Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 12
Текст из файла (страница 12)
3 приложения 2 находим Р, (3) = 0,14; «=О т Р, (т >3) =0,875. Б. Приближенные формулы Муавра-Лапласа. Предположим, что в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний и велико, а вероятности «успеха» и «неудачи» не малы (например, 0,1 < р < 0,9) или ир не мало (ир > 10), а» Локальная теорема Муавра-Лапласа. ггусть р = еоигг, и -» о, тогда Р„(т)м, х= —, гр(х) т — ир ~/ир~у,~~рг7 2 1 где р(х) = — е ' . г'2~г Функция о(х) — четная, и для положительных значений х составлена таблица ее значений (приложение 2). 71 ЧАСТЫ. Теория вероятностей Задача 8.
Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет р = 0,75. Найти вероятность того, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз. Решение. В данном случае и = 100, т = 80, р = 0,75, д = = 0,25. НОН *- ' =2,70, 00.( Р 80 — 100 х 0,75 700 О 75 О 25 р О~ю 0(*7 0,2036, ~ 2 р Р,„(807 = 0,2036 ДОО 0,75 0,25 ~ Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть р = солей и -+ о тогда 0 -ир 1 1 -2 1,/ирд ! /275 где т — число успехов для любого числа х. Отсюда следует, что для вычисления вероятности Р„(т„т,) = = Р(т, < т < т,) события, состоящего в том, что число успехов т в и испытаниях Бернулли окажется заключенным в пределах от т, до т„можно использовать приближенную формулу Р„(т„т,) Ф (х) Ф (х ), 2 где х, =, х, =, а Ф,(х) = — т е дг — функция «ь-ир т,-ир 1 г— 07«рд 0/ирд 5('2тг Лапласа. Функция Ф,(х) равна 0 при х = О.
Ф,( — х) = — Ф,(х) для всех х, т.е. функция нечетная. Для функции Ф,(х) составлены специальные таблицы при некоторых положительных значениях аргумента (табл. 2 приложения 2). При х > 5 можно считать, что Ф,(х) = 0,5. Задача У. Страховая компания заключила 40 000 договоров.
Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность того, что таких случаев будет не более 870. 7а Глава в ® Решение. По условию задачи п = 40 000, р = 0,02, пр = 800, ,/иру =28. Для вычисления вероятности Р(т я 870) воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: Р(0 < т ь 870) = Ф,(х,) — Ф,(х,), где х,= = — 28,57 и 0 — 800 х,= =25. 870-800 28 Находим по таблице значений функции Лапласа: Р(0 < т ъ 870) в(х) Фо(х) Фа(2 5) о( 28 57) = = 0,4938 + 0,5 = 0,9938. Следствие (ивтезраяьиой теоремы Муавра-Лапласа) Вероятность того, что относительная частота появления успеха в п независимых испытаниях Бернулли (т.е.
число т/п) отклонится от вероятности успеха не более чем на с > О, может быть найдена по формуле Р— — р<в лрв 6— Доказательство получаем из следующей цепочки очевидных равенств: Р— — р <в =Р р — в « — р+е =Р(пр — ~в<т<лр+не)ш Фв Фв =Фв е — — Фв с =2Фл в Задача 10.
Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число е, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не превышали в. Решение. В этом примере р = 0,8, и = 400. По условию задачи Р— — р < в1=0,99= 2ч4 е~ †. Следовательно, е, е ~ — =0,495.
(т ( 5~ ( ~г~1 тз ! ф ЧАСТЫ. Теория вереятнестей Гп По таблице для функции Лапласа определяем с ~ — =2,58; и значит, е = 0,0516. РЧ Приближенную формулу можно использовать и в следующей «урноеой» схеме: из генеральной совокупности объема Ф, содержащей М белых и Ф вЂ” М черных шаров, осуществляется последовательный выбор п элементов без возвращения. Вероятность того, что в полученной выборке окажется ровно ш белых шаров, вычисляется по формуле Сю СЯ-ю (та) и ни С" У Если объем генеральной совокупности и число белых шаров достаточно велики ()е' -+ е, М -+ в, М/Ф -+ р = сонат), то «урновую» схему можно приближенно заменить схемой Бернулли Р„(т,п) = Р„(т), гдЕ Р„(т) = фРЧ" Далее, при необходимости, можно использовать формулы Пуассона и Муавра — Лапласа.
9 ~).й). Полиномиальные испытания От схемы независимых последовательных испытаний с двумя исходами (схема Бернулли или биномиальная схема) можно перейти к полиномиальной схеме, т.е. к схеме последовательных независимых испытаний, в каждом из которых возможны Й исходов, х > 2, с вероятностями ЄЄ..., Р„О < Р,. < 1, ~ р,.
