Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В качестве единицы измерения вероятности принята вероятность достоверного события. Вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность любого случайного события обозначается Р(А) и изменяется в диапазоне от нуля до единицы: О < Р(А) < 1.
Пусть проведена серия из и испытаний (и называют длиной серии), в каждом из которых может произойти или не произойти событие А. Подсчитаем, сколько раз в этой серии эксперимент заканчивался наступлением события А, и обозначим это число через п(А). Поделив его на общее число и всех повторений эксперимента, получим величину Р„(А) = —, кон(А) и торая называется относительной частотой события А. При небольшом числе экспериментов относительная частота события носит случайный характер и может заметно меняться от одной группы опытов к другой. При увеличении числа экспериментов случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному эксперименту, в массе взаимно погашаются, и частота РЯА) проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь к некоторой средней величине. Этот эмпирический факт называется свойством статистической устойчивости частот: по мере неограниченного увеличения ай 1 Глава 2 числа однородных и независимых испытаний относительная частота события А стремится к некоторой постоянной величине.
Если данное свойство выполняется, то число, к которому приближается относительная частота события при неограниченном увеличении числа экспериментов, можно принять за вероятность события А. Таким образом, частотная интерпретация вероятности состоит в том, что относительную частоту события принимают за приближенное значение вероятности этого же события. Частота события А отличается от вероятности этого события тем, что вероятность величина детерминированная, а частота— величина случайная и до опыта неизвестная.
В качестве примера укажем на опыт Бюффона, в котором симметричная монета подбрасывалась 4040 раз, а герб выпадал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии наблюдений равна 2048/4040 = 0,507, что близко к интуитивно ожидаемому значению вероятности 0,5. Следует отметить, что приближение частоты события к его вероятности не является обычной сходимостью к пределу (как в математическом анализе). В разных сериях испытаний это может происходить по-разному. Различные виды сходимости в теории вероятностей и математической статистике будут рассмотрены позже.
К сожалению, частотная интерпретация вероятности несовершенна как с логической, так и с практической точки зрения. Далеко не всегда возможно или желательно провести большое количество экспериментов, а кроме того, существует необходимость в предсказании вероятностей событий, которые еще не происходили. Поэтому далее мы рассмотрим другие определения. $ а.а. Пространство элементарных исходов.
Событие и его вероятность Для того чтобы формально описать некоторый эксперимент', нужно прежде всего указать все возможные варианты исходов, которыми этот эксперимент может закончиться. ' Под экспериментом имеем в виду не обязательно научный эксперимент, а любое действие или наблюдение либо их последовательность. 25 ЧАСТЫ. Теория вероятиостей Предполагается, что эксперимент может закончиться одним и только одним исходом. Множество й всех возможных исходов эксперимента называют пространством элементарных исходов, а каждый его элемент — элементарным исходом, или элементарным событием.
Если все возможные исходы можно перечислить, то пространство элементарных исходов называют дискретным (конечным, или счетным): й = (~,, м„... ~„), или й = 1от„~„...). Пример 1. При бросании симметричной монеты возможны два исхода — выпадение решки или герба, и пространство элементарных исходов имеет вид Я = (Р, Г), где буквами Р и Г обозначены решка и герб соответственно. Пример 2. При одновременном бросании двух монет исходы представляют собой упорядоченные пары, состоящих из символов Р и Г. Первый элемент этой пары — результат, выпавший на первой монете, второй элемент — результат на второй монете.
Очевидно, что таких пар — четыре: й = (РР, РГ, ГР, ГГ). Пример 3. В случае бросания игральной кости может выпасть любое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому пространство элементарных исходов й = (1, 2, 3, 4, 5, 6). Пример 4. При одновременном бросании двух игральных костей элементарные исходы представляют собой пары (х, у), где х — число очков, выпавшее на первой кости, а у — число очков на второй кости. Всего таких пар — 36: й = Кх, у): х = 1, ..., 6, у = 1, ..., 6).
Кроме элементарных событий, рассматривают так называемые сложные события, состоящие из более чем одного исхода. Например, событие А — выпадение четного числа очков на игральной кости — имеет вид А = 1то м4 оте). Событием в случае дискретного пространства элементарных исходов называется любое подмножество А = (отв, м, ..., Тое, ...) этого пространства: А~И. Говорят, что «событие А произошло», если эксперимент закончился одним из элементарных исходов то Е А.
26 Глава а Вероятность в дискретном пространстве вводится следую,дим образом. Поставим каждому элементарному исходу а! в соответствие неотрицательное число р, > О, называемое его веролтиостью, такое, что сумма (конечная или бесконечная) вероятностей всех элементарных исходов равна единице: ) р!=1 (или ~,р!=1). !=! 1=! Вероятностью события А называют сумму вероятностей всех элементарных исходов, входящих в А, т.е. Р(А) = ~~' Р(а!!).
