Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 18
Текст из файла (страница 18)
зо. ОТК должен проверить тоо комплектов, сопоящих из а изделий каждый. Найти математическое ожидание числа комплектов, состоящих из стандартных деталей, если каждая деталь может быть стандартной с вероятностью о,8. зь Игральная копь подбрасывается до: а) второго; б) третьего появления грани с номером Э. Найти среднее число подбрасываний. эз.
Найти математическое ожидание и дисперсию суммы выпавших очков при бросании а игральных костей. эЭ. В шестиламповом приемнике перегорела одна лампа. Лампы проверяют одну за другой, пока не найдут неисправную. Найти математическое ожидание и дисперсию числа проверенных ламп. з». Стрелок стреляет по движущейся мишени до первого попадания в нее, причем успевает сделать не более а выстрелов. Найти математическое ожидание и дисперсию числа сделанных выстрелов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна о,б. з5.
8 каждой упаковке товара имеется одна из 5 различных наклеек (равновероятно). Сколько в среднем упаковок понадобится купить, чтобы собрать их все? зб. Курс акции в течение дня может подняться или опуститься на один пункт либо остаться неизменным (все три варианта равновероятны). Найти распределение изменения курса акции эа г дня. др ЧАСТЬ С Теория вероятиоаей гу. В телеигре игроку задают вопросы. Если игрок правильно отвечает на вопрос, ему задают следующий; если неправильно, то игрок выбывает из игры. Всего задается не более трех вопросов. Вероятность ответить на первый вопрос равна о,д; на второй— о,З; на третий — од.
Найти: а) распределение числа правильных ответов; б) математическое ожидание выигрыша, если за один правильный ответ платят тоо руб., за два — лоо руб. и за грив топо руб. з8. 8 офисе проводится собеседование с гт кандидатами на некоторую должность (по очереди). Если подходящий человек найден (принято решение о приеме его на работу), то с оставшимися кандидатами собеседование не проводится. Вероятность того, что кандидат подходит, равна о,г. Найти распределение числа кандидатов, с которыми беседовали, н его математическое ожидание. зд.
В экзаменационном билете три задачи. Вероятность правильного решения студентом первой задачи равна о,8, второй — о,у и третьей — о,э. Построить закон распределения для числа правильно решенных задач и найти его математическое ожидание. Зо. В игровом автомате три окошка, в которых случайным образом появляются цифры от о до д независимо одна от другой. Если две цифры совпали, игрок получает то руб., если все три — тоо руб. Чтобы начать игру, он платит ч руб. Найти математическое ожидание выигрыша игрока. Зм Бросают две копи.
Пусть ~, и ń— число очков на т-й и г-й кости соответственно, а П вЂ” максимальное из двух выпавших чисел: П = гпах Цт, Сг]. Найти совместное распределение Е, и П. Зз. Совместный закон распределения пары Ц, П) задан таблицей. Найти распределение вероятностей случайной величины С вЂ” П и вычислить соусе, + П, Ц вЂ” П). Исследовать вопрос о зависимости случайных величин Е, и П. ео8 Глава З Е ЗЗ. Совместный закон распределения пары тс, ц) задан таблицей.
Найти закон распределения вероятностей случайной величины ф) и вычислить сот(зс — Зп, Ц + зц). Исследовать вопрос о зависимости случайных величин ф и и. За. Совместный закон распределения пары фс, и) задан таблицей. Найти закон распределения вероятностей случайной величины Г + и и вычислить соу(зц + С, и + 9. Исследовать вопрос о зависимости случайных величин С и П. Зч. Совместный закон распределения пары К, и) задан таблицей.
Найти закон распределения вероятностей случайной величины Ц + ц и вычислить сот К вЂ” и, гС+ ц). Исследовать вопрос о зависимости случайных величин 4 и и. ф ЧАСТЬ С Теория вероятностей Зб. Совместный закон распределения пары К, т)) задан таблицей. Найти закон распределения вероятностей случайной величины »т) и вычислить соч(г» + П, З» — ц). Исследовать вопрос о зависимости случайных величин» и т). Зу. Закон распределения случайной величины» имеет вид: Найти функцию распределения случайной величины», вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность Р(-т <» < З/г).
ЗВ. Закон распределения случайной величины » имеет вид: Найти функцию распределения случайной величины », вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность Р<ч/г < » < З]. Зд. Закон распределения случайной величины » имеет вид: Найти функцию распределения случайной величины », вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность Р(т/г < » < 7/г).
