Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Асимметрия и эксцесс нормального распределения равны нулю. Плотность стандартного распределения К2 1 1Е(х)= — е ', /2х а функция распределения 22 Ф(х)= — ~ е Щ. (2х Такой интеграл невычислим аналитически, но функция Ф(х) связана с функцией Лапласа 22 Фв(х)= — '$е Тдг /2 соотношением Ф(х) = — +Ф (х). 1 2 В случае же произвольных значений параметров а и о' функция распределения Р„(х) случайной величины Г ~ ЛГ(а, о') связана с функцией Лапласа с помощью соотношения Отсюда вероятность попадания нормально распределенной случайной величины г, Е У(а, о1) на полуинтервал [с„с1) можно вычислять по формуле Р[е, <1<с )=Ф вЂ” ' — Ф Напомним, что значения функции Лапласа затабулированы в табл.
2 приложения 2. Задача 3. Пусть задана случайная величина Г Е л((1, 4). Вычислить вероятность Р(0 < 5 < 3). 125 ЧАСТЫ. Теория оероятиоаей Решение. Здесь а = 1 и о = 2. Согласно указанной выше формуле Р(0 < т, < 3) = Фо ~ — ! — Фо ~ — ) = Фо (1) — Фо ( — 0,5) = (3- И (0-1) = Ф,(1)+ Ф (0,5) = 0,3413+ 0,1915 = 0,5328. Важными свойствами нормального распределения являются следующие: 1) Если П = А4+ В, где с е М(а, о'), то П е И(Аа + В, А'о').
В частности, случайная величина с е У(а, а') может быть представлена в виде ~ = а + ос„где ~о е 1е(0, 1). 2) Сумма двух независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальный закон распределения. При этом их математические ожидания и дисперсии суммируются.
Производящая функция моментов нормального распредеа~~ О~в ления имеет вид «ь(т)с е ' (существует при любом значении параметра Т). Для центральных моментов любого порядка нормально распределенной случайной величины можно вывести рекуррентное соотношение 11„= (/с — 1)а')с„„ позволяющее выражать моменты высших порядков через моменты низших порядков.
Поскольку 11, = О, все нечетные моменты нормального распределения равны нулю. Для четных моментов получаем следующие выражения: (со = 1, 111 = а1 в„= Зо", ..., 111„= (2к — 1)!1о11 Отсюда асимметрия равна 13, = Сс,/а' = О, эксцесс равен т, = сс,/ои — 3 = О. Логарифмически нормальное (логиормальиое) распределение случайная величина г, имеет в том случае, когда ее логарифм имеет нормальное распределение. Соответственно ~ может быть представлена как показательная функция от нормально распределенной случайной величины.
Для описания логнормального распределения используется различная параметризация и, соответственно, по-разному выражаются математическое ожидание и дисперсия. 126 Глава 6 Если 9 = ае", и Е Ф(0, о'), как это предполагается в 1Ц, то лес =ае и и 27с,=а'е' (е' — 1). Если Г = ел, г) Е Ф(а, о'), что будем обозначать через 5 е ехр(гт(а, о')), то Мс = Ае " и ЮГ,=А'е (е — 1), где А = е'. Другие числовые характеристики: мода — х = Ае '; медиана — х „= А; ! асимметрия — 13, = (е' — 1)'(е' + 2); эксцесс — и = (е' — 1)(е' +Зе' +бе' +6), Из этих формул видно, что асимметрия и эксцесс логарифмически нормального распределения всегда положительны и тем ближе к нулю, чем ближе к нулю о.
Мода и медиана стремятся к слиянию по мере стремления к нулю величины о. Графики плотности и функции распределения при некоторых значениях параметров представлены на рис. 6.9 (при А = 1, и = 1) и 6.10. Значения логарифмически нормальной случайной величины образуются как «случайные искажения» некоторого «истинного значения» А, которое является не средним значением, а медиа- Плотность логнормаяьного распределения р (х) Фуняния логнормаяьного распределения Г (х) 0,7-- О,8 0,6 0,5 0,6 0,4 0,4 О,з о,г о,г О,! 0,0 0 2 4 6 8 х о,о 0 2 4 6 8 х Рис. 6.О 127 ЧАСТЬ Ь Теория вероятностей Рис.
6ао ной. Значения логарифмически нормальной случайной величины оказываются характерными для многих конкретных физических и социально-экономических ситуаций (размеры и вес частиц, образующихся при дроблении; заработная плата работника; доход семьи; размеры космических образований; долговечность изделия, работающего в режиме износа и старения, и другое). Распределение Лапласа задается плотностью рс(х)= — е *, — во<Х <то ' -Чй 2 (двусторонняя показательная плотность). Функция плотности распределения симметрична относительно нуля, т.е.
четна, и поэтому математическое ожидание М~ = О. Дисперсия в два раза больше дисперсии случайной 2 величины, распределенной по показательному закону: 12~ = —. )„1 Действительно, Ж = лает — (мс)1= — ~ х'е'н)дх = )с ~ хте'"с(х = — . )с т 2 2 а Симметричная унимодальная функция плотности этого закона с острым максимумом в точке ноль иногда используется лля описания распределений остаточных случайных компонент (ошибок) в моделях регрессионного типа. В силу симметрии имеем Х „= Х = О, )1„= О.
