Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Поэтому для каждой строки имеет место равенство 2 р„=1 для любого /ы 1=1,2,...,т. Распределение «(п) задается вектором р(п) = (Р,(п), ..., р (и)), где Р,(п) = Р(«(п) = О. По формуле полной вероятности получаем Р(п+1)= о(п)Р. Начальным распределением цепи Маркова «называется распределение «(0), заданное соответствующим вектором Р(0). Зная начальное распределение, можно найти р(п) при любом и > О, последовательно вычисляя р(1) = Р(0)Р, Р(2) = Р(1)Р и т.д. В общем случае получаем формулу Р(п) = Р(0)Р". Отсюда следует, что вероятности Р,.(п) перехода из состояния 1 в состояние / за время и можно йайти как элементы и-й степени матрицы Р, т.е. (Рв(п)) = Р".
Говорят, что из состояния 1 можно перейти в состояние /, если существует п такое, что Ре(п) > О. Если из состояния 1 можно перейти в состояние 1 такое, что обратно вернуться нельзя, то состояние! называют несущественным; в противном случае — существенным. Если из состояния 1 можно перейти в 1', а из ! — в «то такие состояния называют сообщающимися.
Все существенные состояния цепи разбиваются на классы сообщающихся озстояний (внутри каждого класса все состояния сообщаются между собой, но не сообщаются с состояниями других классов). Класс называется периодическим с периодом 4 если для любого состояния 1 из этого класса возможные времена возвращения в него (т.е. такие и, что Р,(п) > 0) кратны некоторому числу Ы > 2. В противном случае класс называется апериодическим. Эргодической называется цепь Маркова, для которой сушествует предельное распределение л = (л„ ...
л ): л, = !пп Рв(п), ~ ~'л,. =1. /ы Если имеется лишь один класс сообщающихся состояний, и он апериодический, то цепь Маркова является эргодической. 16з ЧАСТЬ Ь Теория вероятностей Предельное распределение имеет важное практическое значение, однако найти его из приведенной формулы затруднительно, поэтому используется иной подход. Стационарным распределением цепи Маркова называется такое распределение, которое, будучи задано в качестве начального, в дальнейшем останется неизменным. В таком случае говорят, что система находится в станионарном режиме. Для эргодических цепей Маркова стационарное распределение существует и единственно, а самое главное — совпадает с предельным.
Таким образом, если система изначально не находится в стационарном режиме, она со временем (при и -+ о) выходит на него. Стационарное распределение я = (я„..., я ) легко найти из системы уравнений: и=яр, 2 я, =1. Следует отметить, что это система из т + 1 уравнений с т неизвестными, так что одно из уравнений (любое из первых т) можно исключить.
Пример 1. Простейшая форма контроля качества продукции с переменным планом заключается в следующем. Задается т различных объемов выборок (планов), в порядке убывания: и, > п, » ... п, т в 2. Если в выборке из партии изделий обнаружено хотя бй одно дефектное, партия бракуется. Схема контроля производства строится по следующему алгоритму. Первая партия изделий проверяется выборкой максимального объема пг Если она оказалась принятой, делается вывод о нормальном ходе производства, и для следующей партии переходят на выборку меньшего объема и;, в противном случае объем остается максимальным. При контроле партии выборками промежуточного объема и„1 < /с < т, в случае приемки партии переходят на выборку меньшего объема п„„; в случае отбраковки — на выборку большего объема и,, При контроле партии выборкой минимального объема п„в случае приемки этот объем сохраняется, в случае отбраковки переходят на выборку объема и„г В рассматриваемой модели номер используемого плана (объема выборки) образует цепь Маркова, так как при известном текущем значении его следующие значения не зависят от предыдущих.
Пространство состояний в данном случае яуо Глава д ф З = (1, 2, ..., т). Обозначим через г, вероятность отклонить партию при объеме выборки н„1 <! < т. Тогда переходные вероятности принимают вид: 1=1 — 1, 1>1; г,, 1 — г, /=1+1, 1<т; 1=1=1; /=ю'=т. 1 — г„, Заметим, что если вероятность е дефекта изделия мала, то г,.= енг Поэтому для простоты далее будем полагать г,.= ен, Задача 1.
