Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 7
Текст из файла (страница 7)
4о. Найти вероятность максимального выигрыша в «Спортлото» (угадать 6 цифр из 4д). 4т. В пачке топо лотерейных билетов, из которых то выигрышные. Какова вероятность выиграть хоть что-нибудь, имея: а) З билета; б) зоо билетов? ГЛДЦА 3 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5 З.а. Операции над событиями Одной из основных задач теории вероятностей является вычисление вероятностей различных событий, когда известны вероятности каких-то других событий. Это возможно в том случае, если эти новые события можно выразить через исходные с помощью различных операций. Суммой (или обьединением) двух событий А и В называется событие А~В (А + В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В, либо А и В одновременно). Произведением ~или пересечением) двух событий А и В называется событие Ас~В (или АВ), состоящее в одновременном появлении и события А, и события В.
Отрицанием (или противоположным событием) для события А называется событие А, которое происходит тогда и только тогда, когда не просходит событие А. Симметрической разностью событий А и В называется событие С = АЧВ, в которое входят те элементарные события, которые входят или в А, или в В, но не входят в их пересечение: АЧВ = (А~В) ~ (В~А). Поскольку все события рассматриваются как подмножества пространства элементарных исходов ь1, то и операции нал ними — это соответствующие операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение).
Все пространство й соответствует достоверному событию (поскольку эксперимент яР 4АСТЬ Ь Теория вероятностей всегда заканчивается каким-то элементарным исходом), а пустое множество И вЂ” невозможному событию (поскольку в нем нет ни одного возможного исхода). Справедливы следуюшие соотношения: 1. Анй= й, А~гИ= А, Ас.тА = А 2. Атй = А, Ат-тИ = И„АстА = А 3. А=А, й= И, Й=й 4.
Ап В = А цВ, АиВ = АОВ (принцип двойственности, или Формулы де Моргана) 5. Ас.тВ = Вс.тА, АстВ = ВстА (коммутативность операций объединения и пересечения) 6. Ао(ВоС) = (Ас.тВ)с.тС, Ал(ВгтС) = (АстВ)стС (ассоциативность операций объединения и пересечения) 7. Ас.т(ВстС) = (А~эВ)г4Ас.тС) (дистрибугивность операции объединения относительно пересечения) 8. Аст(Вс~С) = (АстВ)с~(АстС) (дистрибутивность операции пересечения относительно объединения) Для наглядности соотношений между событиями используют графическую модель, называемую диатраммой Васина (рис. 3.1).
Аст В А с.тВ А1В АТТВ Рис. зл Пример 1. Бросают две игральные кости. Пусть А — событие, состояшее в том, что сумма очков нечетная,  — событие, заключаюшееся в том, что хотя бы на одной из костей выпала двойка. Опишем события А сг В и А ст В. 4з Глава З ф Пространство элементарных исходов может быть представлено в виде: ь2 = ((1, 1), (1, 2), ..., (2, 1),..., (6, 6)»; )й! = 36. Согласно условию задачи, события А и В состоят из следующих элементарных исходов: А = К1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), ..., (6, 1), (6, 3), (6, 5)»; В = ((1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (5, 2), (2, 5), (2, 6), (6, 2), (2, 2И.
Объединение А ! ! В представляет собой событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, т.е. событие А и В означает, что либо сумма выпавших очков нечетна, либо на одной из костей выпала двойка: А ! ! В = ((1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), ..., (6, 1), (6, 3), (6, 5)». Пересечение А Г1 В представляет собой событие, состоящее в одновременном наступлений событий А и В, т.е.
в том, что на одной из костей выпала двойка, а на второй — нечетное число очков: А Г! В = ((1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 5), (5, 2)». События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно: АГ!В = И. События А„А„..., А„образуют полную группу событий„если они несовместны и в сумме образуют все пространство й, т.е. Это означает, что в результате эксперимента обязательно произойдет одно из данных событий, и только одно. Пример 2. Бросают одну игральную кость: й = (1, 2, 3, 4, 5, 6». События А = (1, 2», В = (3, 4», С = (5, 6» несовместны и образуют полную группу событий, События А и В несовместны, но не образУют полную группу событий. События А, В и Ю = (3, 5, 6» в сумме образуют все пространство й, но не образуют полную группу событий.
43 Е) ЧАСТЫ. Теория вероятностей % Зл. Теоремы сложения вероятностей Пусть заданы вероятности некоторых событий и требуется найти вероятности их объединения. Теорема 1 (теорема сеоясения вероятностей несовместных сойьииий). Вероятность обьединения двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т.е. если АстВ = И, то Р(АстВ) = = Р(А) + РГВ). Доказательство проведем для случая конечного числа исходов. Пусть пространство элементарных событий й = (а„а„ ..., а„) содержит и элементарных исходов, из них и, благоприятствуют событию А и и, благоприятствуют событию В, т.е. Р(А) = ) Р(а,) и Р(В) = 2 Р(а,), и нет исходов, благоттясл с нтсЛ приятствуюгцих одновременно А и В, так как события несовместны.
