А.Н. Бородин - Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики (DJVU) (1115320), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(12.8) Убедиться в справедливости етого неравенства можно, положив в (12.2) У = 1. Пусть я — некоторое натуральное число. Определение 5. Моментом порядка е случайной величины Х называется число чя» = Е(Х»). Определение 6. Абсолютным моментом порядка л случайной величины Х называется число Е(~Х)~). О п р е д е л е н и е 7. Пентральным моментом порядка я случайной величины Х называется число р» = Е(Х вЂ” Е(Х))». О п р е д е л е н и е 8. Ковариацией (корреляционным моментом) двух случайных величин Х и У называется число соч(Х, У) = Е((Х вЂ” Е(Х))(У вЂ” Е(У))). Свойства ковариации.
1) для любых случайных величин Х и У соч(Х, У) = Е(ХУ) — Е(Х)Е(У); 2) (аддитивности) для любых Х, У и Я соч(Х+ У, 2) = соч(Х, Я) + соч(У, Я), соч(Х,У+Я) = соч(Х,У)+соч(Х,Я). Это свойство легко распространяется на сумму 'произвольного числа слагаемых. Первое свойство в силу линейности математического ожидания вытекает из равенств соч(Х, У) = Е(ХУ вЂ” УЕ(Х) — ХЕ(У) + Е(Х)Е(У)) = = Е(ХУ) — Е(Х)Е(У) — Е(Х)Е(У) + Е(Х)Е(У). Второе свойство столь же очевидно. Опр еделение 9. Коеффициеитом корреляции двух случайных величин Х и У называется число г(Х, У) = соч(Х, У) ( )~(") ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Моменты и коэффициент корреляции определены не всегда. Например, для существования обычных и центральных моментов еп», р» необходимо, чтобы был конечен абсолютный момент: Е~х~» ( оо.
Корреляционный момент и ковффициент корреляции характеризуют степень линейной зависимости случайных величин. Чем бояыце по модулю коэффициент корреляции, тем сильнее лвнейная зависимость между величинами. Определение 10. Если ковариацня или ноеффициент корреляции равны нулю, то талие величины называются иекоррелмрованными. Лля любых случайных величин Х и У В(х ж Ъ') = Е(Х ж У вЂ” (Е(Х) ж Е(У))) = Е((Х вЂ” Е(Х))т ~ 2(Х вЂ” Е(Х))(У вЂ” Е(У)) + (У вЂ” Е(У)) ) = = Е((Х -Е(Х)~) ж2Е((Х -Е(Х)(У -Е(У))+Е((У вЂ” Е(У))т = =В(Х) ж2соч(Х,У)+В(У). (12.4) Отметим, вытекающее из (12.4), важное свойство некоррелироввнных величин. Если случайные величины Х и У некоррелированы, то в(х+ у) = в(х) + в(1 ).
Следствие 3. лТлх попарно некоррелирооаннах случайпнх величии Хи ° °, Х» в (~- х,) = ~ в(х,). Это утверждение доказывается по индукции с применением свойства аддитивности ковариации и вышеприведенного свойства некоррелированных величин. Свойства ковффициента корреляции. 1) Лля любых постоянных а, Ь, е, Ы г(аХ+ Ь,сУ+ о) = в1бп(ае)г(Х,У), где в1хп х = х/~х~- функция знака. Это свойство можно прокомментировать так: линейные преобразования случайных величин не изменяют степени их линейной зависимости. Прн етом меняется лишь знак зависимости, если а и е разных знаков.
12. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ВЕ 2) )г(Х,У)) < 1, и ~~ (Х, У)) = 1 тогда и только тогда, когда существуют такие постоянные а и Ь, что У = аХ + 6 с вероятностью единипа. 3) Если величины Х н У независимы, то г(Х, У) = О.
Локазательство. В силу свойства линейности математического ожидания имеем сот(аХ + 6, сУ + И) = = Е((аХ+ 6 — Е(аХ+ 6))(сУ + И- Е(сУ+ И))) = = Е((аХ вЂ” аЕ(Х))(сУ вЂ” сЕ(У))) = ас сот(Х, У). Поскольку В(аХ + 6) = азбл(Х), ЩсУ + я) = с~11(У), то сос(аХ+ Ь,су+ д) . сос(Х,У) „осхгсик~.~= о~ ~,асс~' Таким образом, первое свойство установлено. Х У Покажем свойство 2). Положим Х = — ~, У =— Согласно (12.4) 61(Х ~ У) = ЩХ) ~ 2 сот(Х, У) + 62(У) = — +2 — ':"' + — '=2(1~г(Х,У)). (12.5) Поскольку левая часть етого равенства неотрицательна, то 1+ г(Х,У) ) О и 1 — г(Х, У) ~ О, что вквивалентно -1 а г(Х, У) < 1 или )г(Х, У)~ < 1. При г(Х,У) = ж1 из (12.5) следует, что 61(Х ~ У) = О.
