Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Можно считать, что множество значений случайной величины совпадает с промежутком, на котором плотность распределения отлична от нуля. График плотности распределения называют кривой раслреоеления. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, как следует из свойства 3, равна единице. Тогда значение функции распределения Р,(х) в точке х, геометрически есть 114 Глава 6 площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х, (рис. 6.1). Рис. 6.в Задача 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид: [О, хф[0,2[, [Сх' х е [О, 2[. Определить константу С, построить функцию распределения Г,(х) и вычислить вероятность Р( — 1 < 4 < 1). Реаение.
Константа С находится из условия / р,(х)лХ» =1. В результате имеем 8С 1=[ р,(х)л(х= ~Сх'их=С вЂ” = —, откуда С= 3/8. в в Чтобы построить функцию распределения У;(х), отметим, что интервал [О, 2[ делит область значений аргумента х (числовую ось) на три части: ( — вв, 0), [О, 2[, (2, вв). Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когда х < 0) вероятность события [г, < х) вычисляется как ЧАСТЬ С Теория вероятностей так как плотность 4 на полуоси (-оо, 0) равна нулю. Во втором случае .т о 3" з Рс(х)= ~Р ЯЙ= ) р Яз(г+) р(г)т/(=0+ — ~г с(т= —. -СО о о Наконец, в последнем случае, когда х > 2, к о 2 3 3 Р;(х)= ~ Р,(Т)с/Г= ~ Р,(Г)т/Т+ ~Р,(Т)ЙГ+ ~Р ЯЙ=О+ — /Г'сГГ= о з а = 0+1+0 = 1, так как плотность р,(х) обращается в нуль на полуоси (2, о ).
Итак, получена функция распределения О, х<О, х' — 0<х<2, 8 1, х)2. Рс(х) = Следовательно, Р) — 1<1 <1~= Г(1) — Р( — 1) =1/8 — 0=1/8. $ б.а. Числовые характеристики непрерывной случайной величины При этом интеграл, стоящий справа, должен абсолютно сходиться. Пусть С имеет плотность р(х) и ет(х) — некоторая функция. Математическое ожидание случайной величины тр(С) можно вычислить по формуле ) Мчт(Р) = ~ зр(х)р(х)зтх, если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.
мб Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле Мс.= ~ хр (х)стх. Глава 6 ,((исперсия непрерывной случайной величины Г вычисляется по формуле Ю Щ= / (х — Щ) р(х)о(х, а также, как и в дискретном случае, по формуле ٠— Що (8У~)о где Що — ( хо р(х)о(х Все свойства математического ожидания и дисперсии, ковариации и козффициента корреляции, приведенные в гл. 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин. Задана 2. Для случайной величины Г из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию. Решение.
о Зг 3 хо~ 3 Щ= ~ хр (х)дх= ~ х Одх+-~ х х дх+~ х Одх = — ' 8 о о Далее о 51 11го =~~к р(х)е(х= — (~х х о(х=- ~ = —, и значит, о го Зг,, Зх 12 8г 8 51о 5 а,=щ -(М() = — -~-~ =О,15. 12 (31 5 12~ В качестве других характеристик, описывающих свойства распределения случайной величины, используются начальные и центральные моменты. Начальным моментаи й-го порядка называется математическое ожидание к-й степени случайной величины, что обозначается а„= М~о. Очевидно, что МГ, = аг Центральным манентаи (о-го порядка ио называют математическое ожидание (с-й степени отклонения случайной величины от ее математического ожидания: и„= М(~ — МГ)о.
Из определения следует, что и, = М(4 — МГ)' = Л~. м7 ЧАСТЫ. Теория вероятностей Справедливы формулы: но 1 н, = О; р,= ат — а'; р, = а, — Заа,+ 2а', н«а»+ ба'а, — 4аа, — За«, ... Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка равны нулю. Величина )3 = н,/о' называется коэффициентом асимметрии случайной велйчины ~. Он характеризует «скошенность» распределения по отношению к математическому ожиданию. Для симметричных распределений р, = О, поэтому коэффициент асимметрии равен нулю. Для распределений скошенных влево )) < О, для скошенных вправо )3 > О. Величину у,= н»lо' — 3 называют коэффициентом эксцесса (или просто эксцессом) случайной величины 8.
Он характеризует «сглаженность», или «крутость» распределения по отношению к нормальному, так как для нормального закона распределения н4/о» = 3 и, следовательно, у, = О. Для более островершинных распределений у,> О, для менее островершинных у, < 0 (рис. 6.2).
р(х) р(х) Рис. б.а Кроме начальных и центральных моментов на практике применяются так называемые абсолютные моменты, определяемые формулами а'„= М! 41„, Н'„= М1ф — МЦ!е ма Глава з Очевидно, что абсолютные моменты четного порядка совпадают с обычными моментами. Чаше других применяется )-й абсолютный момент и', = И~ с — ЛЦ1, называемый средним абсолютным отклонением. Для непрерывной величины модой Х называют точку локального максимума функции плотностй распределения вероятностей. Если имеется один максимум, то распределение называется унимодальным, более одного максимума — мульти- модальным (в частности, распределение, имеющее две моды, называется бимодальным). Распределение, имеющее минимум плотности, называется антииодальным.
Медианой непрерывной случайной величины ~ называют такое Х, что РЦ < Х,) = Р(4 > Х ) = 1/2. Геометрически медиана — это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (рис. 6.3). Рис. б.з Математическое ожидание, мода, медиана, начальные и центральные моменты являются основными числовыми характеристиками случайной величины.
