Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Матрица переходных вероятностей имеет вид ЧАСТЬ Ь Теория вероятностей тб. В ремонтной мастерской трудятся ч мастеров. В течение дня на ремонт поступает в среднем то изделий, а каждый мастер успевает отремонтировать в среднем г,5 изделия.
Предполагая, что мастерская работает в стационарном режиме, найти: а) вероятность того, что все мастера свободны; 6) вероятность того, что все мастера заняты; в) среднюю длину очереди; г) среднее число мастеров, свободных от работы. т7. В ремонтную мастерскую, где работает З мастера, поступает в сред. нем й заказа в час. Среднее время выполнения заказа составляет полчаса. Определить среднее число заказов, ожидающих начала выполнения.
т8. Рабочий обслуживает группу из З автоматов. Каждый автомат требует обслуживания в среднем раз в полчаса. Обслуживание занимает в среднем тз мин. Найти: а) стационарное распределение числа неисправных автоматов; 6) среднее число автоматов, ожидающих обслуживания; в) среднее число простаивающих автоматов. тд. Двое рабочих обслуживают машину, состоящую из А блоков. Каждый блок требует обслуживания в среднем один раз в г часа. Обслуживание занимает в среднем тб мин. Найти: а) стационарное распределение числа работающих блоков; 6) среднюю длину очереди; в) среднее число занятых рабочих.
зо. В кассу обращаются клиенты, в среднем по одному за то мин. Сколько в среднем времени должно занимать обслуживание одного клиента, чтобы средняя длина очереди в стационарном режиме не превышала: а) г человека; 6) ч человек? гт. 8 конторе три сотрудника принимают посетителей в порядке об. щей очереди. В среднем обращается по ч человек в час, обслуживание каждого занимает в среднем т8 мин. Найти: а) вероятность того, что все сотрудники свободны; 6) вероятность того, что все сотрудники заняты; в) среднюю длину очереди.
гт. На железнодорожную сортировочную станцию поступает в среднем з состава в час. Обслуживание (расформирование) состава занимает в среднем го мин. В парке прибытия станции есть два пути, на которых производится обслуживание; если оба пути заняты, составы ожидают на внешних путях. Найти: а) вероятность того, что все пути свободны; 6) среднюю длину очереди. ГЛАВА 10 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ $ ао.1. Генеральная и выборочная совокупности Генералыюй совокупностью называется множество объектов произвольной природы, обладающих признаками, доступными для наблюдения и количественного измерения.
Например, в случае социально-экономических исследований это может быть население какого-то города, региона или страны, а измеряемыми признаками могут служить доходы, расходы или обьем сбережений отдельно взятого человека. Если какой-то признак имеет качественный характер (например, пол, национальность, социальное положение, род деятельности и т.п.), но принадлежит к конечному множеству вариантов, он может быть также закодирован числом (как это часто делают в анкетах). Объекты, входящие в генеральную совокупность, называются ее элементами, а их общее число — ее объемом. Пусть число элементов генеральной совокупности равно )У.
Примем каждый из них за элементарный исход в некоторого вероятностного пространства й и припишем всем исходам одинаковую вероятность 1/Ф. Тогда соответствие между объ- 183 ЧАСТЬ Н. Математическая статистика ектами и значениями какого-либо их признака задает случайную величину с = Цет), как функцию на вероятностном пространстве (согласно аксиоматике А.Н. Колмогорова).
Числовые характеристики введенной формально случайной величины отражают важные свойства совокупности исследуемых объектов. В частности, ее математическое ожидание Мс равно среднему значению признака, а функция распределения Р,(х) = Р(с < х) показывает долю объектов, для которых значение признака меньше х. Например, в социально-экономических исследованиях нас могут интересовать средний доход на душу населения, доля людей с доходами меньше прожиточного минимума и т.п. Распределение с часто называют распределением генеральной совокупности (говорят, например, о нормально распределенной или просто нормальной генеральной совокупности).
Будем последовательно извлекать из генеральной совокупности ее элементы, выбирая их случайным образом (наудачу), измерять и записывать значения некоторого признака для них: х„х„..., х„. Этн значения называются наблюдениями (признака), их набор — выборкой, а число сделанных наблюдений— объемом выборки п. Понятно, что наблюдения представляют собой случайные величины, в силу случайности нашего выбора объекта. Они заданы уже на другом вероятностном пространстве — на множестве всех вариантов выбора п элементов из генеральной совокупности. Полученные данные называют наблюдениями случайной величины с, а также говорят, что случайная величина с «принимает значения» х„х„..., х„.