Отсюда следует, что событию АстВ благоприятствуют и, + и, исходов и вероятность этого события вычисляется по формуле Р(АнВ) = ~ ' Р(ат) = ~ Р(В.) + ~ Р(в,) = Р(А) + Р(В). „ся ~сяОВ <сн Доказательство без труда переносится на случай счетного пространства й = (в„в„а„...), когда вместо конечных сумм рассматриваются суммы со счетным числом слагаемых — сходящиеся ряды. Следствия 1. Методом математической индукции эту теорему можно распространить на любое конечное число слагаемых, т.е. еспи все события А,. несовместны, то Р(Ц А,) = Р(А;) + Р(А ) + ...
+ Р(А„). гв 2, Если события А„А„..., А„образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице. В частности, поскольку противоположные события несовместны и в сумме образуют й, отсюда следует формула: Р(А) =1 — Р(А) . 3. Если А с В, то Р(А) < Р(В). 44 Глава з Ей 1» Теорема 2 Гтеаремо сложения вероятностей нроизвольиых событый). Для любых событий А и В верно равенство: Р(А ~ В) = = Р(А) + + Р(В) — Р(А Г~ В). Доказательство. Для любых событий А и В событие А ~ В наступит тогда, когда наступит одно из несовместных событий А л В, А Г~ В или А л В. По теореме сложения для несовместных событий Р(А и В) = Р(А л В) + Р(А л В) + Р(А Г~ В). Событие А наступит, если наступит хотя бы одно из двух несовместных событий: А г~ В или А Г~ В.
Тогда вероятность события А по теореме сложения лля несовместных событий равна Р(А) = Р(А л В) + Р(А л В). Аналогично событие В наступит, если наступит хотя бы одно из несовместных событий А Г~ В или А л В, и вероятность события В равна Р(В) = Р(А Г~ В) + + Р(А л В). Отсюда получаем: Р(А н В) = Р(А) + Р(А Г~ В) + Р(А Г~ В) — Р(А Г~ В) = = Р(А) + Р(В) — Р(А л В). Следствия 1. Вероятность пересечения любых двух событий А и В вычисляется по формуле Р(А гь В) = Р(А) + Р(В) — Р(А и В). 2. Вероятность суммы любого числа событий вычисляется по форллуле включения-исключения: Р(А,и...иА„)=~ Р(А) — ) Р(АА,)+...+( — 1)" 'Р(А,...А„).
3. Из теорем 1 и 2 для любых событий А и В следует, что Р(А и В) < Р(А) + Р(В). Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными? Решение. Событие А = (вынуты пуговицы одного цвета) можно представить в виде суммы А = А, + А„где события А, и А, означают выбор пуговиц красного и синего цвета соответствен- 4» Е) ЧАСТЫ. Теория вероятностей С' но.
Вероятность вытащить две красные пуговицыР(А,)= —",, 15 а вероятность вытащить две синие пуговицы Р(А )= —. Так С5 С' 15 как события А, и А, не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения 10! 5! Р(А) ю + 5 2!8! 2!3! 0 524 С' 15! 15 2!13! Задача 2. Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% — немецкий, 42% — французский; английский и немецкий — 8%, английский и французский — 10%, немецкий и французский — 5%, все три языка — 3%.
Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков. Решение. Обозначим через А, В и С события, заключающиеся в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы владеет английским, немецким или французским соответственно. Очевидно, доли сотрудников фирмы, владеющих теми или иными языками, определяют вероятности этих событий. Получаем: а) Р(А с5 В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ) = 0,28 + 0,3 — 0,08 = = 0,5; б) Р(А 5.1 В С5 С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) — (Р(АВ) + Р(АС) + + Р(ВС)) + Р(АВС) = 0,28 + 0,3 + 0,42 — (0,08 + 0,1 + 0,05) + + 0,03 = 0,8; в) 1 — Р(А ст В с5 С) = 0,2. й З.З.
Условная вероятность и теорема умножения Говорить о вероятности Р(А) как о мере возможности появления случайного события А имеет смысл только при осуществлении определенного комплекса условий эксперимента, в рамках которого событие может произойти. При изменении условий эксперимента, вообще говоря, изменится и вероятность события А. Поэтому помимо обычной (безусловной) ве- йо Глава З роятности события А рассматривают так называемую условную вероятность события А, вычисляемую при условии, что произошло некоторое событие В. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В (Р(В) > 0), называется число Р(А!Б), которое вычисляется по формуле Р(А ! В) = —. Р(АВ) Р(В) Аналогично определяется условная вероятность события В: Р(В ! А) =, Р(А) > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
