Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 14
Текст из файла (страница 14)
вг ЧАСТЬ С Теория вероятностей вероятности для соответствующих значений случайной величины»: Р(» = 0) = Р(со, ) = Ц 4; Р(»= 1) = РТТо1,со,) = Ц4+ Ц4 = Ц 2; Р(» = 2) = Р(со ) = Ц4. Полученные вероятности можно свести в следующую таблицу (в первой строке перечислены значения случайной величины, а во второй — их вероятности). Такая таблица уже не содержит информацию о том„на каком вероятностном пространстве определена случайная величина, в ней приведены лишь значения случайной величины (в первой строке) и их вероятности (во второй строке).
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Простейшей формой закона распределения дискретной случайной величины является ряд распределения. Рядом распределения дискретной случайной величины» называется следующая таблица, в которой перечислены все возможные значения х, х„..., х„этой случайной величины и соответствующие им вероятности р, = Р(» = х,).
При этом ) р,.=1. Если множество значений случайной (=1 величины счетно, то эта таблица является бесконечной справа, а суммой вероятностей является ряд ~~ Р,. =1. не Задача Х. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется под- Глава з 4в ходящий.
Построить закон распределения для случайной величины à — числа опробованных ключей. Решение. Число опробованных ключей может равняться 1, 2 или 3. Если испытали только один ключ„это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, Р(~ = 1) = 1/3. Далее, если опробованных ключей было 2, т.е. 8, = 2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй — подошел.
Вероятность этого события равна 2/3 х 1/2 = 1/3, т.е. Р(с = 2) = 1/3. Аналогично вычисляется вероятность Р(Г = 2) = 1/3. В результате получается следующий ряд распределения случайной величины. 5 б.з. Функция распределения Функцией распределения случайной величины С называется функция Р'„(х), определенная для любого действительного х и выражающая вероятность того, что случайная величина Г примет значение, меньшее ж Р,(х) = Р(Г, < х).
Функция распределения обладает следующими свойствами: 1. Для любого х е Я справедливо неравенство О < Р,(х) < 1. 2. Функция распределения является неубывающей функцией, т.е. если х, ~ х„то Р,(х,) ~ Р,(х,). 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала 1х„х,), равна разности значений функции распределения на концах интервала, т.е. Р(х, < Р <х,) = = Р'(х,) — Р(х,). 4.
Справедливо равенство: Р(8 > х) = 1 — Р,(х). 5. Справедливы следующие предельные соотношения: !пп Р (х) = О, 1пп Р (х) =1. 6. Функция распределения непрерывна слева, т.е. 1пп Р'(х) = = Р,(а). 83 ЧАСТЬ С Теория вероятиопей Доказательство. 1) Очевидно, поскольку это вероятность события. 2) Представим событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение, меньшее х„в виде суммы несовместных событий (ек «(то) < х,) = (ек «(от) < х,) ст (ек х, ~ «(то) < х,). По теореме сложения для несовместных событий: Г(х,) = = Р(«(то) < х,) = Р(«(от) < х,) + Р(х, < «(от) < х,) = У(х,) + + Р(х, ~ «(то) < х,), и так как вероятность Р(х, ~ «(то) < х,) > О, то получаем неравенство Г„(х,) > Р,(х,).
3) Свойство вытекает из равенства Г,(х,) = Е,(х,) + Р(х, < «(от) < х,). 4) Событие (рк «(ет) > х) является противоположным событию (ек «(то) < х) и, следовательно, Р(«> х) = 1 — Р(«< х) = = 1 — Г,(х). 5) Рассмотрим убывающую последовательность а„-е — о и множества А„= (ек «(от) < а„). Они удовлетворяют условиям аксиомы непрерывности (см. 8 3.7)„так что Р(а„) = Р(А) -е О, и -е о. Для возрастающей последовательностй а„-в + о и множеств А„= (ек «(от) > а„) получаем Р,(а ) = 1 — Р(А ) -+ 1, п -в ео. 6) Рассмотрим возрастающую последовательность а„< а, а„-е а и множества А„= (ек а„< «(от) < а).
