Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 25
Текст из файла (страница 25)
~„, ... если: а) Р(Е,„= 2" ) = —, Р(Е,„= — 2" ) = —; 1 „1 Р(ц 2л) 2-иам) Щ 0) ] 2-2п Р(ц 2л) 2 — (2лмГ 7. Пусть некоторая величина а измеряется прибором без систематической ошибки, но со средним квадратическим отклонением а. Это означает, что результат измерения можно считать случайной величиной? с МС а, О? = о*. Какова вероятность при тоо измерениях получить для среднего арифметического отклонение от величины а более, чем на о/гг? Дать оценки этой вероятности с помощью неравенства Чебышева и ЦПТ. 8.
Пусть гч, Ги ... Сл ... — независимые, одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения г(х). Пусть задана 11, ~,. <х, случайная величина т), =~ ' 10, «,, >х. ВыполнветсЯ ли ДлЯ послеДовательности т1,т1и ... тгл ... закон больших чисел? д.
Пусть для последовательностей (Р,„) и (и„) случайных величин существуют числа а и Ь такие, что 1ип Р(~8„— а! > с) = О, 1(гп Р((τ— Ь( > е) = 0 для любого с > о. Доказать, что: П а) !ипР((4„— а)<е, )ц„— Ь!<в)=1; б) если?(х, у) непрерывна в некоторой точке (а, Ь), то для любого а>о 1ип Р(~У(Г„,п„) — г'(а,Ь)( < в) =1. то. Последовательности ~, ~н ... и т1, П,, ... случайных величин таковы, что 1ип Р(Ц < а) =1 для любого с > о и существует функция л распределения Ях), для каждой точки непрерывности которой выполняется соотношение 1ип Р(т1„< х) = Р(х). Доказать, что и для каждой точки непрерывности г(х) справедливо равенство 1ипР(т)„+Е,„< х)= Р(х).
тбэ йВ ЧАСТЬ Ь Теория вероятностей Вычислительные задачи тз. Средний размер вклада в отделении банка равен босо руб. Оценить вероятность, что случайно взятый вклад не превысит зо ооо руб. тэ. Среднее количество вызовов, поступающих на АТС завода в течение часа, равно Зоо. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит »оо; б) будет не более зоо. зз. По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до чо лет. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из топо новорожденных доля доживших до 5о лет будет отличаться от вероятности этого события не более чем на о,о» (по абсолютной величине).
з». Среднее изменение курса акции компании в течение биржевых торгов составляет о,э%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более чем на Зть. тч. Отделение банка обслуживает в среднем тоо клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а) не более эоо клиентов; б) более т5о клиентов. тб. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна о,у. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из эооо студентов заключена в границах от о,бб до о,у». з7. 8 сРеднем то'то Работоспособного населениЯ некотоРого Региона — безработные.
Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных то ооо работоспособных жителей города составит от д до те% (включительно). з8. Опыт страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор.
Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое число договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью о,д можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от о,г не более чем на о,от (по абсолютной величине). уточните ответ с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. тд. Дисперсия каждой из Зчоо независимых случайных величин равна ч.
Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превысит о,эч. тб» Глава В ф зо. Ежедневно новая сделка заключается с вероятносгью о,з (но не более одной в день). За сколько дней с вероятностью о,д можно ожидать заключения не менее чо сделок? зь В продукции цеха детали отличного качества составляют Во' . В каких пределах будет находиться с вероятностью о,9д число деталей отличного качества.
если взять зо ооо деталей? Дать оценку с помощью неравенства Чебышева и с помощью теоремы Муавра-Лапласа. гг. Театр, вмещающий зооо человек, имеет два разных входа. Около каждого из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы в среднем в дд случаях из ьоо зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Предполагается, что зрители приходят парами и каждая пара независимо от других выбирает с вероятностью о,ч любой из входов. На сколько можно будет сократить число мест в гардеробе, если зрители будут приходить поодиночке и также независимо друг от друга с равной вероятностью выбирать любой из входов? зз. Аппаратура состоит из зоо одинаково надежных и независимо работающих элементов, каждый из которых может отказать в течение суток с вероятностью о,оы На обнаружение отказавшего элемента и его замену требуется го минут, в течение которых аппаратура простаивает.
Найти: а) вероятность того, что время простоя составит не более 4о минут в сутки; б) среднее время простоя аппаратуры в сутки. з4. В поселке з5оо жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальны. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в ьоо дней (поезд ходит раз в сутки)? з5. На заводе ьооо станков, каждый из которых в среднем в течение з4 дней в месяц потребляет электроэнергию независимо от других станков с интенсивнопью зо единиц в день. Какое количество злекгрознергии необходимо заводу ежедневно, чтобы недостаток электроэнергии наблюдался в среднем не чаще двух раз за зоо дней? 1 б~ ЧАСТЬ С Теория вероятностей гб.
