементарного курса. Определим условные вероятности Р(А)В) для схемы, когда все исходы равновозможны. Пусть П вЂ” пространство элементарных событий. Поскольку известно, что событие В произошло, то будем рассматривать только те элементарные исходы, которые составляют событие В. Рассмотрим новое пространство элементарных событий ()1 = В.
Выберем множество исходов из А, которые входят в В, и обозначим его А1. Очевидно А1 = АВ. За условную вероятность Р(А(В) естественно взять вероятность события А1 при условии, что рассматриваются только события, содержащиеся в В. Чему равна эта вероятность? Мы снова оказались в рамках "классической схемы", только для нового пространства элементарных событий 01. Поэтому эта вероятность равна сап( А1/ сагб П1. Следовательно, р(А(В) сасА А1 са™1 А1 / сасАО Р(АВ) сап)О1 саслй1/сак(О Р(В) Это соотношение оправдывает следующее формальное определение условной вероятности. Определение 1. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В с Р(В) ф 0, называется число Р(А~В), которое определяется формулой Р(А)В) = Я~.
К такому же определению мы придем, если будем рассматривать геометрические вероятности. Это и не удивительно, поскольку при определении геометрических вероятностей мы использовали подход, основанный на "классической схеме". В силу того,что условная вероятность — это обычнал вероятность, но лишь на более узком пространстве элементарных событий, то для нее справедливы все свойства обычной вероятности. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ зе Свойства условных вероятностей.
1) Р(О~В) = 1; 2) Р(и~В) = О; 3) О < Р(А~В) < 1; 4) если А С С, то Р(А~В) < Р(С~В); 5)Р(А)В) = 1 — Р(А~В); 6) (формула сложения условных вероятностей) для любых событий А и С Р(А+ С~В) = Р(А~В) + Р(С~В) — Р(АС!В); 7) (формула умножения вероятностей) для любых событий А и В Р(АВ) = Р(В)Р(А~В) = Р(А)Р(В~А). Эта формула является непосредственным следствием определения условной вероятности. 8) (общая формула умножения вероятностей) для любых событий АНАг,...,А„ Р(АгАг. А ) = = Р(Аг)Р(Аг~Аг)Р(Аз~АгАг) ° ° Р(А !АгАг ° ° А»-г). Эту формулу можно получить, применяя последовательно и раз формулу умножения вероятностей 7).
Лействительно, полагая А = А„, В = Аг Аг... А» г и применяя 7), получаем Р(АгАг ° ° А ) = Р(АгАг ° ° А -г)Р(А ~АгАг ° А -г). Это равенство справедливо для любых и, поэтому можно продолжить цепочку равенств Р(АгАг...А») = =Р(АгАг ..А~~-г)Р(А» г~АгАг...А»-г)Р(А»~АгАг ° ° А»-г)= =Р(Аг)Р(Аг~Ад). Р(А~-г1АгАг А»-г)Р(А»~АдАг А»-г). Задача 1. В ящике иг белых и и черных шаров. Шары тщательно перемешаны. Наудачу вынимаются сразу два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые? Решение (ранее (13) данная задача решалась другим способом).
Взять два шара сразу или сначала взять один 5. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ Зз шар, а потом другой — это одно и то же, ведь руку можно не вынимать из ящика, когда берется один шар, а затем другой. События (оба шара белые) и (1-й шар белый и 2-й шар белый) совпадают. Поэтому достаточно вычислить вероятность второго события, которое представимо в виде произведения событий А = (1-й шар белый),В = (2-й шар белый). Очевидно, Р(А) = —. Кроме того ФЮ+ Ю Р(В~А) =, поскольку, если событие А произошло, м+а — 1' то в ящике уже остался ш+ в — 1 шар, среди которых гя — 1 белых, и вероятность снова вынуть белый шар будет равпв -1 на .
Теперь воспользуемся формулой произведения иь+ в — 1 вероятностей: Р(оба белые) = Р(АВ) = Р(А)Р(В~А) = Задача 2. Бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет шестерка, если на всех трех костях выпали разные числа? Решение. Определим события А = (хотя бы на одной из трех костей выпала шестерка) и В = (на трех костях выпали разные числа). Нам нужно вычислить вероятность Р(А~В). Лля этого воспользуемся свойством 5), поскольку вероятность Р(А~В) вычислить легче. Будем различать кости, например, считая их окрашенными в разные цвета. По теореме 4 1 1 число различных комбинзднй чисел на трех костях равно 6 ° 6 6 = 216. Число комбинаций разных чисел на трех костях равно числу размещений из 6 элементов по 3, т.
