Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии. 219 ! ЧАСТЬ Н. Математическая статистика 15. В ОТК были измерены диаметры 3оо валиков из партии, изготовленной одним станком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от номинала, в нм, даны в таблице. Найти выборочное среднее, выборочные дисперсии, выборочную моду. !6. В таблице представлены результаты наблюдений х, случайной величины 8.
Найти выборочное среднее и, исправленную выборочную дисперсию з', выборочное среднее квадратическое отклонение з. а) с — число сделок на фондовой бирже за квартал; л = 4оо (инвесторов); х, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 л, 146 97 73 34 23 1О 6 3 4 2 2 б) с — месячный доход жителя региона !в руб.); л тооо !жителей); Указание. В качестве верхней границы последнего интервала ис- пользовать 3ооо; в) С вЂ” удой коров на молочной ферме за лактационный период, центнеры; и = тоо (коров).
х, 4...6 6...8 8...10 10...1212...1414...1616...1818...2020...2222...2424...26 и 1 3 6 !1 15 20 14 12 1О 6 2 220 Глава ы т7. В таблице приведено распределение бо рабочих по производительности труда С (единиц за смену), разделенных на две группы: Зо и зо человек. Вычислить общие и групповые выборочные средние и дисперсии. т8. Расстояние до цели определено двумя способами. Точнопь первого способа характеризуется средним квадратическим отклонением а, = Зо м, результат измерения х = тгг8о м; точность второго — средним квадратическим отклонением о, = до м, результат измерения х, = тчбо м.
Определить приближенное значение расстояния до цели и оценить его точность. тд. Диаметр втулки определен четырьмя способами, точность которых а, =цб мм*, о, =з мм', о, =щб мм', о; =З мм'. Результаты измерений: х,= тд мм, х, = т8 мм, х,= го мм, х,= гт мм. Определить приближенное значение диаметра втулки и оценить его точнопь. зо. При измерении диаметра детали одним прибором установлен средний диаметр х, то мк, и,- 8. При измерении другим равно- точным прибором — х, = тз мк, и, = тб. Определить наиболее точную оценку диаметра по измерениям двух приборов.
зц Трое исследователей провели выборочное обследование доходов населения. Первый обследовал то семей и определил средний годовой доход заоо у.е., второй — зч семей и зало у.е., третий— тч семей и забо у.е. Построить наиболее точную оценку среднего годового дохода. гг. Для изучения распределения заработной платы работников некоторой отрасли обследовано тоо человек. Результаты представлены в следующей таблице. Найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии зарплаты.
гзт ЧАСТЬ П. Математическая статистика гЗ. Производство зерна в России в тддб-зооз гг. представлено таблицей. Найти выборочное среднее, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, выборочную медиану, крайние члены вариационного ряда. га. Производство пшеницы в России в тдд5-гост гг.
представлено таблицей. ы! ы Найти выборочное среднее, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, выборочную медиану, крайние члены вариационного ряда. зч. Урожайность зерновых культур в России в тддз-аоот гг. представлена таблицей. Найти выборочное среднее, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения. выборочную медиану, крайние члены вариационного ряда. гб.
Численность населения городов России с числом жителей более тмлн чел. на зоог г. представлена таблицей. 222 Глава 1з Найти выборочное среднее, выборочные дисперсии. средние квадратические отклонения, выборочную медиану, крайние члены вариационного ряда. г7. Решить предыдущую задачу, исключив из выборки Моснву и Санкт- Петербург как города федерального значения. э8. При измерении веса эо шоколадных батончиков (с номинальным весом 5о г) получены следующие значения (в граммах): 49д' 5о.о' 49,7' 5о,5' 48д; 5о,З' 49.7' 5цб; 49 8: 5о М 49,7; 48,8; 5ц4; 49д; 49,6; 5о,9; 48,5; 5г,о; 5о,7; 5о,б. Найти выборочное среднее, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, выборочную медиану, крайние члены вариационного ряда. э9. В таблице приведены сгруппированные данные о коэффициентах соотношения заемных и собственных средств на тоо малых предприятиях региона.
Найти выборочное среднее, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения. 223 ЧАСТЫ С Математическая статистика Зо. Проведено исследование посещаемости популярного интернетсайта. Много часов подряд регистрируется число посетивших сайт в течение данного часа. Результаты исследования представлены в таблице. Найти выборочное среднее. выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, выборочную моду. Зт. Проведено исследование посещаемости популярного интернетсайта. Много часов подряд регистрируется число посетивших сайт в течение данного часа.
Результаты исследования представлены в таблице. Найти выборочное среднее, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, выборочную моду. 22Л 1 Глава ы ф Зг. 8 таблице приведены результаты измерения (в сантиметрах) роста случайно отобранных топ аудентов.
! 70...174 162... 166 166... 170 154...158 158...162 174...178 178...!82 28 10 26 12 14 Число студентов Найти выборочное среднее, выборочные дисперсии, выборочную моду. ЭЗ. Найти несмещенные оценки математического ожидания и диспер- сии по данным выборки. З4. Для определения точности измерительного прибора, систематическая ошибка которого равна нулю, было произведено 5 измерений. Результаты их даны в таблице. Найти несмещенную оценку дисперсии ошибок измерительного прибора, если значение измеряемой величины: а) известно и равно 28оо м; б) неизвестно.