Из ,вл этого определения следует, что всегда выполняется неравенство О < Р(А) < 1, а также: 1) Р(И) = 1, где И вЂ” пространство элементарных исходов; 2) Р(!г!) = О, если !с! — пустое множество. Простейшим пространством элементарных исходов является так называемая классическая модель, в которой пространство конечно и все исходы эксперимента: 1) равновозможны; 2) взаимно несовместны (никакие два исхода не могут произойти одновременно); 3) образуют полную группу событий, т.е.
никакие другие исходы, кроме перечисленных, не могут произойти. Такое пространство называют симметричным. Если И = (в!„ а„ ... м„) — симметричное пространство, то вероятности злементарйых событий равны между собой: Р(ю!) = р, = р для любого ! = 1, 2, ..., и и Ч ~Р(Га,)= ) р! = рл=! 1 Отсюда и = р= — и вероятность события А = (Гв„!а„... м ) и по определению равна 1 т Р(А)= , 'Р(а!)=т(А) — = —, ,вл л л где и = ~И~ — число элементов во множестве И, которое обычно называют общим числом исходов, а т = 1А~ — число элементов во множестве А, называемое числом исходов, благоприятствующих событию А. зу ЧАСТЫ. Теория вероятностей Итак, в случае симметричного пространства вероятность события А определяется как отношение числа случаев, благоприятствующих событию А, к общему числу случаев: Р(А) = —.
Это «классическое» определение вероятности события— результат принятия гипотезы о равновероятности элементарных исходов. Указанное равенство используется для вычисления вероятности события А в случае, когда вероятность противоположного события известна или легко может быть найдена. Тогда Р(А) = ! — Р(А). Таким образом, для вычисления вероятности в каждой задаче важно определить, в чем состоит эксперимент, правильно построить соответствующее пространство элементарных исходов й и выделить в нем требуемое событие А. Затем, используя методы комбинаторики, подсчитать число элементов в й и А. Задача 1.
В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта— апельсины? Решение. Элементарными исходами здесь являются выборки, включающие 3 фрукта. Поскольку порядок здесь безразличен, будем считать выборки неупорядоченными (и разумеется, бесповторными). Общее число элементарных исходов и = !й~ равно числу способов выбрать 3 элемента из 9, т.е.
числу сочетаний С,'. Число благоприятствующих исходов и = !А~ будет равно числу способов выбора трех апельсинов из имеющихся 5, т.е. числу сочетаний трех элементов из 5, или С,'. Тогда искомая вероятность 5! ~3 3!6! Задачи 3. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор кюкдым из студентов любого числа из заданных равновозмо- га Глаеа г жен, найти вероятность того, что у какой-то пары из них за- думанные числа совпадуг. Решение.
Вначале подсчитаем общее количество исходов. Первый из студентов выбирает одно из 10 чисел и имеет л, = 10 возможностей, второй тоже имеет л, = 10 возможностей, наконец, третий также имеет и, = 10 возможностей. В силу основной теоремы комбинаторики общее число способов будет равно: и = п, л лг л л, = 10' = 1000, т.е. все пространство содержит 1000 элементарных исходов. Подсчет количества благоприятствующих исходов более сложен. Заметим, что совпадение задуманных чисел может произойти у любой пары студентов (или даже одновременно у всех троих). Чтобы не разбирать отдельно все эти случаи, удобно перейти к противоположному событию, т.е.
подсчитать количество тех случаев, когда все три студента задумывают разные числа. Первый из них по-прежнему имеет т, = 10 способов выбора числа. Второй студент имеет теперь лищь лг, = 9 возможностей„поскольку ему приходится заботиться о том, чтобы его число не совпало с задуманным числом первого студента лгг ~ глг Третий студент еще более ограничен в выборе — у него всего т, = 8 возможностей.
Из 10 возможных для т, исключаются два числа: т, ~ т„т, ~ тг. Поэтому общее количество комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений, равно в силу той же основной теоремы т = 10 х 9 х 8 = 720. Остальные 280 случаев характеризуются наличием хотя бы одного совпадения. Следовательно, искомая вероятность совпадения равна Р = 280/1000 = 0,28. Задача 3. Найти вероятность того, что в 8-значном числе ровно 4 цифры совпадают, а остальные различны. Решение. Событие А = (восьмизначное число содержит 4 одинаковые цифры1. Из условия задачи следует, что в числе пять различных цифр одна из них повторяется. Число способов ее выбора равно числу способов выбора одной цифры из 10 цифр.
Эта цифра занимает любые 4 места в числе, что возможно сделать С,' способами, так как порядок здесь не важен. Оставшиеся 4 места занимают различные цифры из неиспользованных девяти, и так как число зависит от порядка расположения цифр, то число способов выбора четырех цифр равно числу размещений А,'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
