Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Среди клиентов туристической фирмы Зо% ездили в Турцию, гоо — в Египет, то% — в Грецию; в Турцию и Египет — тайЬ, в Египет и Грецию — 5%, в Турцию и Грецию — 6' , во все три страны — А%. Найти вероятность того, что случайно выбранный клиент: а) ездил в Турцию или Египет, 6) ездил в Египет или Грецию, в) ездил в Турцию, Египет или Грецию, г) не ездил ни в одну из перечисленных стран.
ГЛАВА д ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ 9 е(.а. Испытания Бернулли Теория вероятностей имеет дело с такими экспериментами, которые можно повторять (по крайней мере, теоретически) неограниченное число раз. Пусть некоторый эксперимент повторяется и раз, причем результаты каждого повторения не зависят от исходов предыдущих повторений. Такие серии повторений называют независимыми испытаниями. Частным случаем таких испытаний являются независимые испытания Бернулли, которые характеризуются двумя условиями: 1) результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов, называемых соответственно «успехом» или «неудачей»; 2) вероятность р «успеха» в каждом последующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний и остается постоянной.
Ь Теорема Бернулли. Если производится серия из и независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых «успех» появляется с вероятностью р, то вероятность того, что «успех» в п испытаниях появится ровно т раз, выражается формулой р„(т) = С„"р" а" гле а = 1 — р — вероятность *неудачи», 65 г«р»»»»»»»»»»»»»» вь чАсть ь теория яероятноаей Эта формула называется формулой Бернулли. Схему испытаний Бернулли называют также биномиальной схемой, а соответствующие вероятности — биномиальными, что связано с использованием биномиапьных коэффициентов С„.
Доказательство. Каждое испытание Бернулли описывается пространством элементарных исходов й = (У, Н), состоящим из двух элементов: У (успех) и Н (неудача), а также их вероятностями Р(У) = р, Р(Н) = д, р + а = 1. Примем успех в испытании за событие А. Составной эксперимент (серия из и испытаний) задается пространством ья„, каждый элемент которого представляет собой упорядоченный и-мерный набор конкретных результатов этих испытаний. Обозначим через В событие, состоящее в том, что в и опытах событие А появилось ровно т раз. Разложим событие В в сумму произведений событий, состоящих в появлении и непоявлении события А в отдельных опытах, при этом обозначим через А,. появление события А в 1-м опыте и А~ — непоявление А в 1-м опыте. Тогда каждый вариант события В„состоит из т появлений события А и н — т непоявлений события А, т.е.
В =А А, ...А„,А„+АА,...А„,А„+...+А,А,...А„,А„. Число всех комбинаций такого рода равно числу способов, какими можно из и элементов одновременно выбрать т элементов, соответствующих т появлениям события А, т.е. числу сочетаний С„. Вероятность каждой такой комбинации (каждого слагаемого) по теореме умножения независимых событий равна р а" ", а так как составляющие событие В„являются несовместными событиями, то согласно теореме сложения несовместных событий Р(В )=Р„(т)=С„р а" Задача 1. Игральная кость брошена 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка».
Решение. Шестикратное бросание кости можно рассматривать как последовательность независимых испытаний с вероятностью успеха («шестерки»), равной 1/6, и вероятностью неудачи — 5/6. Искомую вероятность вычисляем по формуле Р,(3)=С« — — = 0,053. 66 Глаеа ь ф Задача 2. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более 2 раз. Решение. Искомая вероятность равна сумме вероятностей трех событий, состоящих в том, что герб не выпадет ни разу, либо один раз, либо два раза: Р(А) = Р,(0) + Р,(1) + Р,(2) = — С, — — + С, — — + С, — — = 0,344, Задача 3.
Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины. Решение. Событие состоит в том, что из 4 фирм-нарушителей будет выявлено три или четыре, т.е. Р(А) = Р,(3)+ Р4(4) =С,'0,9' 0,1+С,'0,9' = 0,9'(0,4+ 0,9) = 0,9477 5 а.а. Наиверолтнейшее число успехов Число т, при котором биномиапьные вероятности Р„(т) достигают своего максимального значения (при фиксированном числе испытаний п), называют наиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов. Справедливо следующее утверждение.
~ Теорема 2. Наивероятнейшее число успехов т" в серии из и независимых испытаний Бернулли (с вероятностью успеха р в одном испытании) определяется соотношением пр — д < т" < пр + р, причем: 1) если число пр — д — дробное, то существует одно наивероятнейшее число т"; 2) если число пр — о — целое, то существует два наивероятнейших числа: т* = пр — д, т» = пр + р; 3) если пр — целое число, то наивероятнейшее число т» = пр. 67 Е ЧАСТЫ. Теория вероятностей Доказательство. Рассмотрим отношение двух соседних Р„(а+ 1) (и — т)р вероятностей.
