Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Плотность распределения ~ равна э С ', х>1, О, х ( 1. Найти постоянную С, плотность распределения т) = т/г, и вероят- ность Р(о,гб < т) < о,бгг). ч. Случайная величина г, равномерно распределена на отрезке [и З]. Найти плотность распределения случайной величины <) г,' + ь б. Случайная величина г, равномерно распределена на отрезке [-т, т]. Найти плотность распределения случайной величины и =-[пК+ з) у. Случайная величина с равномерно распределена на отрезке [о, З]. Найти плотность распределения случайной величины <) =1Π— г.'. 8.
Случайная величина г, распределена по показательному закону с параметром Х = г. Найти плотность распределения случайной величины <[= е< — 1 9. Случайная величина г, распределена по нормальному закону с параметрами а з и о* = гг. Найти плотность распределения случайной величины <) =(г,— 2)'. ЧАСТЬ Ь Теория вероятиоаей зо.
Случайная величина 6 имеет функцию распределения О, х<0, Г(х)= х', 0<х<1, 1, х>1. 1 Найти функцию распределения случайной величины т) =— 1 — ( тт. Случайная величина 8 имеет стандартное нормальное распределение (с параметрами а = о и о' т). Найти плотнооь случайной величины П ч' тз. Случайная величина г, имеет показательное распределение с параметром А. Найти функции плотности распределения случайных величин: а) ц, = Аг,; 6) т), = Р', в) т), Д; г) т)4 — 1-е ТЭ.
Случайная величина г равномерно распределена на отрезке [о, т]. Найти плотности распределения случайных величин: 1]) а) т) гг, + т; 6) т) = -(п(з — г)т в) т) = 18 и г,— — ! . 3 2 т». Найти плотность распределения суммы двух независимых величин г, и П, равномерно распределенных на отрезках [ц З] и [о, т] соответственно. тч. Случайные величины г, и т( независимы и равномерно распределены на отрезках [о, з] и [З, 4] соответственно. Найти плотность распределения суммы с, + П.
тб. Случайные величины г, и т) независимы и равномерно распределены на отрезках [о, 4] и [ц з] соответственно. Найти плотность распределения суммы ц + П. зу. Случайные величины г, и т) независимы и равномерно распределены на отрезках [ц З] и [з, »] соответственно. Найти плотность распределения суммы г, + П. з8.
Случайные величины независимы и имеют показательное распре)е ", х>0, деление с плотностью Р(х) = ~ Найти плотность рас- 10, х<0. пределения их суммы. глава т тр. Найти распределение суммы независимых случайных величин» и ть где» имеет равномерное на отрезке (о, т) распределение, а ц имеет показательное распределение с параметром Х. го. Совместное распределение», ц является равномерным в квадрате (1 К = ((х, у): у4 + 1у1 я г). найти вероятность Р~ — <» < 1, — < т) <1 .
12 '2 Являются ли» и ц независимыми? гт. Пара случайных величин» и г) равномерно распределена внутри треугольника К 1(х,у):х+у<1,х>О,У>0). Вычислить плотность» и ц. Являются ли эти случайные величины независимыми? Найти вероятность Р(» < т/г). гг. Случайные величины» и ц независимы и равномерно распределены на отрезках [о, г) и (-ц г). Найти вероятноаь Р(»П <1/2). гЗ.
Двумерная случайная величина (», ц) равномерно распределена в квадрате с вершинами (г; о), (о; г), (-г; о), (о; -г). Найти значение совместной функции распределения в точке (тл -т). гл. Случайный вектор (», ц) равномерно распределен внутри круга радиуса З с центром в начале координат. Написать выражение для совместной плотности распределения. Определить, зависимы ли эти случайные величины.
Вычислить вероятность Р1» > О, г1 > 0). гч. Пара случайных величин » и и равномерно распределена внутри трапеции с вершинами в точках (-6; о), (-З; 4), (З; 4), (6; о). Найти совместную плотность распределения для этой пары случайных величин и плотности составляющих. Зависимы ли» и ц? гб. Случайная пара (»,г)) равномерно распределена внутри полукруга К = ~(х,у):(х — 1)'+у' <1,у>0).
Найти плотности» и ц, исследовать вопрос об их зависимости. гу. Совместная плотность двух случайных величин» и П равна 4е", у<О,х<О,У<х; Р(х,У) = О, иначе. Найти плотности», ц. Исследовать вопрос о зависимости» и г). г8. Случайная пара (», ц) равномерно распределена на множестве К=)(х,У):х>0;1>У>х). Найти плотности» и ц, исследовать вопрос об их зависимости. Найти М(»ц). 151 ЧАСТЬ С Теория вероятностей Ь зд.
Случайные величины С и ц независимы и распределены по показательному закону с параметром А = з. Найти Р(2ц+ т) < 2 'Т. Эо. Дана совместная плотность случайных величин 4 и тр р(х,у) = Ав(п(х+ у), 0 < х < —; 0 < у < —; и п О, иначе. Найти: а) коэффициентлт б) совместную функцию распределения; в) частные плотности и функции распределения; г) условную плотность распределения С при условии т) = у, Зт. Случайная пара (С, П) равномерно распределена в единичном квадрате К=Т(х,у):0<х<1; О<у<1).
Пусть р — расстояние от точки (г„ц) до нуля. Найти функцию условного распределения р при условии С х. о я хе т. Зз. Пара случайных величин С и ц равномерно распределена в треугольнике с вершинами в точках (о; о), (и т), (з; -т). Найти: а) функцию регрессии С по тн б) функцию регрессии ц по Г. ЗЗ. Две независимые случайные величины гч и ф, имеют показательное распределение с параметром Х. Найти условное распределениегч при условии, что ц =4,+Р„=г, г>о. ГЛАВА 8 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА $8.а. Неравенство Чебышева ~ Теорема 1 (неравенснмо М(раева). Пусть случайная величина С имеет МЦ, тогда для любого е > 0 верно РОФе)- —, Мф Доказательство. Проведем доказательство раздельно в дискретном и в абсолютно непрерывном случае. Пусть с — дискретная случайная величина и Р(~ = х,) = р„ 1= 1, 2, ..., и.