Основная задача математической статистики — сделать научно обоснованные выводы о распределении одной или более неизвестных случайных величин или их взаимосвязи между собой. Выборочным методом называется метод решения этой задачи посредством анализа выборки, полученной в результате многократных наблюдений. Для того чтобы характеристики случайной величины, полученные выборочным методом, были объективны, необходимо, чтобы выборка была репрезентативной, т.е. достаточно хорошо представляла исследуемую величину. В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осушествить случайно, т.е. все объекты генеральной со- ~ таа Глава 1о вокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. для этого сушествуют различные виды отбора выборки.
1. Простым случайным отбором называется отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности (случайным образом). 2. Механическим называется такой, при котором генеральную совокупность делят на столько частей, сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы случайным образом отбирают один объект.
3. Серийным называется отбор, при котором объекты из генеральной совокупности отбираются «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. 4. Стратифицираванный 1расслоенный) отбор заключается в том, что исходная генеральная совокупность объема )ч' подразделяется на подсовокупности (страты) Ф„Ф„..., Ф„, так что лГ, + Ж, + ... + Ф,,= )ч'. Когда страты определены, из каждой из них извлекается простая случайная выборка объема н„н„..., ле Частным случаем стратифицированного отбора является типический отбор, при котором объекты отбирают не из всей генеральной совокупности, а из каждой типической ее части. Комбинированный отбор сочетает в себе сразу несколько видов отбора, образующих различные фазы выборочного обследования.
Сушествуют и другие методы организации выборки. Выборка называется повторной, если отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Выборка называется бесповторвой, если отобранный объект в генеральную совокупность не возврашается. Для конечной генеральной совокупности случайный отбор без возвращения на каждом шаге приводит к зависимости отдельных наблюдений, случайный равновозможный выбор с возвращением — к независимости наблюдений. На практике обычно имеют дело с бесповторными выборками. Тем не менее, когда объем генеральной совокупности У во много раз больше, чем объем выборки и (например, в сотни или тысячи раз), зависимостью наблюдений можно пренебречь. Таким образом, можно считать, что наблюдения х„х„..., х„являются просто независимыми случайными величинами с одинаковым распределением — тем же, что и у исходной случайной величины с.
185 ЧАСТЬ я. Математическая статистика Иногда рассматриваются по-разному распределенные наблюдения (например, в случае неравноточных измерений), а иногда — и зависимые наблюдения, но все зти случаи оговариваются особо. Бывают ситуации, когда затруднительно или невозможно описать объекты, чьи признаки мы наблюдаем. Речь идет об измерении какой-либо величины, которая меняет свое значение случайным образом от одного наблюдения к другому. Это могут быть, например, колебания в ценах акций, курсах валют, случайные ошибки измерения и т.п.
В качестве «объекта» выступает некоторое стечение обстоятельств, которые в принципе могли сложиться различным образом. В этих случаях, тем не менее, все равно применяют изложенную выше статистическую модель, хотя «выбор» здесь осуществляется без личного участия исследователя, какими-то внешними силами. Как уже было отмечено, случайная величина ч имеет определенную функцию распределения Г,(х) и другие числовые характеристики, которые будем называть теоретическими, в отличие от выборочных, которые определяются по наблюдениям.
Ряд наблюдений, упорядоченных по возрастанию, называют ваРиаииоииым Радом. Его члены обычно обозначают х„г хса ... х,м. Наименьшее и наибольшее значения (минимум и максимум) обозначают х м и х и называют их крайними членами вариациоииого ряда. Различные значения признака, появившиеся в процессе наблюдения, называют вариантами. Когда мы наблюдаем дискретную случайную величину, она может принимать одни и те же значения по много раз. Поэтому для зкономии места и времени каждое значение записывают только один раз, с указанием, сколько всего раз оно появилось. Число пи показывающее, сколько раз появилось значение х,в л наблюдениях, называют частотой данного значения, а отношение тт,. = л/л — относительной частотой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
