Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В общем случае сходимость случайной последовательности Х к пределу Х вида 1пп Р(! Մ— Х ) > е) = О лля любого а > О, называется сходимостью по вероятности и обозначается как Մ— '- Х. Пример 1. Пусть»„ »„..., »„, ... — последовательность случайных величин, каждая из которых равна числу успехов в одном испытании Бернулли (т.е.
1 в случае успеха и Π— в случае неудачи). Закон распределения каждой такой случайной величины имеет вид: Тогда математическое ожидание М»,. = р и дисперсия — 1 Ю», = ра. Среднее арифметическое х = — ~~ », равно частоте п~ 1 успехов в и испытаниях, и закон больших чисел утверждает, что эта частота успехов стремится к вероятности успеха р, когда число слагаемых (т.е.
число испытаний) неограниченно возрастает. На самом деле справедливо и более сильное утверждение, чем закон больших чисел, однако его доказательство является существенно более сложным. ~ Теорема б (усиленный закон больших чисел). Пусть задана бесконечная последовательность независимых одинаково распреде- енных случайных величин»„»и ..., »„, ..., для которых суи(ествует математическое ожидание Меч = а, тогда Р ОГп — )» =а =1. В общем случае сходимость случайной последовательности Х„к пределу Х вида Р(11Гп Х„= Х) =1 и азт ЧАСТЬ С Теория вероятностей называется сходииостью с вероятностью единица (или почти наверное) и обозначается как Մ— "— "-' Х.
Из сходимости с вероятностью единица следует сходимость по вероятности, обратное верно не всегда. $8.З. Центральная предельная теорема (ЦП'в) ~ Теорема 7 (ценпанзльиая предельиая теорелвал. Пусть»„ »„ ..., », ... — независимые одинаково распределенные случайные величины с М»,. = а и Ю»,. = ог, ) = 1, 2, ... и, ... Тогда длл любого числа х верно: г н о~/и ) /2я Смысл центральной предельной теоремы заключается в том, что сумма Я„=~»,.
случайных величин при надлежат! щем линейном преобразовании с увеличением числа слагаемых (и -+ в) ведет себя почти как случайная величина со стандартным нормальным распределением У(0, 1). Вероятность попадания в любой интервал имеет следующий предел: ч тт йптР~с, < " <ст~= — ) е 'ду=Ф(ст) — Ф(с,)=Ф,(с,) — Ф,(й), я откуда следует приближенная формула Р(А < В„< В) Фв — — Фв которой имеет смысл пользоваться, если А и В не очень далеки от па.
Центральная предельная теорема может оставаться справедливой и в случае, когда случайные слагаемые не являются одинаково распределенными. ° Теорема 8 (Ляпунова). Пусть»„ »„..., »„— независимые случайные величины, имеютцие конечный третий абсолютный центральный момент, и пусть а„= ЛЩи о„~ = Ю»„, ст = М»„— а,Р, тчв Глава 8 41) л л л а„, В„'=~ о',, С„'=~ 'с,'. Если при и -в о отношение А=! л=! л=! с„ — О, то длп любого числа х верно В„ (»!+», +...+»„— па 1 1 1ппР ' ' "' " <х =Ф(х)= — / е вду.
л оД /2п В общем случае сходимость случайной последовательности Х к пределу (случайной величине) Х вида ! пп Р(Х„< х) = Р(Х < х) 8 точках непрерывности функции распределения Х называется сходшиостью по распределению и обозначается как Մ— ~Х. Из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению, обратное верно не всегда (но верно в случае сходимости к константе).
Пример 2. Пусть»„»а, ..., »„, ... — последовательность случайных величин, удовлетворяющая условиям предыдущего примера 8.1. В этом случае сумма Я„= », +», + ... +»„есть число успехов т в и испытаниях Бернулли. Из ЦПТ следует, что с! л! -р йгпР с, « — с, = — ~ е 'Нх=Фв(с!) — Ф,(с,), ,~прц ) л/2п, л у 1 л —, где Ф,(х)= — / е 'ду — функция Лапласа. ,)2 ~ Тогда вероятность того, что число успехов заключено между т, и т„равна Р(т,<т<т,)=Р р< р< ,/ар~у,/про ~~рд Этот результат называется интегральной теоремой МуавраЯапласа и уже встречался нам раньше (см. $ 4.3).
а59 ЧАСТЬ С Теория вероятностей Задана 2. В продукции цеха детали отличного качества составляют 50е/о. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличается от 100 не более, чем на 5? Решение. Пусть ~, — случайное число деталей отличного ка- 1 чества в 1-й коробке, тогда при и = 200, р= с?=- получим: 2 Р(95 < т < 105) = Р— « — — Фо(0,7 1) — Фо( — 0,7 1) — 0,52.