= 1. !=! В этом случае пространство элементарных собьггий содержит 1е" таких событий, а вероятность того, что из и испытаний т, закончатся первым исходом, т, — вторым исходом, ..., т„— lс-м исходом, равна и! Р„(т1 —.те) = Р1 Ре - Ря т,!т,! ...т„! Эта формула также описывает полиномиальный закон Распределения. Глава в ф Полиномиальную схему можно трактовать как обобщение статистики Максвелла — Больимана на случай, когда вероятности попадания каждой частицы в различные ячейки различны.
Задача 11. Шесть рукописей раскладываются случайным образом в пять папок. Какова вероятность, что ни одна папка ие останется пустой? Решение. На раскладку 6 рукописей в папки можно смотреть как на серию шести полиномиальных испытаний с 5 исходами (попадание в г'-ю папку — зто (-й исход). Вероятности исходов (папок) совпадают и равны Р, = р, = ... = Р, = 1/5. Событие А = (ни одна папка не останется пустой) означает, что в одну папку попадуг 2 рукописи, а в остальные папки — по одной рукописи.
Следовательно, вероятность того, что в первую папку попадуг 2 рукописи, а в остальные папки — по одной рукописи, равна Рв(2, 1, 1, 1, 1) = а вероятность искомого события А (для которого неважно, в какую из 5 папок попадают две рукописи) равна Р(А) = 5Рв(2, 1, 1, 1, 1) = 5 — ' — = — ' — = 0,1152. 6! 1 6! 1 2! 5 2! 5в Задача П. Курс акции за день может подняться на 1 пункт с вероятностью 50%, опуститься на 1 пункт с вероятностью 30% и остаться неизменным с вероятностью 20%. Найти вероятность того, что за 5 дней торгов курс поднимется на 2 пункта.
Решение. Возможны только следующие два варианта развития событий: 1) курс растет 2 дня, ни разу не падает, не меняется 3 дня; 2) курс растет 3 дня, падает 1 день, не меняется 1 день. Таким образом, Р(А) = Р (2, О, 3) + Р (3, 1, 1) = 0,5 х 0,3 х 0,2' + 2! О! 3! — 0,5 х 0,3'х 0,2' = 0,02-1- 0,15 = 0,17. 3! 1! 1! тв © ЧАСТЬ С Теория вероятностей Задачи для самостоятельного решения т.
Ежедневно новая сделка совершается с вероятностью о,з (но не более одной в день). Какова вероятность того, что за 5 дней будет совершено З сделки? э. В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью т/гт. Какова вероятность того, что из то визитов страхового агента 6 закончатся заключением договора? З. Вероятность поражения мишени стрелком равна обк Найти вероятность того, что он поразит мишень ровно два раза, сделав 6 выстрелов. л.
Для вычислительной лаборатории приобретено 9 компьютеров, причем вероятность брака для одного компьютера равна од. Какова вероятность того, что придется заменить более двух компьютеров? 6. Зачетная работа по предмету состоит из 6 задач, при этом зачет считается сданным, если студент решил хотя бы З задачи. Студент Иванов может решить каждую задачу с вероятностью о,б. Какова вероятность того, что он сдаст зачет? 6. Тест по теории вероятностей состоит иэ то вопросов. На каждый вопрос в тесте предлагается л варианта ответа, из которых надо выбрать один правильный.
Какова вероятность того, что, совершенно не готовясь к тесту, студенту удастся угадать правильные ответы по крайней мере на 6 вопросов? ?. Статистика аудиторских проверок компании утверждает, что вероятность обнаружения ошибки в каждом проверяемом документе равна оли Какова вероятность того, что из то проверенных документов большинство документов будет без ошибок? 8. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выигрыш одной партии из двух или двух партий из четырех; б) выигрыш не менее двух партий из четырех или не менее трех партий иэ пяти? Ничьи во внимание не принимаются. д.
Мастер и ученик играют шахматный матч. Мастер побеждает в матче, если он выиграл все партии, ученик побеждает в матче, если он выиграл хотя бы одну партию. Из какого числа партий должен состоять матч, чтобы шансы на победу у мастера и ученика были равны, если вероятность победы мастера в одной партии равна о,9, а ученика — о,э? ?6 Глава 4 цз то. испытание состоит в подбрасывании трех кубиков. сколько раз нужно провести испытание, чтобы с вероятностью не менее о,95 хотя бы один раз появились три «единицы»? ы.
В некотором многочисленном сообществе 5' левшей. Каков дол. жен быть обьем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одного левшу была не менее о, 95? тз. В коробке 4 детали. Вероятность, что деталь стандартная, равна обх Сколько надо взять коробок, чтобы с вероятностью не менее о,9д среди них нашлась хотя бы одна коробка, не содержащая брак? тз. Сколько раз надо двукратно подбросить монету, чтобы с вероятностью не менее о,д5 хотя бы один раз появилось событие «один герб и одна решка»? »4. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна о,дб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
