Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной? Решение. Пусть событие 6 — появление годной детали. Вероятности гипотез о том, что деталь поставлена фирмами А, В, С, равны сответственно Р(А) = 0,5; Р(В) = 0,3; Р(С) = 0,2 (рис. 3.3). Условные вероятности появления при этом годной глава 3 детали равны Р(С ~ А) = 0,9, Р(6 ~ В) = 0,95, Р(6 ~ С) = 0,94 (как вероятности противоположных событий к появлению бракованной).
По формуле полной вероятности, используя «дерево» вероятностей, получаем Р(бу = 0,5 х 0,9+ 0,3 х 0,95 + 0,2 х 0,94 = 0,923. Р, = 0,5 х 0,9 Р, = 0,3 х 0,95 Р1 = 0,2 х 0,94 Рис 33 $ З.б. Формула Байеса Предположим другую ситуацию: пусть известно, что событие А произошло. Требуется найти вероятность того, что событие А произошло именно путем Н„. Эти условные вероятности вычисляются с помощью следующей теоремы. Теорема б Гформула Байеса).
Р(Н,) Р(А)Н„) Р(Н,.) Р(А~Н,) Отметим, что в знаменателе этой формулы записано не что иное, как вероятность Р(А), вычисленная по формуле полной вероятности. 53 ~ф ЧАСТЬ С Теория вероятностей Доказательство. По определению условной вероятности Р(А гт Н„) Р(Н„)Р(А! Н,) Р(А) Р(А) где вероятность Р(А гт Н„) найдена с помошью теоремы умножения. Задача 8 (см. задачу 6). Пусть известно, что студент не сдал экзамен, т.е.
получил оценку «неудовлетворительно». Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал? Решение. Вероятность получить «неуд» равна Р(А) = !в — Р(А) = 1 — 0,58 = 0,42. Требуется вычислить условные вероятности Р(Нт ! А), т = 1, 2, 3. По формуле Байеса получаем: — Р(Н,)хР(А(Н,) 0,2х0,6 Р(А) 0,42 и аналогично Р(Н, ~ А) = ' ' = О 214, Р(Нт ! А) = ' ' = О 5 .
042 ' 042 Отсюда следует, что, вероятнее всего, слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему экзаменатору. В З.у. Аксиоматическое построение теории вероятностей Ограниченность «классического» определения вероятностей заложена в предположении равной возможности исходов. Многие реальные случайные эксперименты не укладываются также в рамки дискретной модели с конечным или счетным пространством й.
Не всегда может помочь и геометрическая интерпретация. Кроме того, возникают различные парадоксы. Например, можно построить так называемые неизмеримые множества, при попытке определить вероятность которых мы приходим к противоречию. Пример Ввтели. Пусть точку наудачу бросают на окружность.
Положение точки на окружности определяется углом (от 0 до 2л). Выберем иррациональное число сс > 0 и поставим в соответствие каждой точке х класс точек А„, получаемых из Глава з нее поворотами на угол 2яал, л = О, 1, 2, ... Поскольку а иррационально, у нас никогда не получится целое число оборотов, а значит, все точки класса различны. Для различных точек х классы А„могут либо совпадать (когда одна точка переходит в другую поворотом вида 2яал), либо не пересекаться нигде. Возьмем все непересекающиеся классы, выберем из каждого по одной точке и объединим эти точки в одно множество В,. Обозначим через В„множество„получающееся из В, поворотом на угол 2яал. Тогда множества В„, л = О, 1, 2, ... не пересекаются, а их объединение дает всю окружность. Следовательно, они образуют полную группу событий.
Понятно, что вероятности В„равны между собой. Если предположить, что они равны нулю, то в сумме получается ноль, хотя должна быть единица. Если предположить, что они больше нуля, в сумме получается бесконечность, что также неверно. Поэтому в случае бесконечного пространства й построение современной теории вероятностей базируется на подходе, предложенном великим русским математиком А.Н.
