Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них может произойти наудачу в течение указанного часа и моменты прихода независимы? Решение.
Обозначим моменты прихода лица А через х и лица В через у. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы ~ х — у ~ < 20. Изобразим х и у как координаты на плоскости, в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы представляются точками квадрата со стороной 60, а благоприятствующие встрече располагаются в заштрихованной области. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры (рис. 2.4) к площади всего квадрата: р = (60' — 40')/60' = 5/9.
Задача 11 (задача Бнгф1зона). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими одна от другой на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросается игла длиной 21 (1 < а). Найти вероятность того„что игла пересечет какую- нибудь прямую. й) ЧАСТЫ. Теория вероятностей Ряс. а.е Решение. Если игла бросается с достаточной высоты и ее начальное положение случайно„то под словом «наудачу» подразумевается, во-первых, что центр иглы наудачу попадет на отрезок длиной 2а, во-вторых, что угол тр между прямой и иглой равномерно распределен на отрезке [О; л1 и, в-третьих„ что на величину угла не влияет расстояние от центра до прямой. Поэтому изобразим результат бросания точкой с координатами (тр, х), лежащей внутри прямоугольника со сторонами а и л, где х — расстояние от центра иглы до ближайшей прямой.
Из рис. 2.5а видно, что пересечение иглы с прямой происходит тогда и только тогда, когда х < 1з(птр. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной области А к плошади прямоугольника на рис. 2.5б: Р(А) = — ~ 1яптр т1тр =— 1 "и, 21 ла Отметим, что полученную формулу можно применить для приближенного вычисления числа л. Действительно, получаем: л = 211(аР(А)). Проводя многократные эксперименты (бросания иглы), можно приблизить вероятность Р(А) относительной частотой Р„(А) и, соответственно, найти приближенное значение л„= 2Ц(аР (А)).
Подобное вычисление детерминированных величин с помощью последовательности испытаний 36 Глава а ф рис. а 5 со случайными исходами называется методом Монте-Карло. Разумеется, в современных исследованиях для этого используется компьютер. Задачи для самостоятельного решения ь Построить пространство элементарных исходов для эксперимента, в котором монета бросаетсл 5 раза. э. Построить пространство элементарных исходов для эксперимента, в котором вытаскивают две карты из колоды в Зб карт. З.
Четыре человека вошли в лифт на первом этаже шестиэтажного дома. Найти вероятности следующих событий: а) все пассажиры выйдут на шестом этаже; б) все пассажиры выйдут на одном и том же этаже; в) все пассажиры выйдут на разных этажах. л.
Семь человек вошли в лифт на первом этаже восьмиэтажного дома. Какова вероятность, что на одном этаже вышли два человека? 37 ф ЧАСТЬ С Теория вероятностей 6. Бросают две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, не превзойдет 6? 6. Какова вероятнопь того, что в 4 бросаниях кости хотя бы один раз выпадет «единица»? ?.
Найти вероятность того, что дни рождения тг человек приходятся на разные месяцы года. 8. В урне 6 белых,и 4 черных шара. Из урны наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что это будет: а) два белых шара; 6) два черных шара; в) один черный и один белый. д. Пять клиентов случайным образом обращаются в 4 фирмы.
Какова вероятность, что хотя бы в одну фирму никто не обратится? зо. На остановке со человек случайным образом выбирают один из зо вагонов поезда. Найти вероятность того, что ровно в один вагон никто не войдет. и. В каждой упаковке товара имеется одна из 6 различных наклеек (равновероятно). Какова вероятность собрать их все, купив? упаковок товара? тг.
Шесть шаров случайным образом раскладывают по з ящикам. Найти вероятность топ>, что во всех ящиках будет разное число шаров. ТЗ. Найти вероятность того, что в 6-значном номере З цифры совпадают, а остальные различны (считаем, что номера мокнут начинаться с нуля). т4. Семь человек становятся случайным образом в очередь один за другим. Какова вероятность того, что два определенных человека, А и В, встануг рядом? ТБ. В очередь в булочную случайным образом встали 8 женщин и з мужчин.