тто Глава з ф ло. Закон распределения случайной величины с имеет вид: Найти функцию распределения случайной величины с, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Вычислить вероятность Р(-З/г < б, < г]. аь Случайные приращения цен акций двух компаний за день г, и и имеют совместное распределение, заданное таблицей. Найти коэффициент корреляции. аг. Случайные приращения цен акций двух компаний за день С и П имеют совмепное распределение, заданное таблицей. Найти коэффициент корреляции. ЛЗ.
Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии 0» = цгт и 0ц = г,бб, а коэффициент их корреляции р о,З. Найти дисперсию приращения цены портфеля из: а) а акций первой компании и б акций второй компании; б) 7 акций первой компании и З акций второй компании; в) д акций первой компании и т акции второй компании. «а. Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии 0С = г и 0П = З, причем они некоррелированы. Инвестор намеревается приобрести то акций. Сколько акций каждой компании он должен купить, чтобы минимизировать риск вложений,т.е.
дисперсию приращения цены портфеля? 111 ф ЧАСТЫ. Теория вероятностей 4ч. Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии 0С = т и 0П З, причем они некоррелированы. Инвестор намеревается приобрести тз акций. Сколько акций каждой компании он должен купить, чтобы минимизировать риск вложений? «6.
По таблице совместного распределения из задачи Ззг а) найти условное распределение с при условии и о; 6) найти условное распределение Ч при условии С = о; в) функцию регрессии С по гр г) функцию регрессии Ч по С. 4у. По таблице совместного распределения из задачи ЗЗ: а) найти условное распределение с при условии и -м 6) найти условное распределение П при условии С = гн в) функцию регрессии С по тр г) функцию регрессии П по с. 48. По таблице совместного распределения из задачи З4: а) найти условное распределение с при условии и гн 6) найти условное распределение и при условии С = -м в) функцию регрессии С по тр г) функцию регрессии П по С.
4д. При условиях задачи Зт найти: а) условное распределение и условное математическое ожидание Р при условии П = 4; 6) условное распределение и условное математическое ожидание П при условии Р„= з. бо. Две независимые слУчайные величины С, и гн имеют РаспРеДеления Пуассона с параметрами Х, и я., соответственно. Найти условное распределение С, при условии, что т) = гч + С, и, и > о, и функцию регрессии гн по П.
ГЛАВА 6 НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ $ б.а. Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины Случайная величина г, называется непрерывной, если ее функция распределения Р(х) = Р(С < х) непрерывна. Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежупж (конечный или бесконечный). Функция распределения непрерывной случайной величины обладает теми же основными свойствами, что и в дискретном случае (5 5.2).
Случайная величина С называется абсолютно непрерывной, если существует неотрицательная функция р,(х) такая, что при любых х функцию распределения Р,(х) можно представить в виде интеграла Л Р(х)=Р(~(к)= ~ р,(г)й. Функция р (х) называется плотностью распределения. Имеют место следующие свойства р,(х): 1. р,(х) ~ О. 2. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: р (х) = Р (х). 3.
Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределения равен единице: ~ р,(хИх =1. мз ф ЧАСТЬ Ь Теория вероятиопей 4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, так как определяет вероятность попадания случайной величины на любой полуинтервал (а, Ь): Р((.е[а,Ь)7=Р(а<(,<ЬГ=Ре(Ь) — Р(а)= ~ ре(тФ. а 5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение а, равна нулю: Р(~ = а) = О.
Поэтому справедливы следующие равенства: Р(а < ~ < Ьт7= Р(а < е < Ь) = Р(а < ~ < ЬтГ= Р(а < е < Ьт~= Р (Ь) — Ре(а) . Доказаялельство. 1) Следует из определения. 2) Следует из взаимосвязи между производной и интегралом. 3) ~ре(х)йл= 1пп ~ре(х)т(х= 1пп Р(х)=1. 4) Используем формулу Ньютона — Лейбница. 5) Представим событие А = (то: Ь(то) = а) в виде произведения П (а ~ с < а + 1/л) и воспользуемся аксиомой непрерыви=! ности 6 3.7), тогда ! ае— Р(А) = Р(~ = а) = 1пп Р(а <г, < а + 1/л) = 1пп ~ р (х)рх = О. я Заметим, что плотность может быть разрывна в некоторых точках, где ее можно определить произвольным образом: это никак не повлияет на функцию распределения и другие числовые характеристики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