З5. Даны результаты 8 независимых измерений одной и той же величины (длины протяжки) прибором, не имеющим систематических ошибок: Збд, З78, З15, 4го, З85, 4от, Зуг, З8З см. Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерения, если: а) номинальная длина протяжки известна и равна З75 см; б) номинальная длина протяжки неизвестна. Зб. Трое исследователей провели независимые выборочные обследования доходов населения.
Первый определил средний годовой доход Згоо у.е. с точностью о,= топ у.е., второй — гдов у.е. с о, = 5о у.е., третий — оооо у.е. с о, = 40 у.е. Построить наиболее точную оценку среднего годового дохода и найти ее дисперсию. в трррир рерортнасзрв ГЛАВА 12 ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ $ аа.а. Бета- и гамма-функции Бета-функцией, или интегралом Эйлера вервого рода, называ- 1 ется интеграл вида В(а, Ь) = ~х' '(1-х)' 'Их, где параметры и > О, Ь > О.
Введенный интеграл сходится для любых положительных значений параметров. Свойства бета-функции: 1. В(а, Ь) = В(Ь, а). 2. В(а,Ь)= В(а,Ь-1), В(1, 1) = 1. Ь-1 а+Ь-1 (и — 1)!(е — 1)! Отсюда, в частности, следует, что В(т,и) = (и+ и!- 1)! «-! 3. В(а,Ь)=) „,ду. о(1+ у) ~О-1 В частности, В(а, 1 — а)= ! — Ыу= ,'1+ у з!пои Гамма-Функцией, или интегралом Эйлера второго рода, называется функция вида Г(а) = /х" 'е 'ех, где интеграл сходится о для любого значения параметра а > О. ггб Глава ог ф Свойства гамма-функции: 1. Г(а + 1) = аГ(а), откуда следует Г(а+ и) =(а+ и — 1)(а+ и-2)...(а+ 1)Г(а). 2.
Г(1) = 1. 3. Г(и + 1) = и! 4. Г(1/2) = сГл и( Ь)- () () Г(а+ Ь) б. Г(а)Г(1 — а) = — (формула дополнения). з!пан к (х! 7. Г(х+1) 1 — ~ /2их, х-о о (формула Стирлинга). '1е~ Докажем свойства 1-4. 1) Вычислим интеграл Г(а+ 1) = ~ х е "о!х, интегрируя по о частям. Получим Г(а + 1) = ~ х е "о!х = — х е "~о + о + а ) х 'е "йх = аГ(а). о 2) Очевидно, Г(1) = ~ е "о(х = 1. о 3) Применим принцип математической индукции. Утверждение верно для п = О. Пусп оно выполнено для и = /с — 1: Г(!г) = =(и — 1)! Тогда по свойству 1: Г(/о + 1) = lгГ(/с) = )о(н — 1)! = (о! 4) Вычислим интеграл методом замены переменной (у — х!/2) < Г(1/2) = )х"'е "о(х=2)е л Иу= )е л = Гл (интеграл о о Эйлера — Пуассона).
Поскольку гамма-функция не выражается через элементарные функции, ее значения табулированы. Обычно в таблицах представлены значения Г(х) для 1 < х < 2, и этого достаточно для вычисления функции при любых х > О (с помощью свойства 1). ггу ! чАсть ц. математическаи статистика Гамма-функция стремится к бесконечности при х -+ 0 и при х -+ + е. График тамма-фуикмии Г(х) 20 15 1О О 1 2 3 4 х Рмс, аа.а На рис. 12.1. представлен график гамма-функции на отрезке 10,01; 51.
Примеры: 1. Г(3/2) = Г(1 + 1/2) = -Г~-~= —; 1/й Я 2 1,2/ 2 2. Г(4,7) = 3,7 х 2,7 х 1,7 х Г(1,7) = 3,7 х 2,7 х 1,7 х 0,908б = = 15,43; 3. Г(0,7) = Г(1,7)/0,7 = 1,298; 4. Пользуясь свойствами гамма-функции, можем вычислить: ! 5 ! à — à — — х — х — à — х — Г '5,2 2) 5х Зх1 5я й = —. 4!Х24 2 Задача 1. Доказать формулу, связывающую бета- и гамма- функции: Г(а)Г(Ь) Г(а+ Ь) 228 ! Глана ьо аа Решение. По определению бета-функция равна интегралу 1 В(а, Ь) = )х' '(1-х)' 'ь(х. Сделаем замену переменных, положив о х У у= —, тогда х= — и 1-х 1+у а-1 а-1 ( о (1+У) 1+У) (1+У) о О+У) Для доказательства равенства преобразуем гамма-функцию, сделав в интегральном выражении для Г(а) замену х = 1У, тогда Г(а) = ~х" 'е "о(х = ') Г" 'у" 'е "Му.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