На производстве используется система приемоч- ного контроля с переменным планом, где н, = 20, и, = 10, в = 0,01. Построить матрицу переходных вероятностей и найти стационарное распределение для номера плана. Решение. Здесь Я = (1, 2). Вычисляем г, = 0,2; г, = 0,1. Матрица переходных вероятностей имеет вид 0,2 0,8 Решаем систему уравнений для вектора л =(л„л,): п=лР, л,+л,=1, или, более подробно, л, = 0,2п, +0,1л„ л, =0,8л, +0,9л„ л, +л, =1. Решая первое (или второе) уравнение совместно с третьим, получаем л = (1/9, 8/9). Задача 2.
В городе Ромашкино каждый год 1% жителей переселяются в пригород, а 4% жителей пригорода — в город. Найти стационарное распределение в предположении, что общая численность населения остается постоянной. Решение. Будем считать, что живущий в городе находится в состоянии 1, а живущий в пригороде — в состоянии 2. Матрица переходных вероятностей имеет вид 0,04 0,96 11В ЧАСТЬ С Теория вероятностей Решая систему уравнений < л, = 0,99л, + 0,04л„ л, =0,01л, +0,96л„ л~ +'тт получаем л = (0,8; 0,2).
Таким образом, в стационарном режиме 80% живут в городе, 20% — в пригороде. Задача 3. Магазин электротоваров торгует холодильниками, Случайный спрос на холодильники за неделю имеет распределение, заданное таблицей Спрос 0,2 0,5 0 0 1 0,8 0,2 0 0,3 0,5 0,2 =( Предполагаем, что неудовлетворенный спрос пропадает и не переносится на следующую неделю (т.е. если он составлял 2 штуки, а в магазине был только один холодильник, то система переходит в состояние О, без каких-либо последствий).
Решая систему уравнений ле =0,8л, +0,3л„ л, = 0,2я, + 0,5л„ л, =л, +0,2л„ л,+л,+л,=1, получаем л = (0,330; 0,258; 0,412). Следует отметить, что используемая в данном случае политика пополнения запасов не выглядит эффективной. Действительно, 33% времени товар отсутствует, и магазин упускает возможную прибыль от продаж. тгг Если холодильники заканчиваются, делается заказ на 2 штуки, который прибывает на следующей неделе.
Построить матрицу переходных вероятностей. Найти стационарное распределение числа холодильников в магазине. Решение. В данном случае будем нумеровать состояния от нуля (по числу холодильников), так что Я = (О, 1, 2). Матрица переходных вероятностей имеет вид Глава д Еа 9 9.З. Цепи Маркова с непрерывным временем. Системы массового обслуживания В этом параграфе рассмотрим цепи Маркова: а) с пространством состояний Ю из конечного или счетного числа элементов; б) с непрерывным временем г > О.
Обычно полагают, что элементы Я занумерованы числами 1,2,... Как и ранее, будем рассматривать только однородные цепи Маркова, свойства которых не зависят от времени. Интенсивностью перехода из состояния ! в состояние к (! кк к) называется число Хвтакое, что вероятность перехода из состояния ! в состояние к' за промежуток времени лг равна х„.ьг+ о(ы) при к!à — к О.
Предполагается, что вероятность более чем одного перехода за это время составляет о(аг) при дГ -+ О. Определим также формально величины г к имеющие смысл полных интенсивностей выхода из соответствующих состояний. Тогда для вероятностей рк(Г) = Р(с(Г) = !) имеет место система дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Колмогорова: = )' Л .р„(к) км Эти уравнения могут быть решены, исходя из начального распределения р(О). Определим матрицу Л = (Хв), называемую матриией интенсивностей переходов, тогда уравнения перепишутся в виде р'(г) = р(г)л.
Как и ранее, нас будут интересовать эргодические цепи Маркова и предельные (стационарные) распределения. Поскольку в стационарном режиме распределение не меняется (и производные равны нулю), оно может быть найдено из системы уравнений: л лЛ=О, 2 п =!. /=! Если в цепи Маркова с непрерывным временем есть только один класс сообщающихся состояний, а стационарное распре- ктз Вр ЧАСТЬ С Теория вероятностей деление существует и единственно, то такая цепь оказывается эргодической, и ее предельное распределение совпадает со стационарным. Типичной областью применения цепей Маркова с непрерьгвным временем является теория массового обслуживания, занимающаяся изучением систем массового обслуживания, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