На практике числовыми характеристиками часто пользуются для приближенной замены одного закона распределения другим, но так, чтобы сохранились неизменными несколько важнейших моментов. % 6.З. Производящая функция моментов Производящей функцией моментов случайной величины ~ называется функция параметра г, равная математическому ожиданию т(г) = Меч. Наиболее важным ее свойством является 119 ЧАСТЬ !. Теория вероятностей (» » » 6 ат,(()=Мехр~~ (»,)=МПехр((»,)=ПМехр((»,)=Па>„((). >=! ! ! 1=! ! ! По производящей функции можно определить функцию распределения, содержащую все сведения о случайной величине. В этом смысле производящая функция и функция распределения являются эквивалентными обобщающими характерисппсами случайной величины.
К сожалению, производящая функция моментов может быть определена не при всех значениях параметра (или вообще определена только в нуле). 5 б.е). Примеры непрерывных случайных величин Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина» имеет равномерное распределение на отрезке [а, Ь[, если плотность распределения р„(х) сохраняет постоянное значение на этом промежутке: р (х)= — хе[а, Ь[, 1 Ь вЂ” а О, хк[а,Ь[.
График плотности равномерного распределения показан на рис. 6.4. тао то, что производящая функция т,(() содержит в себе сведения обо всех начальных моментах (»производит» моменты). Действительно, и,'(0) = М»ее[!„, = Мс = а„и вообще для любого /с получаем т,!'>(О) = М»"ее[, е = а„, т.е. (с-я производная от производящей функции при (= 0 равна начальному моменту Iс-го порядка, а любой центральный момент можно выразить через начальные моменты. Свойства производящей функции следующие: 1.
т, (() = Мея'~ "> = и (с()е". 2. Производящая функция суммы независимых случайных величин равна произведению производящих функций этих величин. Действительно, пусть»=~ »„тогда ! ! Глеее 6 Рис. б.ф Функция распределения Г,(х) равномерно распределенной случайной величины имеет вид О, х<а, х — а а<х<Ь, Ь вЂ” а 1, х>Ь; Г(х) = математическое ожидание и дисперсия — соответственно: а+Ь (Ь вЂ” а)' 2 12 В силу симметричности равномерного распределения отно- сительно математического ожидания асимметрия равна нулю, Х = МЧ„а моду равномерное распределение не имеет.
Для определения эксцесса вычислим четвертый централь- 1 г Ь+а„ (Ь вЂ” а)' алый момент: в4 = — ) (х — — ) лХ» = . Отсюда эксцесс Ь вЂ” а~ 2 80 цц равен т — — ~~4 — 3 = -1,2. Вероятность попадания случайной величины с на отрезок с — Ы )с 4 ~ (а, Ь) равна Р(с < ~ < а) = Г(а) — Г(с) = —, т.е. завиЬ вЂ” а сит только от длины отрезка и не зависит от того, где этот от- ЧАСТЬ 1.
Теория еероятиостей ~Ле ~, х>0, 10, х< 0. Функция показательного распределения имеет вид 11 — е ~, х>0, 10, х< 0. Графики плотности и функции стандартного показательного распределения представлены на рис. 6.5 (при Л = 1), общий вид — на рис. 6.6. Плотность показательного распределения р (х) Функция показательного распрелеления Р;(х) 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 х 0,0 0,5 1,0 1„5 2,0 2,5 х Рис. 6.5 тгг резок расположен.
Таким образом, равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок (а, Ь1. Показательное (эксноненцнальное) распределение. Непрерывная случайная величина с, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром Л > О, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна Глава 6 Рис. 6.6 Математическое ожидание и дисперсия равны 1 1 Мг,= —, 2Ц= —. Действительно, имеем - ~ ~е ч)~ 1 о 1 )' Л~ = ~ ие "'а = ~ Л1 = ~, а = Ао!1 ! = о = — (-~е'! + ~ е'д~) = 1 о о оаз 1 11г, ! 2Ц = Мч' — (Мо)'= ~ (оХе "й — — = — / ~'е ч)~ — — = 1о - о./ о о 1 1 1 = 2 — — — = —.
1' Л' 6 Можно показать также, что р, = —,, асимметрия (1,= 2, 1 эксцесс т,= 6, Х = О, Х = -1п2. Производящая функция моментов показательного распределения описывается формуз. лой лЬ(г)= — при г < ) (в противном случае производящей функции не существует). Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывная случайная величина называется распределенной по норлоальному закону с параметрами а и а', если ее плотность распределения о-а) р(х) — е и о /2я Множество случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами а и о', обозначается через т О-а!т Р( )= — 1е ' й о~/2п ' Графики плотности и функции стандартного нормального распределения представлены на рис. 6.7, в общем случае — на рис.
6.8. Плотносп нормального распределения р (х) Фуняпня нормального распределения г" (х) 0,4 0,8 0,3 0,6 0,2 0,4 0,1 0,2 0,0 -3 -2 -1 0 ! 0,0 2 х -3 -2 -1 0 ' 1 2 х Рнс. б.т Рнс. б.а га4 )т(а„о'). В частном случае, когда а = 0 и о' = 1, нормальное распределение называется стандартным, и класс таких случайных величин обозначается )т(0, 1). Функция распределения нормально распределенной случайной величины Глава 6 Параметры нормального распределения суть математическое ожидание Ме, = а и дисперсия Юг, = о'. Плотность нормального распределения симметрична относительно х = а, поэтому Х, = Х = Ме, = а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
