Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В частности, Мт,= ~ 1 хр „(х,у)2хт(у; + .к Мтг = ~ ~ урь„(х,у)гйсИу; Щт) = ~ ~ курс „(х, у)дхду. Задачи 4. В условиях предыдущей задачи вычислить Лтгт). Решение. Согласно указанной выше формуле имеем о Ю.~-О М(д = ~ ~ хур „(х, у)с(хт(у = Дху+йи1у. Представив треугольник Ь в виде гх=((х,у):0<х<2;0<у<2 — х), двойной интеграл можно вычислить как повторный: г г- г г~г" Л 2 21 Т 21 2~ Ь о о о о г =- у х(2-х) с(х=-. )г г ) 4l 3 Важную роль в приложениях играет двумерное нормальное распределение.
Пусть т), и т), — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение 142 глава г (й Тогда двумерная случайная величина и = (п„п,) имеет станлартное двумерное нормальное распределение. Его совместная плотность р(х„х,) = — ехр "1 + х~ о -Ределению случайная величина ~ = (~о,,)...„., мерное нормальное распределение, если ее можно представить в виде ~=а+Вч, где а = (а„а,) — вектор математических ожиданий,  — не- которая матрица. В случае, когда коэффициент корреляции р = р(~„~,) от личен по модулю от единицы, распределение имеет двумерную нормальную плотностгя 1 р(х„х,) = х 2но,о,~/1- р' 1 ((х, — а)' (х, — а)(х, — а,) (х, — а,)' 2(1 — р') ~ о,' о1аз о,' При этом составляющие имеют нормальные распределения: 4, е Ф(а„о, ), ~, Е Ф(а„о, ) .
Двумерное нормальное распределение обладает рядом полезных свойств, например: 1) если р = О, то ~, и ~, независимы; 2) любая линейная комбинация сД, + сД имеет нормальное распределение; 3) условные распределения каждой составляющей по другой также нормальны; 4) функции регрессии составляющих линейны. Поэтому на практике если исследуется пара случайных величин, каждая из которых имеет нормальное распределение, то можно предположить, что их совместное распределение является двумерным нормальным распределением. 143 ВВ ЧАСТЫ. Теория вероятностей 9 у.З. Плотность суммы двух непрерывных случайных величин Пусть 4 и Ч вЂ” независимые случайные величины с плотностями р,(х) и р„(у).
Плотность случайной величины ~ + т) вычисляется по формуле свертки СО р „(х)= ~ р (х-у)р„(у)т(у. Доказательслтео. Используем представление совместной функции рспределения через двойной интеграл: г;,„(С) = Р(4+ т) < 4 = Д р,„(х,у)т(хт(у, о, где множество Ю = ((х, у): х + у < с) (рис. 7.2). Рис. у.г Переходя от двойного интеграла к повторному, получаем и далее, дифференцируя под знаком интеграла, +С Рте (с) — Р~~~(7) ~ Р~„(Г,У,,У)т(У. Поскольку величины 4 и т) независимы, р,„(х,у) = р,(х)р„(у).
тее Глава у 4в Подставляя последнее равенство в полученное выражение ля плотности суммы, приходим к формуле свертки (с точностью до обозначения аргумента) ро+.Ю= З ро(~-у)р,(у)уу разумеется, в силу симметрии справедлива также формула Ро+.(У)=3ро(х)Ро(у «)«х. Задача 5. Пусть ~ и и — независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром Л = 2.
Вычислить плотность суммы 4 + о). Решение. Поскольку г, и ч распределены по показательному закону с параметром Л = 2, их плотности равны 2е ™ х>0 р (х)=р (х)= '(О, х<0. Следовательно, 2е "" "', х>у, р (х-у)= О, х < у. Поэтому Роо„(х)= ~ ро(х — У)Р„(УМУ= ~ Р,(х — У) 2е "ооу.
Если (х — у) < О, то в этой формуле аргумент функции р,(х — у) отрицателен, и поэтому р,(х — у) = О. Следовательно, Р„„(х) = О. Если же (х — у) > О, то имеем х р ,(х)= ~ р (х — у) 2е "ау = ~ 2е "" "' 2е "о(у = о о М У 4 ~ е-к -и е-орау 4е-г ~'Цу 4 о о Таким образом, получен ответ: ~0, х< 0, (4«е '", х>0. о4о аа ЧАСТЬ С Теория вероятиопей 5 уй). Условные распределения и условные математические ожидания (непрерывный случай) Пусть на одном и том же пространстве элементарных исходов й заданы две случайные величины Р, и Ч.
