Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Найти коэффициент а, математическое ожидание М~ и дисперсию 0<„вероятности событий ([с[ < /К ) и ([ч[ < < 3,/Я]. б. Найти Р([С-А<Я<3,~Я), если г, имеет: а) нормальное распределение с параметрами а и о'; б) показательное распределение с параметром 1<; в) равномерное распределение на отрезке [-т; т]. у. Случайная величина с подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т.е. график ее плотности распределения имеет вид, показанный на рис. бду.
Рис. б.еу Написать формулу для плотности распределения, найти Мг, и ОГ. 8. Случайная точка А имеет в круге радиуса к равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию распояния р точки до центра круга. Показать, что величина р* равномерно распределена на отрезке [о, к']. <34 Глава 6 р. Найти производящую функцию моментов для: а) равномерного распределения на отрезке [а, Ь]; 6) распределения Лапласа с параметром А. то, Доказать, что для распределений: а) логнормального; б) Вейбулла с а < т; в) Парето — производящая функция моментов определена только при 1< о; г) для распределения Коши — только при Г = о. Вычислительнь<е задачи си Плотность распределения случайной величины ~ имеет вид С(х+!), х е [ — 1; 2], О, х~[ — 1;2]. Вычислить константу С, функцию распределения Ях), Мг, и вероятность Р(~' <1) тг.
Платность распределения случайной величины Ц имеет вид С(5 — х), хе[ — 2;1], О, хй[ — 2 Ц. Вычислить константу С, функцию распределения Ях), Мс и вероятность Р[0<(,<3). тЗ. Плотность распределения случайной величины с имеет вид С(х — 2), х Е [3; 5], О, х Ф [3; 5]. Вычислить константу С, функцию распределения ЯХ), МС и вероятноаь Р(4 < Е, < 6]. т4. Плотность распределения случайной величины г, имеет вид С(х+1) ы', х>0, р (х)= О, х< 0. Вычислить константу С, функцию распределения Е(х), МГ„РГ, и вероятность Р[]Е,— 1/3] <1).
т5. Плотность распределения случайной величины с имеет вид р (х)= С(1-Х2), ]х]<1, О, [х[>1. Вычислить константу С, функцию распределения Ях), Мг„0~ и вероятность Р][с,— 1/2[<1/4). ф ЧАСТЬ С Теория вероятностей тб. Плотность распределения случайной величины ? имеет вид Се", х<0, р(х) = О, х > О. Вычислить константу С, функцию распределения гТХ), МЦ, РС и ве- роятность РТ вЂ” 2 < с <1). ту. Случайная величина С имеет функцию распределения 1 „ — е", х<0, 2 1 1--е ",х>0. 2 Р(х) = Вычислить плотность случайной величины, математическое ожи- дание, дисперсию и вероятность РТ вЂ” 1< С < 3).
О, х<0, 2х — х', 0<х<1, т8. Проверить, что функция г(х) = х>1 может быть функцией распределения случайной величины. Найти числовые характеристики этой величины: М? и РС. тд. Случайная величина равномерно распределена на отрезке (г; б). Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения.
Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок (г; б) и на отрезок (ч; у). го. Пассажир приходит в случайный момент на остановку, где может сесть на автобус или троллейбус (смотря что придет раньше). Автобус ходит с интервалами в тч минут, троллейбус — то минут (независимо один от другого). Найти функцию распределения времени ожидания и его среднее значение. гт. Стержень длиной го см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня? гг.
Отрезок длиной тг см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка? ГЛАВА 7 ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. НЕПРЕРЫВНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР $7.1. Ф)(нкции от случэйньцг ВФличин Пусть задана функция плотности р(х) случайной величины г, и монотонная дифференцируемая функция у = Ч~(х).
Тогда плотность распределения случайной величины и = ~у(г) равна '() Р„(У)= Р,(Ч '(У))1 Здесь ~р '(у) — функция, обратная к функции у = Ч(х). Доказательство. Пусть у(х) — возрастающая функция, тогда обратная ей функция также возрастающая, и функцию распределения случайной величины и = у(~) можно представить в виде Р„(х) = Р,(цг'(х)), так как Р„(х) = Р(чк(~) < х) = Р(4 < у '(х)) = Р;(чс '(х)). Дифференцируя, получаем 4(Р~(Ч~ (х)) Йр '(х), сну (х) йу '(х) >О. Их Пусть теперь чз(х) — убывающая функция, тогда обратная ей также убывающая, и Р(х) = Р(у(г) < х) = Р(г, > Чг'(х)) = 1 — Р,(Чг'(х)).
1зг ([[1 ЧАСТЬ С Теория вероятностей Отсюда получаем р (х)=Г'(х)=(1 — Г(чт '(х))'=— дрс(йт (х)) дту '(х) ду '(х) дх — ! =-)А(ту '(х)) причем здесь <О. дх Задача 1. Случайная величина 4 равномерно распределена на отрезке [О; 2]. Найти плотность случайной величины т1= —,(с,+1. Решение. Из условия задачи следует, что рс(х) = О, хф[0;2], — хе[0;2]. 1 2' Далее, функция у= — ~/х+1 является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [О; 2] и имеет обратную функцию х=чт (у)=у — 1, производная которой равна =2у.
г с(Ч '(у) Кроме того, Чт(0) = — 1, Чт(2) = — /3 Следовательно, — ! " (У) =Р,(Ч-'(У)) г!У!= с(у О, у~[-Г~;-Ц, 1 — уе[ — ~13; — Ц 2 Р„(У)=Рс(Ч '(У)) =2/у] Значит, р„(у) = 1'О, уФ[ — ГЗ;-ц, [-у, уе[-т'3;-Ц. гзв Объединяя формулы, полученные в случаях возрастающей и убывающей функции чт, получаем исходное утверждение.