е. Азз. Мы берем Ае~, а не Се~, поскольку мы различаем кости. Тогда Р(В) = А~~/216. Событие АВ означает, что на трех костях выпали разные числа и нет ни одной шестерки. Аналогично предыдущему, имеем Р(АВ) = А~/216. По определению условной вероятности Р(А~В) = Р(АВ)/Р(В) = А~/А~ = — = —. По свойству 5) 1 1 окончательно получаем Р(А~В) = 1 — — = —. 3 3 Определение 2.
Событие А называется независимым от события В с Р(В) ф О, если Р(А~В) = Р(А), т. е. вероятность наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пример. Пусть при бросании игральной кости А (выпало число меньше трех), В = (выпало четное число). Поскольку А = (1,2), а В = (2,4,6), то Р(А) = — и Р(А(В) = Р(АВ) 1/6 1 — = — = —. Следовательно, событие А не зависит от Р(В) 1/3 3 события В. Лемма 1 (о взаимной независимости событий).
Вели собктие А ие эависит от В ири Р(А) ф О, Р(В) ф О, то и собатие В ие эависит от А. Л о к аз ат ельств о. Используя свойство 7), получим Р(В(А) Р(А(В)Р(В) Р(А)Р(В) — Р(В Р(А) Р(А) и, следовательно, событие В не зависит от А. Таким образом, события А и В не зависят друг от друга. При этом согласно свойству 7) Р(АВ) = Р(А/В)Р(В) = Р(А)Р(В). Это равенство позволяет дать следующее определение независимости событий, симметричное по отношению к событиям А и В и применимое к событиям нулевой вероятности. Определение 3. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А)Р(В). Это определение удобно тем, что его легко можно распространить на совокупность нескольких событий. О п р е д е л е н и е 4. События А1, Аэ,..., А„называются независимыми в совокупности, если для любого набора индексов 1 < 11 < (э « ° ° ° 11 < и выполняется равенство Р(АВАВ ...Аа) = Р(АВ)Р(АВ)...Р(Аа).
Определение 5. События АНАэ,...,А„называются попарно независимыми, если Р(А;А/) = Р(А;)Р(А ) для любых пар (,1, 1 ~ ~( < 1 < е, Замечание 1. Из попарной независимости событий А1, Аз, ...А„в/А„не следует независимость этих событий в совокупности. 3. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ 37 Убедимся в справедливости етого замечания на примере бросания двух игральных костей. Определим три события следующим образом: А=(нечетное число на первой кости»; В = (нечетное число на второй кости); С = (нечетная сумма). Применяя теорему 4 3 1 о числе комбинаций для двух групп, имеем: Р(А) = Р(В) = — = —; Р(С) = 36 1 ЗЗ+ЗЗ 1 66 2' 66 2' Р(АС) = Р(ВС) =— 3 ° 3 1 6 ° 6 4 Р(АВ) = 6 6 4' Р(АВ С) Р(АВ(й С)) Р(АВ АВС) = Р(А)з) — Р(АВС) = Р(А(й — В)) — Р(А(й — В)С) = = Р(А) — Р(АВ) — Р(АС) + Р(АВС) = = Р(А) — Р(А)Р(В) — Р(А)Р(С) + Р(А)Р(В)Р(С) = = Р(А)(1 — Р(В))(1 — Р(С)) = Р(А)Р(В)Р(С).
Теперь нужно убедиться, что для произведений любых пар событий, т. е. для АВ, АС и В С вероятность тоже распада- ется в произведение вероятностей. Лействительно Р(АВ) = Р(А) — Р(АВ) = Р(А)Р(В), Р(АС) = Р(А) — Р(АС) = Р(А)Р(С). Таким образом, зти три события попарно независимы. Однано, АВС = И и, следовательно, Р(АВС) = О, а ато означает, что вероятность произведения АВС не равна произведению вероятностей Р(А)Р(В)Р(С) = —. 1 Задача 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
