Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 30
Текст из файла (страница 30)
10.5. 0 7 З 5 х Рис. ве.з 193 7 Тсвеия ВФВойтиОс$ФВ откуда следует утверждение теоремы. Смысл теоремы Гливенко — Кантелли заключается в том, что при увеличении объема выборки и у эмпирической функции распределения исчезают свойства случайности и она приближается к теоретической функции распределения. Эмпирическая функция распределения служит оценкой функции распределения генеральной совокупности.
График эмпирической функции распределения есть неубывающая ступенчатая кривая со скачками, равными 1/и в точках вариационного ряда (если значения не совпадают). Если и,. точек вариационного ряда совпадают и равны хл то скачок в точке х,. равен л/л. ЧАСТЬ 11. Математическая статистика Задача 4. Пусть х„х„..., х„— выборка независимых наблюдений из непрерывной генеральной совокупности с функцией распределения Г(х) и плотностью распределения р(х). Найти функции распределения и плотности распределения крайних членов вариационного ряда: х и и х Решеиие. Из определения функции распределения следует, что Г (у)=Р(х <у)=Р(х,<у, х,<у,...,х„<у)=Р"(хт<у)=Г"(у). Тогда р„(у)=[Р„(у)]'=[Р,"(у)]'=лРс" '(у) Рс (у)=лРс" '(у) рс(у).
Аналогично Р„(у)=Р(х и <у)=1-Р(хм >у)=1-Р(х, >у, хд >у,...,х„~у)= =1-[1- ~„'(у)]". Отсюда получаем функцию плотности р„(у) =-и[1-Р(у)]" ' ( — Р„'(у)) = и[1-Рс(у)]" ' )т (у). Задача 5. Построить гистограмму частот по заданному распределению выборки. Решение. Найдем сначала плотности частот, т.е. величины л/Л. Для данного примера Ь = 5. Получаем: т9а Глава 1о ф Отложим на оси абсцисс (рис. 10.б) интервалы длиной л = 5 каждый, а затем проведем над ними отрезки, параллельные оси х, на расстояниях от нее, равных соответствующим значениям плотности частоты (ось ординат).
л,./л 5 22 22 х. 2 7 !2 Рис. во.б Задача б. Построить гистограмму относительных частот по заданному распределению выборки. Решение. Найдем относительные частоты и плотности относительных частот. г95 ЧАСТЬ П. Математическая статистика Построим на оси абсцисс (рис. 10.7) частичные интервалы 7т = 5, затем проведем параллельно им отрезки, отстоящие от оси х на соответствующие значения плотности относительной частоты. те /тт 0,08 0,04 0,02 !О 15 20 25 30 35 х Рис. ао.т Глава то ф З. Построить гистограмму относительных частот по следующему распределению выборки. 4.
Построить полигон относительных частот по следующему распре. делению выборки. ч. Для изучения распределения заработной платы работников определенной отрасли обследовано тоо человек. Результаты представлены в следующей таблице. Число человек 190...192 200...202 19 196...198 206...208 22 208...210 198...200 28 Построить гистограмму и график накопленных частот.
6. В ОТК были измерены диаметры Зоо валиков из партии, изготовленной одним панком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от номинала, нм, даны в таблице. Построить гистограмму и график накопленных частот. Зарплата а долларах США 192...194 194...196 Зарплата в долларах США 202...204 204...206 Число человек 88 ЧАСТЬ Н. Математическая патистика 2. В таблице представлены данные по числу сделок на фондовой бирже за квартал для лоо инвесторов. Построить гистограмму и график накопленных частот. 8.
В таблице представлены данные о месячном доходе жителя региона, руб., по выборке из топо жителей. Построить гистограмму и график накопленных частот. Указание. В качестве верхней границы последнего интервала использовать Зооо.
д. В таблице представлены данные об удое тоо коров на молочной ферме за лактационный период, центнеры. х, 4...6 6...8 8...10 10...!2 12...!4 14...16 16...18 18...20 20...22 22...24 24...26 л, 1 3 6 11 15 20 14 !2 1О 6 2 Построить гистограмму и график накопленных частот.
зо. Проведено исследование посещаемости популярного интернетсайта. Много часов подряд регистрируется число посетителей, посетивших сайт в течение данного часа. Результаты исследования представлены в таблице. Построить гистограмму и ~рафик накопленных частот. Глава то ® зт. Проведено исследование посещаемости популярного интернетсайта. Много часов подряд регистрируется число посетителей, посетивших сайт в течение данного часа. Результаты исследования представлены в таблице.
Построить гистограмму и график накопленных частот. зз. Построить гистограмму и график накопленных частот по данному распределению выборки. зЗ. Результаты исследования прочности зоо образцов на сжатие представлены в виде интервального статистического ряда в таблице. Построить гистограмму, полигон и график накопленных частот. т99 ! ГЛАВА 11 ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ $ за.а. Выборочные характеристики и точечные оценки Выборочными характеристиками называются функции от наблюдений, приближенно оценивающие соответствующие числовые характеристики случайной величины. В случае равноточных измерений в качестве оценок математического ожидания, дисперсии, начальных и центральных моментов используются следующие выборочные характеристики: 1 1) выборочное среднее — х = — ~х,; и; 2) выборочные дисперсии — а = — ~,(х, — х); "1 1 — к и,, з = — ~(х, — х); г 1 — 1.