Если плотность р,(х) отлична от нуля на некотором промежутке (конечном или бесконечном), то границы соответствующего промежупса для р„(у) находятся подстановкой исходных границ в функцию чт. Заметим, что порядок следования границ может меняться, когда ту — убывающая функция. Глава у ф $7.г. Совместный закон распределения непрерывных случайных величин Пусть на вероятностном пространстве ва заданы две непрерывные случайные величины Г и Ч. Тогда упорядоченная пара (с, Ч) определяет «случайную» точку на плоскости и называется двумерным случайным вектором, или двумерной случайной величиной, так же как в дискретном случае.
Совместной функцией распределения непрерывных случайных величин 4 и и называется функция р(х,у)=(С<к,т~<у), определяющая вероятность попадания случайного вектора (с, и) в бесконечный угол на плоскости с вершиной в точке (х, у), лежащий ниже и левее этой точки. Это общее определение верно как в дискретном, так и в непрерывном случаях, и свойства совместной функции распределения для дискретных величин остаются справедливыми и для непрерывных случайных величин. Напомним, если случайные величины ~ и и независимы, то совместная функция распределения равна произведению функций распределения составляющих: Р(х, у) = Р(х)Р„(у), и наоборот: если выполнено равенспю У(х, у) = Р,(х) Р„~у), то случайные величины ~ и и независимы.
Случайный вектор называется непрерывным, если его совместная функция распределения непрерывна. Случайный вектор называется абсолютно непрерывным, если существует такая неотрицательная функция р,„(х, у), называемая совместной плотностью распределения случайных величин 4 и и (или вектора), что имеет место равенство к у Р(х,у)= ~ ~ р „(и,в)дидк Смысл определения совместной плотности распределения заключается в следующем. Вероятность того, что «случайная точка» (Г„п) попадет в область В с Я' на плоскости, вычисляется как объем трехмерной фигуры — «криволинейного» цилиндра, ограниченного поверхностью с = р,„(х, у) и плоскостью с = О, основанием которого является множество В.
Аналитически этот факт записывается с помощью двойного интеграла: Р((Гул) е В)= Ц р „(х, у)сьыу. в азу ! ! ЧАСТЫ. Теория вероятностей Совместная плотность распределения обладает также следующими свойствами: 1) р(х, у)>О; .Ню +чч 2) Г ~ Р(х, У)ахау=1; — Х-О 3) р(х, у)=~~(х, у). Простейшим примером совместного распределения двух случайных величин является двумерное равномерное распределение на множестве А. Пусть задано ограниченное множество А с площадью Я(А) Тогда указанное распределение определяется как распределение пары (с, т)), задаваемое с помощью следующей совместной плотности: О, (х,у)фА, р (х,у)= сч ' —, (х,у)~А. Я(А) ' Задача2. Пусть двумерный случайный вектор (~, т)) равномерно распределен внутри треугольника тч = ((х, у): х > О, у > О, х+ у < 2).
Вычислить вероятность неравенства ~ > т1. Решение. Площадь указанного треугольника а равна 5(Л) = 2 (рис. 7.1). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин с, т) равна О, (х, у)фЬ, Р~,(х У)= 1 ч Событие (с > т1) соответствует множеству В=((х,у):х>у) на плоскости, т.е. полуплоскости. Тогда вероятность Р(В) = Р((~, т1) Е В) = Д ре „(х, у)ахду. в Рис. у.в тоо Глава 7 ф На полуплоскости В совместная плотность р, (х, у) равна нулю вне множества Ь и 1/2 — внутри множества Л. Таким образом, полуплоскость В разбивается на два множества В, = В Г1 Ь я В, = Вп Ь.
Следовательно, двойной интеграл по множеству В представляется в виде суммы интегралов по множествам В, и Ви причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому Рт(~,т~)~В~= О рв,(х,у)дхду= О 1дхду+ЦОдхду= 1 1 1 = — Я(В1) = — 1=— 2 ' 2 2 р, „(х,у) = р,(х)р„(у). Задача 3. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора ~ и ч.
Решение. Вычислим частные плотности р,(х) и р„(у). Имеем: О, хй(0;2), В-в ~ — ду, х е(0; 2) о О, хФ(0;2), 2 — х — хе(0;2), 2 р,(х) = ~ р, „(х,у)ЫУ = Аналогично О, У Ф (О' 2)* Р„(х)= / РЕ„,(х У)ау= 2 — у 0.2) у~(0; ). 2 вя1 Если задана совместная плотность распределения р,„(х, у) пары (Р„П), то плотности р (х) и р„(у) составляющих Ц й П называются частными плотностями и вычисляются по формулам: р (х)= ~ р „(х,у)ду; О р„(у) = ~ Р,„(х,у)дх.
Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями р,(х), р„(у) независимость означает, что при любых х и у выполнено равенство аа ЧАСТЫ. Теория вероятностей Очевидно, что в нашем случае р,„(х,у)~ р,(х)р„(у), и потому случайные величины 4 и т) зависимы. Числовые характеристики для случайного вектора (4, т)) мож. но вычислять с помощью следующей общей формулы. Пусть р,„(х, у) — совместная плотность величин ~ и т), а ту(х, у)— функпия двух аргументов, тогда Мор(4, т)) = ~ ~ чт(х, у))г, „(х, у)с(хс(у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