Эксцесс равен Т = 3. Графики плотности и функции стандартного распределения Лапласа представлены на рис. 6.11 (при 2 = 1), общий вид плотности — на рис. 6.12. 128 Глава б (~$ Платность распределения Лапласа Р (х) Функция распределения Лапласа Р (х) 0,8 0,8 О,б О,б 0,4 0,4 0,2 0,2 0,0 — 3 -2 -1 0 0,0 1 2 х — 3 -2 — 1 0 1 2 х Рис. бом Рис. б.аа Распределение Вейбулла может быть задано плотностью Хах' 'е ~, х>0, Р„(х)= а>0. О, х<0, 129 Трели» врроятактел Функция распределения имеет вид ~1 — е ~, х>0, 10, х< 0.
Графики плотности и функции распределения Вейбулла при некоторых значениях параметров представлены на рис. 6.13 (а = 2, )ь = 1) и 6.14. ЧАСТЫ. Теория вероятностей Фуняпня распределения Г (Л) аейбулла Плотность распределения Вейбулла 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,81,01,21,4 1,6 1,8Х 0,2 0,4 0,6 0,81,01,2 1,4 1,6 1,8Х Рве.
6.13 Р (х) 2У (Х) Рис. 6.80 Распределению Вейбулла подчиняется время безотказной работы многих технических устройств. В задачах этого профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) Цу) исследуемых элементов возраста б о,(у) определяемый соотношением 2.(у) = . Для распределе- (-У;(у) ния Вейбулла этот показатель принимает достаточно простой вид степенной функции: Х(у) =)ьау" '. тзо Глава 6 В)о Если а = 1, то распределение Вейбулла превращается в показательное распределение, а если а = 2 — в так называемое распределение Рэлея. Математическое ожидание распределения Вейбулла МГ, = ( 2 ! ( = Л Г~1+ — ! и дисперсия Ж = Ло« ~Г!1+ — 1 — Г'!1+ — 1, где а Г(а) — гамма-функция Эйлера: Г(у)=~х' 'е *о(х, которая обла- о дает следующими свойствами 1) Г(т + 1) = тг(у); 2) Г(и) = (и — 1)! для целых л. Мода имеет вид Х О, а(1; ! — !— Л а(1 )а ох>1 а (1п2) медиана Х 63сд ~а « а'(х) — 1 о Р (х)= —— Ц * со~х) где а > О, а х > с, Функция плотности имеет вид монотонно убывающей кривой, выходящей из точки (с„а/со).
Основные числовые характеристики этого распределения существуют не всегда, а лишь при соблюдении определенных требований к значению параметра ес оооо математическое ожидание Л4 = — существует при а > 1; дисперсия Ж =,' существует при а > 2; (а — 1)'(а — 2) 131 В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения.
Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с„ установленный законами о налогообложении. Эти распределения приближаются распределением Парето. Распределение Парето задается функциями распределения и плотности (рис. 6.15, с = 1, а = 2) ЧАСТЬ !. Теория вероятиопей Функпиа распределения ре(х) Парето Плотность распределения ре(х) и,„, 3,5 0,8 3,0 2,5 0,6 2,0 0,4 1,5 1,0 0,2 0,5 0,0 0,0 1,01,2 1,4 1,6 1,82,02,22,42,62,8х 1,01,2 1,4 1,6 1,82,02,22,42,62,8л Рис.
6.15 1 мода х = с, и медиана х = се2™существуют всегда; момент Й-го порядка 2)1Ц = — существует при а > й. ас," а — )! Распределение Коши задается функцией плотности распределения «'4 (Х) 2 тт(от+(х — а)т) ! 1 х-а Г(х) = -+-атста —. 2 и с Стандартное распределение Коши соответствует случаю а = О, с = 1. Для параметров а = О, с = 1 графики приведены на рис. 6.16. Отметим два важных свойства (самовоспроизводимости) распределения Коши. 1) Если случайная величина Р имеет распределение Коши с параметрами с и а, то любая линейная функция 64+ 61Я 832 где с > Π— параметр масштаба и а — параметр сдвига, опреде- ляющий значение моды и медианы.
Функция распределения задается формулой Глава 6 ф! имеет распределение того же типа с параметрами с' = ~ Ь, ~ с и а = Ь,а+Ье. 2) Если слУчайные величины Гн 4„..., 4„независимы и имеют одинаковое распределение Кошй, то среднее арифметическое с = (~, + ~, + ... + с„)/и имеет то же распределение Коши, что и ~, Плотность распределения Коши р (х) 0,6 Функция распределения Коши р (х) О,В 0,5 О,4 0,6 0,3 0,4 0,2 о,г о,! о,о -3 — 2 — 1 0 о,о 1 2 х -3 — 2 -1 0 1 2 х Рис. 6.яб Задачи для самостоятельного решения Теоретические задачи 1. Случайная величина 5 имеет нормальное распределение с парас — а метрами а и о*.
Показать, что величина — нормально распре- а делена с параметрами о и 1. г. Случайные величины 6,, ~,„... С„независимы и имеют одинаковую функцию плотности распределения ~ае, х>0, (О, х<0. 1ЗЗ ЧАСТЬ !. Теория вероятностей Найти функцию и плотность распределения величин: а) т1, = п<1п(сн, У„,. г,„]; б) ц, птах(сн ~,, ... ~„].
З. Случайные величины ~,, ~,, ..., ~„независимы и равномерно распределены на отрезке [а, (т]. Найти функции распределения и плотности величин т), = пт]пКи ~н ... ц„] и т), = к<ах(~,. ~и ..., с„). Доказать, что М(ц, + т1,) = а + Ь. а 4. Случайная величина распределена по закону Коши л(х)= —,. 1+ х' Найти: а) коэффициент а; 6) функцию распределения; в) вероятность попадания на интервал (-ц т). Показать, что математическое ожидание г, не существует. З. Случайная величина подчинена закону Лапласа с параметром Х («> о): Р(х) =ае "н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