т500,/ирс) /50 ) Задана 3. Используя условия задачи 2, указать, в каких границах с вероятностью 0,997 находится число деталей отличного качества в коробке. Решение. По табл. 2 приложения 3 при условии ти — т р Р <и =0,997 находим и = 3, и следовательно, Я лежит ,Ярд в пределах ир-х3,~прц, т.е. число деталей отличного качества в коробке с вероятностью 0,997 находится в пределах !00 ч- 21.
Задана 4. Используя условия задачи 2, определить, сколько деталей надо положить в коробку, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было утверждать, что число деталей отличного качества в коробке не менее 100. 100-ир Решение. Обозначим и = . Используя нормальное приближение, получаем чирп Р(т>100)=Р >и =1 — Ф(и)= — Фо(и)>099. 2 Отсюда Ф,(и) < — 0,49, а из табл. 2 приложения и свойств Функции Лапласа получаем неравенство и < — 2,32. Обозначив х = /и > О, 1 с учетом р=т)= —, приходим к квадратному неравенству 2' х' — 2,3х — 200 > О, решая которое получаем и > 236.
Можно предложить и другой метод. Пусть Р,. — число деталей, которые пришлось перебрать, чтобы найти т'-ю деталь отличного качества (включая ее саму). Случайные величины имеют геометрическое распределение с параметром р = 1/2. тоо Глава 8 дожем вычислить ЛЦ = 1/р = 2, Юг = (1 — р)/р' = 2. Используя цПТ, получаем неравенство Гл-100 2) 1 (п-2001 откуда следует л ~ 200 + 14,14 х 2,32 = 232,8, или, округляя, л >234. Результаты получаются близкие, но первый метод более точен и потому предпочтительней.
Вторым методом лучше пользоваться, если нужно определить границы, в которых лежит неизвестное число деталей. Задача 5. Доходы (в месяц) жителей города имеют математическое ожидание 10 тыс. руб. и среднее квадратическое отклонение 2 тыс. руб. Найти вероятность того, что средний доход 100 случайно выбранных жителей составит от 9,5 до 10,5 тыс. руб. Решение.
Переформулируем условие задачи для суммарного дохода: он должен составлять от 950 до 1050 тыс. руб. Используя ЦПТ, получаем: ~1050 — 100х10~ ~950 — 100х10 г,/100 ! '~ 2,ЯО = 2Фо(2 5) = 0 9876 Задача б. Срок службы электрической лампы имеет показательное распределение с математическим ожиданием 1000 час. Найти вероятность того, что средний срок службы для 100 ламп составит не менее 900 час. Решение. Примем для простоты 1000 час. за единицу времени.
Вспомним числовые характеристики показательного 1 1 Распределения: Й9= —, Юг,= —,. Отсюда следует, что среднее квадратическое отклонение совпадает с математическим ожиданием (и оба они здесь равны единице). Переформулируя условие задачи для суммарного срока службы и используя цПТ, получаем: Р(Яв > 90) =1 Ф~ ! = +Фо(1) = 0 8413. (90 — 100) 1 /ГО О ! 2 гбт 6 Теорн» мроятнаспй ! еа> ЧАСТЫ. Теория вероятностей Задачи для самостоятельного решения Теоретические задачи т. Пусть задана последовательность независимых случайных величин »„»„..., »„, ..., имеющих следующий закон распределения.
Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? з. Пусть задана последовательность независимых случайных величин «„»„..., »„, .... имеющих следующий закон распределения. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел? З. Доказать закон больших чисел в еобобщенной форме»: пусть »„»„..., »„, ...
— последовательность независимых случайных величин, у которых существуют математические ожидания М«, и дисперсии О»„ причем все дисперсии ограничены сверху одной константой с > о. Тогда для любого в > о и 1 л !ппР~-~ »> — -~М», >в =О. д. Пусть случайная величина» имеет нормальное распределение с параметрами М» а, О» о1. Найти вероятности Р0» — а~>сг) и Р(~» — а) > Зо), пользуясь таблицами функции Лапласа.
Затем оцените те же вероятности с помощью неравенства Чебышева. З. Пусть случайная величина» имеет распределение Лапласа, т.е. я ->И ее плотность равна Ргх)>= — е и,?с>0. Найти вероятности 2 Р 0 ф < о) и Р 0» ~ < Зо), где о — среднее квадратическое отклонение, и сравнить их с оценками, получаемыми с помощью неравенства Чебышева. тбз Глава а вв б. Будет ли выполнен закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин Си С,, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