Согласно замечанию 4 вто влечет Х ~ У = Е(Х) ~ Е(У) с вероятностью единица,и, следовательно, У = ~~~~ Х + (Е(У) ~ ~ — ~-~Е(Х)) . Пусть теперь У = аХ+ 6. Согласно первому свойству имеем г(Х, У) = я(бп(о)г(Х, Х) = я)бп(а) = я)бп(а). ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Убедимся в справедливости третьего свойства.
Если величины Х и У независимы, то согласно определению, величины Х вЂ” Е(Х) и У вЂ” Е(У) тоже будут независимы. Поэтому по третьему свойству математического ожидания сот(Х, У) = Е(Х вЂ” Е(Х))Е(У вЂ” Е(У)) = О ° О = О. Следовательно, коэффициент корреляции независимых величин равен нулю. Обратное утверждение неверно, т. е. нз равенства нулю коэффициента корреляции не следует независимость величин. Подтверждением этому служит следующий пример. Пример. Пусть случайная величина Х принимает значения ш1, ~2 с вероятностями 1/4, и пусть У = Хз. Тогда совместный закон распределения величин (Х, У) следующий и нетрудно убедиться в том, что величины Х и У зависимы, а их коэффициент корреляции равен нулю.
Задача 1. Вычислить коэффициент корреляции случайных величин Х и У, определенных в задаче 1 2 11. Решение. По первому свойству коэффициента корреляции он совпадает с коэффивиентом для величин Х1 = Х вЂ” 1 и У1 — — У вЂ” 1, совместный закон распределения которых имеет вид По свойству вероятностей р;д из 2 11 закон распределения Х1 следующий Р(Х1 = О) = —, Р(Х1 = 1) = —.
Аналогичное 2 3 5' 5 3 з з* распределение имеет У1. Тогда Е(Х|) = —, Р(Х1) = — — — = 5' 5 Бз 6 3 25 ' = —, Е(Х1У1) = —, Окончательно имеем 1о' Е(Х1У1) — (Е(Х!))з — — ~ 1 г(ХИ У1) = Р(Х1) — 4 ' 13. ПРОИЗВОДЯЩИЕ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ФТ ЗАЦАЧИ Задача 12 1.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины из задачи 10.8. Задача 12.2. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины из задачи 10.9. Задача 12.3. Есть правильный жетон, у которого на одной стороне стоит цифра 2, а на другой — О, и есть правильный кубик, у которого на противоположных гранях написаны цифры 1,2 и 3 соответственно.
Жетон и кубик бросаются на стол. Пусть Х вЂ” случайная величина, равная сумме очков на жетоне и кубике. Построить закон распределения величины Х, вычислить математическое ожидание и дисперсию. Задача 12.4. Есть два правильных жетона, у одного из них на одной стороне стоит цифра 3, на другой — 5, а у другого на одной стороне стоит цифра 1, на другой — 5. Жетоны бросаются на стол. Пусть Х вЂ” случайная величина, равная сумме очков на жетонах. Вычислить математическое ожидание и дисперсию. Задача 12.5. Есть правильный кубик, у которого на противоположных гранях написаны цифры 1,2 и 3 соответственно.
Пусть Х вЂ” число единиц, выпавших при трех бросаниях кубика. Найти закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию. Задача 12.6. Вычислить дисперсию и коэффициент корреляции величин Х и г', определенных в задаче 11.1. Задача 12.Т. Вычислить дисперсию и коэффициент корреляции величин Х и' У> определенных в задаче 11.5. $13.
ПРОизВОдящие и хАРАктеРистические ФУнкции Пусть Х вЂ” неотрицательная целочисленнозначная случайная величина, т. е, Х принимает значения 0,1,2,... с вероятностями рг = Р(Х = 5). Определение 1. Производящей функцией целочисленнозначной неотрицательной случайной величины Х на.- зывается функция ф(г) = ,'~ ,'~~ е ггрь = Е(гх), определенная для комплексных г таких, что Ц ( 1. Лля Ц ( 1 ряд, определяющий производящую функцию, равномерно сходится, так ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ф(г)~ = Я гарь~ < ~ Царь < ~~ь рь = 1.