Колмогоровым. Основная идея подхода заключается в том, что не все подмножества пространства й рассматриваются как события. Предполагается, что события — это некоторые подмножества из пространства элементарных исходов й, совокупность которых замкнута относительно операций конечного или счетного числа объединений и пересечений. Пусть г1 — произвольное пространство элементарных исходов, а 5 — некоторый класс подмножеств множества й. Алгеброй событий Э называется любая непустая система подмножеств пространства й, удовлетворяющая следующим аксиомам: 1) если подмножество А принадлежит 3 (является событием), то его дополнение А также принадлежит 3 (также является событием); 2) если подмножества А и В принадлежат Э (являются событиями), то и их объединение А и В принадлежит 3 (также является событием).
Поскольку любую из операций над подмножествами можно получить, используя формулы де Моргана, с помощью только двух операций дополнения и объединения АйВ=АОВ, А~В=АГ1В=АОВ, 55 ЧАСТЬ !. Теория вероятностей пересечение и разность двух событий также будут событиями: А ст В в Э, А~В е Э при любых А в Э, В а .т. Отсюда следует, что й е 5 и И = й~й е .т тоже события. Алгебра событий 5 называется о-алгеброй, если объединение счетного числа элементов из т также является элементом 5, т.е.
из того, что А„е 5, н = 1, 2, ..., следует Ц А„е;т. л=! Таким образом, ст-алгебру событий Э можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов й, замкнутую относительно счетного числа теоретико- множественных операций. Тривиальная о-алгебра событий состоит из полного и пустого множеств: Э = (И, й). Любая о-алгебра событий является одновременно и алгеброй событий. Обратное, вообще говоря, неверно, т.е. существуют алгебры событий, не являющиеся о-алгебрами. Теперь, согласно аксиоматике Колмогорова, можно ввести общее понятие вероятности события. Вероятностью события, или вероятностной мерой, называется числовая функция, заданная на о-алгебре событий т, которая каждому событию А в Э ставит в соответствие число Р(А) так, что выполняются следующие четыре аксиомы: 1.
Аксиома неотринательиости: Р(А) > О для всех А в Э. 2. Аксиома нормированности: Р(й) = 1. ( л л 3. Аксиома конечной аддитивности: Р~Ц,~.) = л2 Р(А,) для т=! т=! любых А,.ст А, = И, ( ~(', и А,. в ..т для любого !' = 1, 2, ..., и. 4. Аксиома счетной аддитивности: Р~ЦА,~=~ Р(А,), если события А,. в последовательности А„А„..., А„, ... несовместны, т.е. для любых А,с!А,= И, (т (', А,.в 3 для любого !' = 1„2, ... Очевидно, что вероятность, определенная в дискретном вероятностном пространстве условием Р(А) = ~ ' Р(со!), является лл,ея счетно-алдитив ной.
Заметим также, что введенные аксиомы в случае дискретного пространства превращаются в доказуемые утверждения. Конечно-аддитнвная вероятность Р(А„), заданная на о-алгебре множеств Э, называется непрерывной, если для любой Глава З ф~ убываюШей последовательности множеств А„~ Э, п = 1, 2, ... М такой, что А„„<- А„, имеюших пустое пересечение ПА„= И, имеет место равенство 1пп Р(А„) = О. Аксиома непрерывности Если последовательность событий А„А,..., А„, ... такова, что каждое последующее вложено в предыдущее, а пересечение всех событий А пусто, то Р(А„) - О при и - ы. ))в Теорема 7. Аксиома счетной аддитивности равносильна ак- сиоме непрерывности. Доказательство.
Докажем сначала, что из непрерывности следует счетная аддитивность. Рассмотрим последовательность несовместных событий В„, и пусть В =ЦВ! Введем события Ю !=! вида А„= Ц В„тогда они удовлетворяют условиям аксиомы !'= .!-! непрерывности и Р(А„) - О при и - м. По теореме сложения получаем откуда ~л!В !=Р!В! — Р!л ! л!В!=Р(цл) г=! !,г=! что и означает счетную апдитивность. Докажем теперь, что из счетной аддитивности следует непрерывность. Пусть последовательность А удовлетворяет условиям аксиомы непрерывности.