и — 1,, 3) выборочные начальные моменты lг-го порядка— О а„= — ~ х,.; и; ~ 4) выборочные центральные моменты )г-го порядка— л 11„= — ) (х, — х)". и,, 201 ф ЧАСТЬ П. Математическая статистика В качестве других используемых на практике выборочных характеристик можно назвать выборочную моду х, равную значению варианты с наибольшей частотой, и выборочную медиану х „, равную значению, стояшему в середине вариационного ряда (либо полусумме двух значений, с номерами )с и )с + 1, при четном числе наблюдений и = 2)с). Иногда рассматриваются такие числовые характеристики распределения, как коэффициент вариации и'= о/Мг„асимметрия 13=)тт/ттт и эксцесс и =р4/о~-3.
Им также соответствуют выборочные характеристики: выборочный коэффициент вариации Р=а/х, выборочная асимметрия 13=1тт/ат, выборочный т ч эксцесс ~=Н4т~ — 3. Все эти характеристики не совпадают с соответствующими характеристиками генеральной совокупности, поскольку являются случайными величинами. Распределение указанных случайных величин однозначно определяется распределением генеральной совокупности. Заметим также, что вычисление выборочных характеристик для какого-либо набора полученных в исследовании данных может быть полезно даже без предположения, что наблюдения представляют собой независимые и одинаково распределенные случайные величины.
Точечными оценками параметров распределения называются функции от наблюдений, предназначенные для приближенного оценивания этих параметров. Если распределение параметризуется какими-то числовыми характеристиками (например, нормальное распределение однозначно задается своими математическим ожиданием и дисперсий), то соответствуюшие выборочные характеристики являются их точечными оценками. Чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Эти требования заключаются в том, что оценка должна быть состоятельной, несмещенной и, желательно, эффективной.
Оценка О называется состоятельной, если при неограниченном увеличении выборки она сходится по вероятности к оцениваемому параметру: 11шР(~О„-О~<а)=1 для любого а > О. я-ч аоа Глава 11 ай Свойство состоятельности — асимптотическое, оно может проявляться и при столь больших объемах выборки, которые на практике не встречаются. Оценка в„называется несмещенной (оценкой без систематической ошибки), если ее математическое ожидание при любом и равно оцениваемому параметру: ьув = О, Несмешенность оценки характеризует ее «доасимптотические» свойства, т.е. является показателем ее «хорощих» свойств при любом конечном объеме выборки.
Оценка называется эффективной (в некотором классе оценок), если она имеет минимальную дисперсию в этом классе. Задача 1. Найти выборочное среднее по выборке объема п = 20. Решение. Для упрощения расчетов перейдем к условным вариантам и,. = х, — 2620. Тогда й =(2(-60)+ 3(-20)+10 х О+1х 80) /20 =1 и х= 2620+ й = 2621. Замечание. В качестве числа, которое вычитается при переходе к условным вариантам (условный нуль), обычно выбирается варианта, стоящая в середине ряда, либо та, для которой частота максимальна (выборочная мода). В данном примере они совпадают.
5 аа.а Статистическая устойчивость основных выборочных характеристик На практике важно знать, насколько выборочные характеристики отличаются от истинных значений характеристик генеральной совокупности. 203 Е ЧАСТЬ Ш Математическая статистика Пусть с имеет характеристики Мс = а, Юс = стт, Мс" = а„, М(с — Мс)" = 1т„, Г(х) = Р(Ч < х). Соответствующими выборочными характеристиками будут х, а', а„, 1т, Г„(х).
Докажем, что х является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания. При этом воспользуемся известным неравенством Чебышева Р([т) — Мт)[>а)< —,, Ют1 справедливым для любой случайной величины т1 (имеющей математическое ожидание и дисперсию) и любого фиксированного а> О. Вычислим математическое ожидание и дисперсию выборочного среднего: (1" 1 1" иа Мх =М1 — , 'х,.~=-, 'Мхт = — =а, 1,леи ',1 ит, ' л так как Мхт= Мс, т.е. выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания. (1" ) 1" ла а Юх — Ю вЂ” ) х.
— — ~ Юх — — — — -+О при и -э ю, ~пм, '! и',, ' и' и так как Юх,. = 1Ц. Отсюда в силу неравенства Чебышева для любого фиксированного а > О Юх ат Р([х-а[>а)< —,= —, -+ О при и -э о. па' Итак, среднее арифметическое выборки х сходится по ве- роятности к математическому ожиданию случайной величины, т.е. является состоятельной оценкой математического ожида- ния. Аналогично доказывается состоятельность оценок других начальных моментов а„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