Тогда вероятность Р( ! С ! > е) равна сумме вероятностей р„для которых х, находятся вне промежутка ( — е, е). Очевидно, для таких х,. имеет место неравенство — ~>1. )х,! учитывая это неравенспю, получаем Р(!~! >е) = р, < ') — 'р, < ~ — 'р,. + ) — 'р,. = — ~Ях,.!р, = — МЩ. !х,! !х,! !х,.! 1 " 1 ~ьй е ~ьй е ' ~ьй е ' е,, ' е Пусть с — абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью распределения р,(х). Тогда вероятность Р(! 4 ! > е) Равна сумме интегралов от плотности распределения по про- 153 ЧАСТЬ С Теория вероятностей межуткам (-ь, -е) и (е, + ь). На этих промежупсах — >1.
!х! Воспользовавшись формулой для математического ожидания, получаем неравенство й -я Р(! "с,! > е) = 1' р,(х)ах+ /'р,(х)с(х < — ~' !х!р(х)ах+ е + — ~ !х!р,(х)дх < — / !х!р,(х)дх+ — ~ !х!р(х)Жс+ + — ~ !х!р(х)дх = — / !х!р(х)дх = — М!Ц!. 1 1 1 В общем случае подобное доказательство проводится с использованием интеграла Лебега, что не входит в программу настоящего курса.
Следствие. Если случайная величина с, имеет Асс,-', то сит любого е > О верно Р0~1- ) - '— „ Доказательство. Заметим, что событие (вл !с !в е) равносильно событию (вя ч' > е'), и применим неравенство Маркова к случайной величине с'. ~ Теорема 2 (неравенспюо Чебыаева). Пусть случайная величина с, имеет математическое ожидание Яяс, и дисперсию И,. Тогда для любого е > О верно Р(!ч Мс! > е) < Доказательство. Применяем следствие неравенства Маркова к случайной величине К вЂ” ЛЩ замечая, что М(4 — М~)'= И,. Неравенство Чебышева часто используют в виде ф ! ) 154 Глава 8 (р ~ Теорема 3 (неравенство лТолмоюрова).
Если независимые слу- чайные величины»„ »„..., »„имеют математические ожидания и» и дисперсии Р»г, то для любого 8 > 0 верно и 1 и ) и Р~~-~»,— ~ М»г <8~ >1- —,,~Р»,. 11П,, Пг, ' ~ П'8' и, доказательство. Применяем неравенство Чебышева к слуи 1 чайной величине»= — ~ »,, которая имеет М»= — ) М»,.и и пг, и,, Р»= —,~ Р»г (согласно свойствам математического ожидания и',, и дисперсии). Задача 1. В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятносп того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 20. Решение.
Число успехов в этих испытаниях распределено по закону Бернулли, поэтому среднее число успехов равно М» = пр = 400 х 0,8 = 320, а дисперсия Р» = пра = 400 х 0,8 х х 0,2 = 64. Тогда в силу неравенства Чебышева имеем Р(~» — 320~ < 20)>1- — =1 — — = 0,84. Р» 64 20о 400 Вычислим эту же вероятность с помощью приближенной (интегральной) формулы Муавра — Лапласа (см. гл. 4): /1г-гги~ го) и1г- р~ )=и)- ,/прг7,) прг7 ) =2Фо =2Фо~ =2Фо(2 5)=2х0,4938=0,9876 Последнее вычисление показывает, что неравенство Чебышева дает довольно грубые оценки вероятностей. $8.а.
Закон больших чисел Ь Теорема 4 (закон больших чисел). Пусть задана бесконечная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин»о»„..., »„, ..., для которых существуют мате- о55 ЧАСТЫ. Теория вероятиоаей матическое ожидание М~,. = а и дисперсия Эс„=а Тогда для 2 любого е > 0 верно ( 1 и йпР! — ~ с„— а >е =О.
2=! Доказательство. Применяем неравенство Чебышева к слу. и 1 чайной величине С,„= — ~ 1,о которая имеет МС„= — ~,Ме,! =а п2, и,, и 2 и ЮС„= —,~ Щ! = —. Получаем и ! ! и (1 и а' Р~-~ ~,.— а >е~=Р((С„(>е)< —,— О, и- оо. (п2! пе Суть закона больших чисел состоит в том, что при возрастании числа слагаемых (одинаково распределенных случайных величин) среднее арифметическое этих слагаемых мало отличается от математического ожидания а. Иначе говоря, любое положительное отклонение среднего арифметического случайных величин от числа а становится при достаточно большом числе слагаемых маловероятным.
Закон больших чисел может выполняться и в случае поразному распределенных случайных величин. ~ Теорема 5. Пусть г,„с„..., 4„, ... — последовательность независимых случайных величин, для которых существуют математические ожиданиЯ Меч и диспеРсии гиги„УдовлетвоРЯюЩие Усло! вию — 2~ Ж, О, и - ио. Тогда для любого е > О справедливо рая',, венство ( 1 и 1 и 11птР~-~г„— — ~ Мси <е =1. 1п2! пи, Доказательство. В силу неравенспи Колмогорова имеем и (!1 и 1 и 1- —,,Ч ~Г„<Р~~-Х ~~,--~.М~, «1. е'и' 2, '1п,, и,, 2З6 Глава 8 Переходя к пределу в неравенстве при и - лв, получаем угверждение теоремы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