Введем события С = А Я„„. Тогда зти события несовместны, причем допустимы представления: По теореме сложения получаем ( — ! и — ! Р(А, ) = Р(А, ~ А„) + Р( А„) = Р~Ц С )+ Р(А„) = ~ Р(С ) + Р(А„), !=! !=! зт ЧАСТЬ !. Теория вероятностей откуда и-! ( ! и — ! Р(Аи) = Р(А, ) — ~Р(С ) = Р~ЦС ! — ) Р(С ) — ! О, и — оо, г=! с=! !=! так что аксиома непрерывности выполняется.
Тройка (й, 5, Р), где ьз — пространство элементарных событий, 3 — о-алгебра подмножеств ь1, называемых событиями, Р— вероятностная мера, определенная на событиях, называется вероятностным пространством. Далее будем всюду неявно предполагать, что любые рассматриваемые множества относятся к некоторой о-алгебре Э, а вероятность удовлетворяет всем необходимым аксиомам. Задачи для самостоятельного решения Теоретические задачи к Пусть А, В, С вЂ” три произвольных события. Найти выражение для событий, состоящих в том, что: а) произошли все три события; б) произошло хотя бы одно из событий; в) произошли хотя бы два события; г) произошло ровно два события; д) произошло ровно одно событие; е) ни одно событие не произошло; ж) произошло не более двух событий. з.
Прибор состоит из трех блоков первого типа и четырех блоков второго типа. Событие А, = (исправен (-й блок первого типа), (= т, з, З; В, = (исправен/-й блок второго типа),/= и з, З, гг. Прибор работает, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго типа. Найти выражение для события С, которое соответствует рабочему состоянию прибора. З. Бросают две игральные кости. Пусть А — событие, состоящее в том, что сумма очков четная;  — событие, заключающееся в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица.
Составить пространство элементарных событий й, связанное с данным опытом, и описать событие Аг!В. а. Событие А — хотя бы одно из трех изделий бракованное,  — все три иэделия качественные. Что означают события: а) А и В; б) А С!В? 5. Рабочий обслуживает три автоматических станка. События А, В, С заключаются в том, что первый, второй или третий станок соответственно потребует внимания рабочего в течение часа. Глава З ((у Что означают события: а) Авс: б) А+ В+ С в) АПВПС+А В С+АЛВлс г) АпВпС+АпВПС+АПВпС;д) АпВпС) 6. Страховые компании интересуются распределением возрастов супругов. Пусть Х означает возраст мужа.
а У вЂ” возраст жены. Каждое наблюдение дает пару чисел (Х, У). В качестве пространства элементарных событий СЗ берем ый квадрант, т.е. любая точка (Х, У), Х > о, У > о — элементарное событие. Событие Д вЂ” мужу более 4о лет, событие  — муж старше жены, событие С вЂ” жене более 4о лет. Что означают события: а) А г1 В; б) Д Г> В; в) А г> С; г) Д с> С; д) Я > В; е) В г> С> Изобразить эти события графически. Вычислительные задачи 7. Рабочий обслуживаеттри независимо работающих станка. Событие А,.
(Рй станок в течение часа потребует наладки), Р(Д) = о,г; I = ц з, З. Выразить события: а) ровно два станка потребуют наладки; б) не более двух станков потребуют наладки; в) хотя бы один станок потребует наладки. Найти вероятность события в). 8. Стрелок делает три выстрела, при этом он поражает цель с вероятностью о,б при одном выстреле. Событие А, (Ря пуля попала в цель), / = ц г, З. Выразить события: а) было хотя бы одно попадание; б) было ровно одно попадание; в) было не менее двух попаданий.
Найти вероятность события в). 9. В коробке 4 детали. Мастер извлекает детали до тех пор, пока не вытащит годную (или пока они не кончатся). Событие А, = (Ря извлеченная деталь является годной), Р(А) = о,9, l = ц г, З, 4. Выразить события, состоящие в том, что мастер сделал: а) ровно одно извлечение; б) ровно г извлечения; в) не менее двух извлечений. Найти вероятность события 6). то. В пакете с леденцами лежат 4 красных, с желтых и 6 зеленых конфет. Найти вероятность вынуть наудачу подряд З конфеты одного цвета. ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