Какова вероятность того, что между мужчинами будут стоять г женщины? тб. В очередь в кассу стоят д человек (З мужчин, 4 женщины и з детей). Какова вероятность, что между некоторыми двумя мужчинами будут стоять г детей и одна женщина? з?. В партии из 8 изделий З изделия — высшего качества. Найти вероятность того, что среди отобранных (без возвращения) 4 изделий — ровно одно изделие высшего качества. Т8.
Из то проданных за день холодильников 4 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу 5 холодильников будет ровно г без скрытых дефектов. Глава г ф г9. Шесть шаров случайным образом раскладываются по З ящикам. Найти вероятность того, что в первом ящике лежит гг шара. эо. На шахматную доску случайным образом поставлены г ладьи. Какова вероятность того, что они не будут бить друг друга? гг. Группа из г8 студентов пишет контрольную работу из З вари. антов (по 6 человек в каждом).
Найти вероятность того, что среди случайно выбранных ч студентов есть писавшие каждый вариант. гз. На группу из го человек предоставлено для производственной практики 6 мест в лаборатории Нз г и гг места — в лаборатории КЕ г. Какова вероятность того, что при случайном распределении мест двое неразлучных друзей из этой группы попадут на практику в одну лабораторию? гз. В трех студенческих группах?г человека (по ггг человека в группе: гг юношей и гг девушек).
Наудачу выбраны 5 человек. Какова вероятность того, что среди них будут девушки из всех трех групп? га. Из колоды в Зб карт выбираются наугад гг карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз. гч. В лотерее из 9о билетов ч выигрышных. Какова вероятность того, что среди первых ч наугад выбранных билетов г будут выигрышнымиг гб. Работа каждого из гг студентов заочного отделения может проверяться одним из а преподавателей. Какова вероятность, что все а работы проверены разными преподавателями? г?. Найти вероятность того, что в пятизначном числе имеются г четные цифры и ч нечетные, при условии, что все они различны (принимаем, что число может начинаться с нуля).
г8. В ящике находятся 5 белых, З красных и з черных шара. Наудачу выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что выборка будет содержать З белых, г красных и г черный шар, если: а) выборка производится без возвращения (все 6 шаров отбираются сразу); б) выборка производится с возвращением (фиксируется цвет выбранного шара, после чего он возвращается в ящик).
г9. Какова вероятность того, что дуэль состоится, если каждый из дуэлянтов приходит на место дуэли в случайный момент времени между ч и 6 часами и ждет противника в течение 5 минут? 39 йй ЧАСТЬ Ь Теория вероятностей Зо. Две подруги договорились встретиться в условленном месте в промежутке от ту до тд часов. Пришедшая первой ждет другую не более тб минут. Какова вероятность, что подруги не встретятся? Зп На отрезок гз; ч) наудачу бросают две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше г? Зз. На отрезок г-ц з) наудачу брошены две точни. Какова вероятность того, что расстояние между ними больше т? ЗЗ.
Точку бросают случайным образом на нвадрат площадью тоо см*. Какова вероятность того„что координаты х, у зтой точки отличаются между собой не более чем на т см? З4. Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Найти вероятность того, что ни одному из теплоходов не придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода — т час, а второго — г часа.
Зч. Студент может добраться до факультета либо на автобусе, интервал движения которого составляет? минут, либо на троллейбусе, интервал движения которого составляет то минут. Найти вероятность того, что студенту, пришедшему на остановку в случайный момент времени, придется ждать не более ч минут.
Зб. Наудачу взяты два положительных числа Х и У, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма Х+ У не превышает ц а произведение ХУ не меньше о,од. З?. Найти вероятность того, что из З наудачу взятых отрезков длиной не более с можно построить треугольник. ЗВ. В точке С, любое положение которой на телефонной линии ЯВ длиной то км равновозможно, произошел разрыв.
Определить вероятность того, что точка С удалена от точки Д, где находится ремонтная станция, на расстояние, не меньшее т км. Зд. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а брошена монета радиуса г (г с а/з). Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из сторон квадрата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