Ь=О Ьыо Ь=О Замечание 1. Производящая функция однозначно определяет распределение случайной величины, поскольку р„ = ап = — ф(г)1 н! ььг" г-О Лействительно, дифференцируя под знаком суммы, получим — „Ф(г) = ~ Е(Š— 1)... (Š— «+ 1)г'-"р,. (13.1) Ьын При г = О все слагаемые в правой части (13.1) кроме первого обращаются в нуль. Первое же слагаемое равно «1р„. Лемма 1 (о вычислении моментов). Пугньь неотрицатпельная целочигленвогначнал случайнал величина Х нмеень момен«2 «-го «градна.
Тогда — „ьр(г) ~ = Е(Х(Х вЂ” Ц... (Х вЂ” «+ 1)). Локазательство леммы непосредственно следует из формулы (13.1), если в ней положить г = 1. Поскольку 13(Х) = Е(Х') — Е'(Х) = Е(Х(Х вЂ” 1)) + Е(Х) — Е'(Х), то из леммы 1 вытекает следующий результат. Следствие 1. Математическое ожидание и дисперсия выражаются формулами Е(Х) фф(1) ЩХ) фи(1) + (/(1) (фк(1))2 Свойства произвогвьщих функщай.
1) ф(г)~ < 1 при ф < 1. Лействительно, так как Х неотрицательна !Ф(г)( < ЕагхО = ЕИ4х) < 1. 2З. ПРОИЗВОДЯЩИВ И ХЛРЛКтВРИСтИЧВСКИб ОЬНКЦИИ ВВ Лля того, чтобы различать производящие функции разных случайных величин, будем случайную величину приписывать к производящей функции в качестве индекса. 2) Лля любых вещественных о и 6 Ф х+4(а) = з Фх(г ). Локазательство опирается на свойство линейности математического ожидания: Е( 1ах+П) 4Е(( а)х) 4ф ( а) 3) Если Х и У независимые случайные величины, то Фх+ь(з) = Фх(з)арь(з).
Локазательство. Поскольку величины Х и У независимы, то, используя третье свойство математического ожидания, получаем арх+ь(а)=Е(х1 4~1) =Е(з~з') = Е(ах)Е(аь) = фх(з)ф~ (з). Задача 1. Найти закон распределения случайной величины Х с производящей фущапаей ф(г) = -(1+ 2)2. 1 Решение. Поскольку ф(а) = -(1+ з) = — + -з+ -з, 4 2 4 4 2 4 то сравнивая вто выражение с определением производящей фУнкции аР(а) = ~ ь е льРь, где Рь = Р(Х = а), полУчаем, что Р(Х = О) = —, Р(Х=1)= —, Р(Х=2)= —, Р(Х=1)=0, при1>2. О п р е д е л е н и е 2.
Характеристической функцией с лучайной величины Х называется комплекснозначная функция 44(1) = Е(е"х), определенная для всех действительньп значений 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Зля дискретной случайной величины с вероятностями рь = Р(Х = хь),3 = 1,2,..., характеристическая функция будет определяться формулой (р(ф) — ~~) енхе р ью1 (13.2) а для величины, имеющей плотность распределения Дх),— формулой у(4) = е' ~у(х)хх. (13.3) Лля случайной величины с произвольной функцией распределения Г(х) математическое ожидание Е(он~) определяется с помощью интеграла Стилтьеса, т. е.
характеристическая функция определяется формулой СО ~р(1) = ~ е" 4Г(х). (13.4) 09 х / «( )яГ(х) = 11 ~ у(-') (Г('+') ГД). ОО ь=-еэ Формула (13,4) является более общей, чем (13.2) и (13.3). Так, согласно определению интеграла Стилтьеса, при Г( )=~~~ рь31*,, >(х) ью1 из (13.4) следует (13.2), а в случае, когда у Г(х) существует плотность (МГ(х) = ~(х)4х), (13.4) превращается в (13.3). Лая непрерывной ограниченной функции у(х) и неубывающей ограниченной непрерывной слева фуякции Г(х) интеграл Стилтьеса 1 у(х)4Г(х) существует и его можно опре- Ф делить равенством 13. ПРОИ380ДЯШИЕ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 101 Замечание 2.
Для целочисленных случайных величин 1о(1) = гр(ен). Свойства характеристических функций. 1) у(0) = 1 и ~у(1)~ ( 1 для всех 1. Действительно: у(0) = Е(е ) = Е(1) = 1; ~у(1)~ ( Е~ен~~ = = Е(1) = 1. Для того, чтобы различать характеристические функции разных случайных величин, будем случайную величину приписывать к характеристической функции в качестве индекса, 2) Для любых вещественных а и 3 рех+ь(1) = ен~1зх(аг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