Предприятие выпускает Зо' изделий стоимостью тоо руб., Зо' изделий стоимостью зоо руб. и «о' изделий стоимостью Зоо руб. Какова вероятность получить эа топо случайно отобранных изделий не менее этб тыс. руб.? э?. Известно, что т/З всех деталей, сходящих с конвейера, подвергается выборочному контролю на основании некоторого случайного признака.
Пусть через контроль прошло тоо деталей. В каких границах с вероятностью о,дд лежит общее число деталей, сошедших с конвейера? з8. Для проверки эффективности новый метод стимулирования роста производительности труда был введен на тоо предприятиях. При этом на Зг предприятиях введение нового метода вызвало снижение производительности труда, а на 68 — повышение производительности труда. Какова вероятность того, что чисто случайные колебания вызовут не меньшее отклонение от числа 5о (половины общего числа предприятий)? эд. Изготовление детали занимает случайное время, равномерно распределенное от то до эч минут.
Найти вероятность того, что на изготовление эоо изделий понадобится не менее зо,5 ч. Зо. Число посетителей магазина (в день) имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием э8д. Найти вероятность того, что за тоо рабочих дней суммарное число посетителей составит от э8 55одо э9 зчо человек. Зь Вес яблока имеет математическое ожидание эоо г и среднее квадратическое отклонение чо г. Найти вероятность того, что в зоо кг окажется не менее «до яблок.
Зз. Вес арбуза имеет математическое ожидание эо кг и среднее квадратическое отклонение г кг. Найти вероятность того, что в т тонне окажется не более эо5 арбузов. ГЛАВА 9 ЦЕПИ МАРКОВА 5 е.з. Основные понятия Случайным процессом называется функция двух переменных ~(С в), где Г е Т вЂ” время, а е й — элементарный исход. Время может быть непрерывным или дискретным (целочисленным). Случайный процесс ставит в соответствие каждому моменту времени 1 е Т случайную величину г(Г) = ~(С в) как функцию от о в П.
Поэтому процесс обычно для краткости обозначают 4® Пусть заданы моменты времени 0 < г, < г, «... г„< г,, « ... < г„,, и, т > О„и А — любое событие (утверждение), относящееся к случайным величинам С(г,), ..., Ц(г„,),  — относящееся к г,(1„), ..., «(г„), С вЂ” относящееся к г,(г„). Говорят, что процесс обладает марковским свойством, если для него всегда выполняется равенство Р(В ~ АС) = Р(В ~ С), или (в эквивалентной форме): Р(АВ ! С) = Р(А ! С) Р(В ! С).
Марковское свойство означает, что будущее поведение процесса не зависит от его прошлого при условии, что известно настоящее (т.е. текущее значение процесса). Марковским процессом называется случайный процесс, обладающий марковским свойством. Пространством состояний Я случайного процесса называется множество всех возможных значений функции С(С в). Цепью Маркова называется марковский процесс, для которого выполнено хотя бы одно из следующих двух условий: 16у 1~$ ЧАСТЬ Ь Теория вероятностей а) пространство состояний конечно или счетно; б) время дискретно. Далее будем изучать цепи Маркова с конечным или счетным числом состояний, как с дискретным, так и с непрерывным временем. 5 д.а. Цепи Маркова с конечным числом состояний и дискретным временем В этом параграфе рассмотрим цепи Маркова: а) с пространством состояний 5 из конечного числа элементов т; б) с дискретным временем и, принимающим значения О, 1, 2 и т.д.
Обычно полагают, что элементы Х занумерованы числами 1,2,...,т. Для таких цепей марковское свойство может быть записано в форме Р(Е(п+1)=т'„„т ~Р(п)=т'„, Цп — 1)=1„„„., Е(0)=то) = = Р(с(п+ 1) = т„, ~ Е,(п) = т ), Однородными называются цепи Маркова, для которых условные вероятности Щ(п + 1) =,/ ~ с,(п) = 0 не зависят от и. Таким образом, однородная цепь ведет себя с любого момента так же, как с начала (и = О). Далее будем рассматривать только однородные цепи Маркова. Вероятности ре= Р(ч(п + 1) = / ~ ч(п) = 0 называются переходныии вероятностями, а составленная из них матрица Р— .тиатриией переходных вероятностей: Рт~ Рп - Ры Ря Ри -" Рте Р~ Рг "- Р Поскольку в каждой строке матрицы записаны вероятности всех возможных переходов из выбранного состояния (в том числе и вероятности того, что система останется в нем), тбв Глава э ф эти переходы образуют полную группу событий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
