Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Используя полученные в решении задачи 3 частные законы распределения, получаем М(.= — 1х1/4+Ох1/4+1х1/2=1/4; Мп=!х!/4+2х3/4=7/4; и значит, сот(б„ч) = М(~Ч) — Щ. МП = 7 /16 — ! /4 х 7/4 = О, чего и следовало ожидать вследствие независимости случайных величин. юо Глава з аа Задача 7. Случайный вектор (», и) принимает значения (О 0), (1, 0), ( — 1, 0), (О, 1) и (О, — 1) равновероятно (рис. 5.4). вычислить ковариацию случайных величин Р, и и. Показать, что они зависимы. о Рис. За Решение.
Поскольку Р(г, = 0) = 3/5, Р(г, = 1) = 1/5, РЦ = — 1) = = 1/5; Р(11 = 0) = 3/5, Р(11 = 1) = 1/5, Р(П = -1) = 1/5, то М = 3/5 х 0 + 1/5 х 1 + 1/5 ( — 1) = 0 и Мп = 0; М(Рд) = 0 х 0 х 1/5 + 1 х 0 х 1/5 — 1 х 0 х 1/5 + 0 х 1 х 1/5— — 0 х 1 х 1/5 = О. Получаем сот(Ч, и) = М(Рд) — МЦМП = О, и случайные величины некоррелированы. Однако они зависимы. Пусть ~ = 1, тогда условная вероятность события (11 = 0) равна Р(т~ = 0 ~ Р, = 1) = 1 и не равна безусловной Р(п = 0) = 3/5, или вероятность совместного появления (Р, = О, 11 = 0) не равна произведению вероятностей: Р(~ = О, П = 0) = 1/5 ~ Р(е = 0)Р(п = 0) = 9/25.
Следовательно, с и и зависимы. Задача 8. Случайные приращения цен акций двух компаний за день г, и и имеют совместное распределение, заданное таблицей. Найти коэффициент корреляции. вов ф ЧАСТЬ С Теория вероятностей Решение. Премше всего вычислим Лгут) = 0,3 — О, 2 — 0,1 + + 0,4 = 0,4. Далее находим частные законы распределения Р, и ч Определяем ЛЦ = 0,5 — 0,5 = 0; Мч = О,б — 0,4 = 0,2; И, = 1; 2)п = 1 — 0,2' = 0,9б; сот(с, т)) = 0,4. Получаем 0,4 р = . '.— — = 0„408. Задача 9.
Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии як, = 1 и 2)т) = 2, а коэффициент их корреляции р = 0,7. Найти дисперсию приращения цены портфеля из 5 акций первой компании и 3 акций второй компании. Решение. Используя свойства дисперсии, ковариации и определение коэффициента корреляции, получаем 21(51.+Зт))=5'2)с,+3'2ТТТ+2х5хЗрт/Ят/стт1 = = 25х1+9х2+ЗОх0,7х1х /2=72,7. Замечание. Дисперсия приращений цены портфеля акций часто используется на практике как мера риска вложений: чем больше дисперсия, тем больше риск.
Поэтому оценка данной величины имеет важное значение для инвесторов. в 5.8. Условные распределения и условные математические ожидания (дискретный случай) Пусть на одном и том же про чранстве элементарных исходов й заданы две случайные величины С и т1. Условным законом Распределения случайной величины с при условии ТТ = у называется любое соотношение, ставящее в со- шз глаеа а ® ответствие значениям случайной величины с условные вероятности их принятия при условии П = у.
Рассмотрим здесь случай дискретных случайных величин с и и, принимающих значения х, (1 = 1, 2, ...) и у (/ = 1, 2, ...) соответственно. Тогда условное распределение 4 при условии Ч = у, ставит в соответствие значениям х, вероятности Рь(х, » у,.) = РК.= х, ~ и = уг) = Р((.=х„т~=у ) Р(ч= у,) При этом предполагается, что Р(п = у,) > О. Если случайные величины независимы, то их условные распределения совпадают с исходными, и значение одной величины не влияет на распределение другой.
Условной функцией распределения случайной величины с при условии и = у называется функция, ставящая в соответствие любому числу х условную вероятность события (с < х» при условии и = у. В дискретном случае получаем Р',(х(у.) = Р(6,<х)т~=у.) = РЦ<х,ч=у) 61 г Р(ч=у;) Условным математическим ожиданием случайной величины Р, при условии П = у называется математическое ожидание условного распределения с при условии и = у. В дискретном случае получаем М(Цо=у,) =~ х,ро (х, ~у ).
Аналогичным образом можно определить условную дисперсию и т.п. Функцией регрессии случайной величины с по П называется функция, ставящая в соответствие числу у условное математическое ожидание с при условии П = у. цо„(у) = М(Мп=у). Функция регрессии определена только на области возможных значений и. На практике обычно невозможно точно предсказать значение одной случайной величины на основе знания другой, однако можно сделать это «в среднем». Функция регрессии как раз и характеризует среднее значение одной (неизвестной) щз ЧАСТЫ. Теория вероятностей величины при известном значении другой. В случае если разброс возможных значений не очень велик, это может принести большую пользу.
