Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 15
Текст из файла (страница 15)
) = Р (г, = х! ) = ) Р (с = х,, и = у ~= ~ рг. Действительно, событие (со: с = х,.) может появиться с одним из событий Ц = хл Ч = у,), (4 = хл П = у,) ..., Й = хл Ч = У ), которые несовместны и их обьединение равно собьггию (вс с = х,.), т.е. (ч = х!) = Ц (ь! = хл ч,= у). Отсюда в силу теоремы сложе- иия несовместных событий следует, что Р(Г = х,) = )" ра Аналогично частным законом распределения и называется набор вероятностей событий (и = у,.), которые также можно вычислить с помощью формулы. р„(уз)=Р(ч=у/1=ХРФ=х! и=у;1 ='Е.рл Таким образом, распределение каждой случайной величины восстанавливается с помощью совместного закона распределения вероятностей. Пример 2.
Совместное распределение пары (Р„П) задано таблицей. Частные законы рассчитаны суммированием по строкам и по столбцам. ву ! ЧАСТЬ!. Теория вероятностей е(в Случайные величины В и тТ называются независимыми, если для любых множеств А и В выполняется условие: Рттс,а А, ТТ а В) =Р(с а А)Р(ТТ а В), т.е. независимы события (сеА) и (тТвВ). Справедлива следующая теорема. ~ Теорема.
Дискретные случайные величины с, и т1 независимы тогда и толысо тогда, когда события Тс = х/ и /т1 = у/ независимы для всех значений х, и у.. Доказательство. Пусть Р(8 = хн ТТ = у) = РК = хт)Р(т1 = у) для всех значений х, и у.; тогда получаем л Р(сеА,ТТеВ)= ') Рф=хтттТ=у )= ~ Р~ф=х,.)Р(ТТ=у )= ,«А,тт«В е«А,«т«В Р ( с, = хт т)'~ Р (тТ = У )= Р (с, е А )Р (т1 в В 1.
тт«В Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин с и тТ задан с помощью таблицы. Вычислить частные законы распределения составляющих величин с и тТ. Определить, зависимы ли они. Вычислить веро- ятность Р(с+ТТ>21. Решение. Частное распределение для 8 получается суммированием вероятностей в строках: Р ~ф = -11= Р (с = -1, т1 = 11+ Р (с, = -1, т1 = 21= 1/16+ 3 /16 = 1/4; Р(~=0)=Р(~=0, т1=1)+Р(~=0, т1=2)=1/16+3/16=1/4; Р(Г=1)=Риф=1, т1=1)+Р(г,=1, т)=2)=1/8+3/8=1/2.
88 Глава З Аналогично получается частное распределение для тр Р(т1 =Ц=1/16+! /16+1/8=1/4; Р(т1 = 2~= 3/16+ 3/16+ 3/8 = 3/4. Полученные вероятности можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин. Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин Г и т1. С этой целью для каждой клетки совместного распределения вычислим произведение Р1Г = х,.
1Р (т1 = у,. ~, т.е. сумм по соответствующей строке и столбцу, и сравним его со значением вероятности Рф=х„т1 =у 1 в этой клетке. Например, в клетке для значений г, = -1 и т1 = 1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4 х 1/4 = 1/16, т.е. совпадает с совместной вероятностью.
Это условие так же проверяется в оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным везде. Следовательно, случайные величины 1 и т1 независимы. Заметим, что если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, то величины следовало бы признать зависимыми. Для вычисления вероятности Р(~+т1 > 21 отметим клетки, для которых выполнено условие 4+Ч>2. Таких клеток всего три, и соответствующие вероятности в этих клетках равны 1/8, 3/16, 3/8.
Их сумма 11/16, это и есть искомая вероятность. Вычисление этой вероятности можно записать так: Р1Г+т1>21=Р1Г=1, т1=1~ +Р~Д=О, т1=21+Р1Г,=1, т1=2~= = 1/8 + 3/16 + 3/8 = 11/16. вд ЧАСТЬ Ь Теория вероятностей $ ч.а. Совместная функция распределения случайного вектора Рассмотрим вероятностное пространство ь2, на котором определен вектор (С, т)).
Обозначим через (С < х, тт < у) множество тех элементарных событий «т, для которых одновременно выполняются эти неравенства. Совместной функцией распределения вероятностей случайных величин с, и тт или случайного вектора 1с, тт) называется функция двух аргументов Г(х, у), равная вероятности Р(с, < х, тт < у) = — Г(х, у). Это обшее определение верно как в дискретном, так и в непрерывном случаях.