Условным законом распределения случайной величины с при условии Ч = у (так же как и для дискретных случайных величин), называется любое соотношение, ставящее в соответствие значениям случайной величины С условные вероятности их принятия при условии Ч = у. В общем случае условную функцию распределения случайной величины с при ч = у также естественно было бы определить формулой РК<х,ч=у) Рс„(х ~ у) = Р(ч=у) Однако это невозможно, поскольку для непрерывной случайной величины Р(ч = у) = О. Поэтому вместо события (ч = у) рассматривают событие (у < т) < у + оу) и переходят к пределу по Лу -е О.
Таким образом, получаем формулу Р(е,<х,у<ч<у+тху) Р,(х у) Ра„(х ~ у) = йш о -е Р(у<Ч<у+ГХу) р (у) Наиболее важен для приложений случай, когда вектор (С„Ч) представляет собой двумерную непрерывную случайную величину с совместной плотностью распределения р, (х, у). Тогда Ря„(х~у)= / " р (х,у) „ р,(у) Тогда условная функция распределения имеет производную по х, т.е.
сушествует условная плотность распределения ~ при условии Ч = у, равная др',„(х 1 у) р „(х,у) ря„(х ( у) = дх р„(у) Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле М®Ч=у)= ~ хря„(х~у)дх= ~ х ье дх р„(у) т46 Глава 7 и называется функцией регрессии г, по и. Ее„(у) = дУ(М Ч = у), функция регрессии определена на области возможных значений Ч при Р„(У)>0 ° Задача 6. Двумерный случайный вектор (г„п) равномерно распределен внутри треугольника Ь = 1(х,у): х > О, у > О, х+ у < 2).
Найти условное распределение г, при о = у и функцию регрессии еел(у). Решение. Как уже было показано (см. задачи 2 и 3), О, ук(0;2), 2 — у — у е(0; 2). О, (х;у)фЬ, р,„(х,у)= 1 и р„(х)= (х;у)н з Поделив первую плотность на вторую, получаем условную плотность: х е (О; 2 — у) О, 1 »б(0;2 — у). 2-у Ра„(»! У) = Таким образом, речь идет о равномерном распределении на промежупсе (О, 2 — у). Функцию регрессии вычисляем как математическое ожидание равномерного распределения. Получаем е„(у) =(2 — у)/2,0<у< 2. Задача 7. Точку бросают случайным образом в круг радиуса Я с центром в начале координат. Найти условную плотность распределения случайной величины г, — абсциссы точки падения — при условии, что ордината Ч приняла значение у.
«««« / р (х, у)~йЫу = Я Ав(ха(у = яАЯ'= 1. н «р ел~ 1ат Решение. Естественно, поскольку точка не может попасть за пределы круга, то р, (х, у) = О при х'+ у' > Ж Для каждой области внутри круга вероятность попадания пропорциональна плошади этой области. Поэтому р, „(х, у) = А при х'+ у'< Я', т.е. плотность внутри круга постоянна. Определим константу А: Еи ЧАСТЬ Ь Теория вероятностей Отсюда А = 1/(яЯ') и плотность совместного распределе- ния О, х'+ у' > М'„ ~~г ' О, )х! > ~/Я' — у', — „~~) <,/Ф вЂ” у'; Рс„(х у)= Р„(У) = и при ~у! < Я получаем условную плотность О, ~х~ > т/Я' — у~, , )х! (,/Я' — у'.
2т/тет — у' ре„(х)у)= В заключение отметим, что в таком важном для приложений случае, когда случайная пара 4 = (~„4,) имеет двумерное нормальное распределение 1 р(х„х,) = х гяо,о„/! — р' -1 -( функции регрессии оказываются линейными и имеют вид: тр„я(х,)=а,+р — '(х, — а,); <р,~ (х,)=а, +р — '(х,— а,), ! 2 что также можно вывести из представленных формул. тйа Таким образом, случайная величина ~ при условии т) = у равномерно распределена на отрезке ( — т/Я' — у', +т/Ф вЂ” у']. Ее условное математическое ожидание тождественно равно нулю.
Интересно отметить, что условная плотность распределения случайной величины ~ при условии т) = у равномерна, в то время как безусловная плотность 8 таковой не является. И в этом примере случайные величины 8 и т) зависимы между собой. Глава т Задачи для самостоятельного решения Теоретические задачи ь Найти плотности распределения: а) суммы; б) разности; в) произведения; г) частного двух независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение на [о; а].
з. Случайные величины гь и гь независимы и имеют нормальные распределения с параметрами ан <г,* и ан о, 'соответственно. Доказать, что гч+ Р имеет нормальное распределение, и найти его параметры. З. Показать, что если г, имеет непрерывную функцию распределения Ях) = РК с х), то случайная величина и Яг) имеет равномерное распределение на отрезке [о, т]. Вычислительные задачи а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