Условным мангемангическим ожиданием 1, по тг называется случайная величина, равная тра,(тг), которая обозначается М(ф). Условное математическое ожидание обладает следующими свойствами: 1) М(4т1) - =с; 2) М(аР, + 4тТ) = аМ(4~тТ) + гг; 3) МК, + чвг~тТ) М(чЯ,~Ч) + М(ичг~Ч)' 4) 1тяс = М[М(ЯЧ)1; 5) мУ(ч)ь(т1И = ь(т))м1г(с)Ц, где1(с) и ь(г1) — произвольные функции от случайных величин ~ и т1; 6) М(ф) = М(~), если 1 и П независимы. Задача 10. Распределение двумерной случайной величины задано таблицей. Найти условное распределение и условное математическое ожидание тт при 1 = 1. Решение. Условное математическое ожидание равно М(тТ!Е.— «,) = УгР» (Уг 1«,)+УгРи (Угl«,).
Из условия задачи найдем распределение составляющих т1 и ф (последний столбец и последняя строка таблицы). Глава з ф Так как Р(х,) = Р(х„у,)+Р(х„у,) = О,!5+0,30 = 0,45, то условные вероятности находятся по формулам Р(х„у,) 0,15 1 Р(х„у,) 0,30 2 Р(х,) 0,45 3 ~" Р(х,) 0,45 3 ' а искомое условное математическое ожидание равно 1 2 М(Ч((,=1) = Зх-+ бх — = 5. 3 3 Задачи для самостоятельного решения Теоретические задачи ь Докажите, что для случайной величины г„ распределенной по закоиу Пуассона с параметром А, математическое ожидание Мг,= Х, а дисперсия 2)г, = Х .
г. Докажите, что для случайной величины г„ распределенной по закону Бернулли с параметрами и и р, математическое ожидание М(,= пр, а дисперсия )Ц = ир(1- р). 3. Докажите, что для случайной величины г„ распределенной по геометрическому закону с параметром р, математическое ожидание 1 1 — Р Мг,= —, а дисперсия Юг,= —, Р Р 4. Случайная величина г, имеет математическое ожидание а и дисперсию о*. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной г,— а величины г) = —.
о Вычислительные задачи 5. Монету подбросили 3 раза. Найти распределение вероятностей для числа появлений герба. 6. Три стрелка с вероятностями попадания в цель при отдельном выстреле о,7, о,в и о,д соответственна делают по одному выстрелу. Найти распределение вероятностей для общего числа попаданий. ВВ ЧАСТЬ С Теория вероятностей 7.
Вероятность того, что лотерейный билет окажется выиграшным, равна о,т. Покупатель купил ч билетов. Найти распределение вероятностей для числа выигрышей у владельца этих ч билетов. 8. Стрелок поражает мишень с вероятностью о,у при одном выстреле. Стрелок стреляет до первого попадания, но делает не более трех выстрелов. Найти распределение вероятностей для числа выстрелов. д.
Два станка выпускают детали с вероятностями брака о,от и о,о5 соответственно. В выборке одна деталь выпущена первым станком и две — вторым. Найти закон распределения для числа бракованных деталей в выборке. то. Прибор комплектуется из двух деталей, вероятность брака для первой детали — олц а для второй — о,о5. Выбрано 4 прибора. Прибор считается бракованным, если в нем есть хотя бы одна бракованная деталь. Построить закон распределения для числа бракованных приборов среди выбранных 4 приборов. тт.
С конвейера поаупили 4 детали. Вероятность брака для каждой детали равна од. Детали проверяют одну за другой, пока не наберуг две годные (или пока они не кончатся). Найти распределение вероятностей для числа проверенных деталей.
тз. Два стрелка поражают мишень с вероятностями о,8 и о,д соответственно (при одном выстреле). Найти распределение вероятностей для общего числа попаданий в мишень, если первый стрелок выстрелил один раз, а второй — два раза. ТЗ. Каждая из 5 лампочек имеет дефект с вероятностью о,т. Дефектная лампочка при включении сразу перегорает, и ее заменяют новой. Построить закон распределения для числа опробованных ламп. з4.
Среди ч ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим, пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей для числа опробованных ключей. т5. Монету подбрасывают до тех пор, пока герб не выпадет два раза, но при этом делается не более 4 бросаний. Найти распределение вероятностей числа подбрасываний. тб. Среди со деталей три — нужного размера. Детали извлекают поочередно, пока не найдут з детали нужного размера, но при этом делается не более 4 проб.
Найти распределение числа извлеченных деталей. зоб Глава 5 ф тт, На станцию обслуживания заявки поаупают случайно в соответствии с распределением Пуассона с параметром Л = з. Мощность станции позволяет обслуживать не более з заявок в единицу времени. Найти вероятность того, что в течение данной единицы времени: а) станция не справится с потоком заказов и образуется очередь; б) станция обслуживания будет простаивать или работать не на полную мощность; в) на станции обслуживания не образуется очередь. 58.
В процессе производства изделие высшего качества удается получить только с вероятнопью о,з. С конвейера берут наугад детали до тех пор, пока не взято изделие высшего качепва. Найти математическое ожидание числа проверенных изделий. тд. Экзамен по математике сдается до получения положительного ре. зультата. Шансы сдать экзамен остаются неизменными и составляют зо%. Найти математическое ожидание числа попыток сдачи экзамена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