Если отношение " = больше Р„(а) (а+1)тг единицы, то последующая вероятность Р„(т + 1) превышает предыдущую Р(т). Если же Р„(т + 1) < Р„(т), то отно- Р„(т+ 1) (и — т) р шение " = меньше единицы. Для нахождения Р„(т) (т+!)т) наивероятнейшего числа т* надо уловить тот момент, когда отношение, большее единицы, станет меньше единицы, т.е. найти такое т*, для которого одновременно выполняются не- Р„(т+1) Р„(т) равенства " < 1, " >1. Тогда из неравенства Р„(а) Р„(а — 1) Р„(т»+1) (и — а»)р <! получаем т* > пр — т), а из неравенства Р„(а») (а»+1)т! Р„(а*) (и — а *+1) р >1 получаем т* < пр + р. Таким об- Р„(໠— 1) а * т) разом, получаем, что т* лежит в интервале единичной длины пр — д < т* < пр + р, причем, обозначив через т* = [пр — 4 целую часть числа ир — д, получим: 1) если число пр — т1 — дробное, то имеется единственное целое число т = (т' + 1), принадлежащее промежутку [ир — д; ир + р[, для которого вероятность Р„(т) достигает своего максимального значения: Р„(т* + 1) = шах Р„(т), т = О, 1, ..., и; 2) если число ир — д — целое, то имеются две точки максимума т' = пр — тг и т* + 1 = пр + р: шахР„(т) = Р„(т*) = Р„(т' + 1), т = О, 1, ..., и.
Последнее равенство следует из непосредственной проверки Р„(т '+ 1) (и — а*) р того, что отношение " = равно единице, если Р„(т*) (т *+ 1)ту заменить т* на пр — т1, а тг на 1 — р; 3) если ир целое, то наивероятнейшее число т' = пр. Действительно, если пр — целое, то в промежутке пр — ст < ш < пр + р, длиной единица (р + тг = 1), содержится единственное целое число — ир.
68 глава е ве Задача 4. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба). Решение. Возможными значениями для числа успехов в трех рассматриваемых испытаниях являются т = О, 1, 2 или 3. Пусть А — событие, состоящее в том, что при трех подбрасываниях монеты герб появляется т раз. По формуле Бернулли легко найти вероятности событий А . Из таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1 и 2 (их вероятности равны 3/8). Этот же результат можно получить и из теоремы 2. Действительно, и = 3, р =!/2, д = 1/2.
Тогда 1 1 ° 1 1 Зх — — — < т <Зх — + —, те. 1<т <2. 2 2 2 2' Задача 5. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 3/4. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их число равно !О. Решение. В этом примере и = 1О, р = 3/4 = 0,75, д = 1/4 = = 0,25. Тогда неравенство для наиболее вероятного числа успехов имеет вид: 1О х 0,75 — 0,25 < т' < 10 х 0,75 + 0,75 или 7,25 < т* < я 8,25. Существует только одно целое решение этого неравенства, а именно т* = 8. Задача 6. В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 0,1.
Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 25 визитов. Решение. Имеем п = 10, р = 0,1, д = 0,9. Неравенство для наиболее вероятного числа успехов принимает вид: 25 х 0,1 — 0,9 < < т' < 25 х 0,1 + 0,1 или 1,б < т' < 2,6. У этого неравенства только одно целое решение: т* = 2. 69 ф ЧАСТЬ С Теория вероятностей 5 д.З. Предельные теоремы и приближенные формулы При больших значениях и непосредственное нахождение вероятностей Р„(т) по формуле Бернулли сопряжено с трудностями вычислительного характера, поэтому в таких случаях используют различные варианты приближенных формул, основанных на предельных теоремах Пуассона и Муавра — Лапласа. А. Приближенная формула Пуассона используется в том случае, когда число испытаний и велико, а вероятность успеха в отдельном испытании мала (р < 0,1) и при этом пр невелико (ир < 1О).
рЬ Теорема Пуассона. Пусть и -+ о, р -+ О, пр е А = сопел Тогда Р„(т) — — е л т! Дотсазатевьство. По формуле Бернулли, после умножения числителя и знаменателя на и и некоторых преобразований, получаем Р( ) — С вЂ” (1 — ) т! и(и — 1)...(и — т+1)и ир „ вЂ” т!и (1 — р) и 1 (1--)...(1- — ) и и ир я 1 Л -я (ир)"(1 — — ) — — е, и- оо, р- О. т! и (1 — р) т! Поскольку при больших и верно ир = )с, то можно считать, А Е' что Л = пр.
Предельные вероятности Р„(т) =, называются пуассоновскими. Формула Пуассона выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (и велико) н редких (р мало) явлений. Отсюда название закона Пуассона — закон редких явлений. Закон Пуассона широко применяют в теории информации, в теории массового обслуживания при изучении потока событий. То глава «й) В силу определенной «симметричности» понятий «успех» и «неудача» приближенная формула Пуассона может использоваться в схеме независимых испытаний Бернулли при больших и также и в случае, когда р близко к единице, т.е.
при 9 < 0,1 ила< 10: Р„(и — т) = С„" р" "а" = С„р" д" т — е ', Л=ау. Х т! Задача 7. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно три бракованные детали? Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей? Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р = 0,005. Применяя пуассоновское приближение с Х = ир = 5, получаем: 5' 1)Р, (3)= — е', 2) Р„(т>3) =1 — Р, (т < 3) =1 — 1Р, (0)+Р, „(1)+Р, (2)1= г 5» = 1 — 2 ' — е ', и по табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