Они удовлетворяют условиям аксиомы нейрерывности, и поскольку Р,(а) = Р,(а„) + + Р(А„), то Г(а„) = Г(а) — Р(А„) -е Г(а), и -е о. Таким образом, каждая функция распределения является неубывающей, непрерывной слева и удовлетворяющей условиям Г( — о) = 0 и Г(+ о) = 1 функцией. Верно и обратное: каждая функция, удовлетворяющая перечисленным условиям, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины. Функция распределения является универсальным законом распределения случайной величины.
Все ее свойства остаются верными и когда пространство элементарных событий не является дискретным. Функция распределения любой дискретной величины разрывна, возрастает скачками при тех значениях х„которые являются возможными значениями «. Величина скачка функции Г(х) в точке х,, равна ри 84 Глава 5 Ел Задача 2. Построить функцию распределения Р,(х) для случайной величины «из задачи 5.1. Решение. Случайная величина «имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всю числовую ось на четыре промежутка: ( — ла, Г1, (1, 21, (2, 31, (3, +лл). Если х < 1, то неравенство «< х невозможно (левее х нет значений случайной величины «) и значит, для такого х функция Р,(х) = О. Если 1 < х ~ 2, то неравенство «< х возможно только если « = 1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких х функция распределения Р;(х) = 1/3. Если 2 < х < 3, неравенство «< х означает, что или « = 1, или « = 2, поэтому в этом случае вероятность Р(«< х) = Р(» = 1) + + Р(« = 2) = 2/З„т.е.
Р(х) = 2/3. И наконец, в случае х > 3 неравенство «< х выполняется для всех значений случайной величины «, поэтому Р(» < х) = = Р(« = 1) + Р(« = 2) + Р(« = 3) = 1„т.е. Р(х) = 1. Итак, мы получили следующую функцию: О, х<1, !/3, ! <х<2, 2/3, 2<х<3, 1, х>3. р(х) = 5 ч.З.
Случайный вектор в дискретном вероятностном пространстве 85 Пусть на дискретном вероятностном пространстве а2 задано несколько случайных величин «,(а), «,(а), ..., «„(а), где в е Й. Такой упорядоченный набор называется мноюмерным случайным вектором, или и-мерной случайной величиной, и обозначается»(а) = («„»,, — »„) Рассмотрим случай и = 2, т.е. когда на дискретном пространстве элементарных исходов заданы две случайные величины» и Ч, принимающие значения х,.
(! = 1, 2, ...) и у (/ = 1, 2, ...) соответственно. Упорядоченная пара («, П) называется двумерным случайным вектором, или двумерной случайной величиной. Сами величины «и и называются в этом случае составляющими (комнонентами) случайного вектора. ЧАСТЫ. Теория вероятностей Геометрически совокупность двух случайных величин можно рассматривать как случайную точку с координатами (с, т)) на плоскости ЛОГ или как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (8, т)), составляющие которого случайные величины г, и т).
Совокупность трех случайных величин изображается случайной точкой или случайным вектором в трехмерном пространстве, совокупность и случайных величин — случайной точкой или случайным вектором в пространстве и измерений. Любое соотношение между возможными значениями случайного вектора и их вероятностями называется совместным законам распределения. Совместный закон распределения вероятностей дискретных величин ~ и тТ задается набором вероятностей р» одновременного осуществления событий Ц = х,.» и (тТ = у.», т.е. ре =Р»с,=хат) =у,~, и представляется в виде таблицы. Первый столбец таблицы содержит все возможные значения составляющей г, а первая строка — все возможные значения составляющей т).
В соответствующей клетке таблицы указана вероятность того, что двумерная случайная величина приняла значение (х„у). Поскольку события ~ = хя т) = у» образуют полную группу событий, сумма вероятностей, помещенных во всех клеткахтаблицы, равнаединице:,) ~~ Р(4=х,,п=у )=х ~~х ре =1. ! / / / Такая таблица называется рядом распределения вектора (», Ч).
Вероятность события типа ((с„т)) е В» — «случайная точка (с, тт) попадает в область  — вычисляется по формуле Р((4,т)) е В) = ) Р(4 =х,, т) =ут), где суммирование происходит <*„тд«я 86 глава з ф по всем возможным парам (хл у) значений случайных величин Г и и, для которых случайная точка (х„у.) входит в область В. Частным законом распределения случайной величины с называется набор вероятностей событий (с = х,). Если задан совместный закон распределения, то частный закон распределения для ~ можно получить с помощью формулы р (х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