Частными функциями распределения называют функции распределения составляюших с, и тр Г,(х) и Г„(х). Многомерные функции распределения обладают аналогичными свойствами, что и одномерные: 1) О < Г(х, у) < 1; 2) Г(х, у) есть неубываюшая функция по каждому из аргументов; 3) У(х, у) непрерывна слева по каждому из аргументов; 4) Г(х, у) удовлетворяет соотношениям: Г (+ о, + о) = 1 и Г(х, — о) = Г( — о, у) = Г( — о, -о) = О. Геометрически функция распределения Г(х, у) = РЦ, <х, ст <у) определяет вероятность попадания случайной точки в бесконечный угол с вершиной в точке (х, у), не включая его границы (рис.
5.1). Геометрическая интерпретация функции распределения Г(х, у) позволяет дать простое пояснение предельным свойРис. ч.в до Глава З ствам функции распределения: если х -+ — о (или у -+ -ов) правая граница (верхняя граница) бесконечного квадранта неограниченно смещается влево (вниз), то вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю. При х -++в и у -в+ э бесконечный квадрант превращается во всю плоскость зОу и попадание случайной точки в эту плоскость является достоверным событием. Если один из аргументов равен + о, то функция распределения вектора превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу: У(х, + ю) = = Р,(х), У(+о, у) = Р„(у). Действительно, поскольку событие (ак С(га) < + о) достоверно, Р(х, +в) определяет вероятность события (ак ~(а) < х), т.е.
представляет собой функцию распределения составляющей Г. Аналогично, 4+о, у) = Р„(у). Геометрически функция распределения составляющих есть вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную прямой Х = х, для Р(х, + ю) = Р,(х), или прямой У = у для Р(+ о, у) = Р'„(у) (рис. 5.2). Рис. 5.2 Используя геометрическую интерпретацию функции распределения Р,(х, у), можно вычислить вероятность попадания случайного вектора (г,(га), я(га)) в прямоугольник П = ((х, у): х е [ао Ь,[, У е [в„Ь,Ц.
Действительно (Рис. 5.3), Р[(Г, П) в П] = = Р(4 < Ьо и < Ь,) — Р(г, < Ь„ч < а,) + Р(Г < ао ч < а,)— Р(Г, < а„д < Ь,) = Р(Ь„Ь,) — Р(Ьо а,) — Р(ао Ь,) + Р(а„а,). 91 ЧАСТЬ Ь Теорив веровтностей рис. ча Если вектор непрерывный, то эта формула верна для любого интервала, полуинтервала или отрезка, так как вероятности точек и прямых в этом случае нулевые. В многомерном случае приведенных четырех свойств недостаточно, чтобы функция Х(х, у) была функцией распределения. Необходимо еще, чтобы лри любых а, и Ь, следующее выражение было неотрииательно: Р(а)я4~ Ь, а я3\с Ь) Р((Р, 1\) ЕП1 = Р(Ь„Ь,) — Р(Ь„а,) — Х(ао Ь,) + У(ао а,) > О. Из определения независимости случайных величин г, и и следует, что их совместная функция распределения равна произведению функций распределения составляющих: Х(х, у) = = Г(х)Р(у).
Справедливо и обратное: если Р(х, у) = Г(х)Г(у) верйо для любых х и у, то случайные величины независимй. Все свойства, доказанные для функции распределения двумерной случайной величины, остаются справедливыми и для функции распределения р(хо х„..., х„) в случае и аргументов. $ ~.~. Числовые характеристики дискретных случайных величин Пусть г, — дискретная случайная величина со значениями х„х„..., х„и их вероятностями р,. = Р(4 = х,.), 1 = 1, 2, ..., и. Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины С называется число в М(,=) х,.р, . 1=1 9г Глава В Если множество значений случайной величины с бесконечно, т.е. счетно, то математическое ожидание определяется как бесконечный ряд МГ = у х/р,.
!=! в случае, когда он абсолютно сходится. Если Р, — дискретная величина и !р(х) — некоторая функция, то математическое ожидание величины и = /р(Р) можно вычислить по формуле М/В(Г,)=ч~ а/(х/)р/ / при условии, что ряд абсолютно сходится. Если заданы совместное распределение вероятностей случайных величин г, и и и функция а/(х, у) двух аргументов, то М<В(4,Ч) = ~~~,св(х„у,)рв Математическое ожидание обладает следующими свойствами: 1) МС = С (С вЂ” константа); 2) М(С~) = СМ~ для любой константы С; З) М(б+ ч) = ящ + Мгб 4) М(ьг!) = (Мч)(Мп), если г, и и независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
