Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 35
Текст из файла (страница 35)
р (Х) Плотность раснределенил Фишера 1,2 1,О 0,8 0,6 о,а о,г 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 х Рис. аг.9 Общий вид графика плотности распределения Фишера при различных значениях параметров представлен на рис. 12.10. Рис. ааао 239 ЧАСТЬ Гс математическая статистика 5 за.б. Гамма-распределение Д вухпараметрический закон гамма-распределения случайной величины с е т(а, )с) описывается функцией плотности: а — х" 'е ~, х>0, Р(х)= Г(а) О, х<0, где Г(а) — гамма-функция Эйлера, а > 0 — параметр «формы», Х > 0 — параметр «масштаба». Если )с = 1, случайная величина т(а, 1) зависит от одного параметра а и подчинена однопараме- трическпму закону гамма-распределения.
Основные свойства гамма-распределения следующие: 1. Если случайная величина имеет гамма-распределение с, е т(а, Х), то сс е т(а, Х/с), в частности Зсс е т(а, 1). Доказательство. Действительно, пусть т) = с~. Найдем функ- цию распределения Р„(у). По определению имеем и я Г„(у)мР(т)<у)мР(се<у)=Р ~<У1мРс~4= ~' — х' 'е '"юйс= (Я Г(а) аа ~ с,т с Г(а),' Следовательно, функция плотности случайной величины т) = сС имеет вид Р„(У) = О, у<0. Отсюда следует, что если с = х, то тсс е у(а,1). 2. Сумма любого числа независимых гамма-распределенных случайных величин с одинаковым параметром масштаба Л и параметрами формы а„а„..., а„также подчиняется гамма- распределению с параметрами а = а, + а, + ... + а„и Х. Доказательство.
Рассмотрим случай, когда 4 и т) являются однопараметрическими гамма-распределенными случайными величинами с параметрами а и б соответственно (а > О, 0 > 0), гао Глава оа р (х) = — х" 'е ", р (х) = — хо 'е ", х > О. 1 „, „1 Г(а) " Г(0) Поскольку 1 и о) независимы, совместная плотность распределения равна произведению функций плотностей сомножителей: р(х, у) = р,(х)р„(у), и функция плотности суммы вычисляется с помощью свертки р, (~) = ()р(хд-хУ1х= ) )х(х)р,(е-х)о(х. Подставляя в последнюю формулу выражения для плотностей составляющих, получим р (~) = 1 — х" 'е *1 „(х) — (е-х)о 'е '™1 „(е-х)Нх, о+о 4 Г(а) $оач 1 (Р) ~о "> где ~о„> — индикаторная функция множества 1) ~ К', опреде- ляемая соотношением Отсюда следует, что 0 ь е — х <+оо, ) 1, е-х<0 10, хам, х>е.
Таким образом, получаем р„(е)= о — х" 'е "— (е-х)о 'е ""1ох(х)о(х= оо Г(а) Г(13) о ( х" '(е-х)о 'е 'оХ~ = — =и Нх = щи = Г(~)Г(Р) г 1 « о-~ Г(а)Г(Р)о Г(а)Г(р)о $(еи)" '(е-еи)о 'е 'иЯи= ~и" '(1-и)о 'о(и= е"'о 'е ' Г(а)Г(р) Г(а)Г((3) Г(а +(3) аао т.е. А = 1. Покажем, что если г, и П независимые случайные величины, то случайная величина т = Р, + о) подчиняется гамма- распределению с параметром а+ б. Пусть 4 е у(а, 1) и о) е т(К 1). Функции плотностей распределения случайных величин 4 и о) соответственно равны ЧАСТЬ П.
Математическая статистика Поэтому функция плотности распределения суммы с + т), равная ("'а) 1е ' Г( Р) соответствует гамма-распределению с параметром а + !3, т.е. с, + ТТ Е у(а+ !3, 1). 1 из первого свойства следует, что ч, = — ч е у(а, А) и ТТ, = 1 = — т! е у(!3, )с). Тогда в силу доказанного получаем, что случай- 1 ная величина 4, + тт, = — (с + тт) е у(а+ 13, А). По индукции теперь можно доказать, что сумма любого числа независимых гамма-распределенных случайных величин с одинаковым параметром масштаба я. и параметрами формы а„а„..., а„также подчиняется гамма-распределению с параметрами а = а, + а, + ...
+ а„и )с. 3. Распределение х„' является частным случаем гамма-раса ! (л 1! пределения с параметрами а = —, )с= —, т.е. Х'„=у~ —, — ~. 2' 2' " 1,2 21 Доказательство. Достаточно подставить параметры а 1 2' Х = — в формулу плотности гамма-распределения и сравнить с 2 формулой плотности распределения хи-квадрат. Основные числовые характеристики случайной величины у(а, Х) следующие: а 1) математическое ожидание — М = —; а-1 2) мода — х = — при а>1; Х а 3) дисперсия — 23 = —; Тс' 2 4) асимметрия — !3 = —; Га 6 5) эксцесс — и = —. а гаг Глава гг Гамма-распределение иногда используют при моделировании реальных ситуаций; с его помощью описывается, например, распределение доходов или сбережений населения в некоторых определенных случаях.
Задача 5. Пусть случайная величина» имеет плотность распределения вида С х" 'е ", х > О, р(х,а) = О, х~ О. Найти константу С, математическое ожидание М» и дисперсию И,. Решение. По свойству плотности распределения имеем ) р(х)сгх=С)х |е "сйс=СГ(а)=1, а>О. о 1 Отсюда получаем, что С= —. Г(а) Вычислим числовые характеристики распределения. М»= ~хр(х)сгх= / — х"е "сгх= — )х' "' 'е "ссх= =а. 0 Г(а) Г(а) о Г(а) Для нахождения дисперсии вычислим второй начальный момент. М»г ~хгр(х)с(х = 1 ~х' "гг 'е "дх Г(а+2) Г(а) Г(а) (а+ 1)аГ(а) Г(а) Тогда дисперсия равна И,=М»'-(М»)' =а(а+1)-а' =а.
Общий вид графика плотности гамма-распределения при различных значениях параметров представлен на рис. 12.11. На рис. 12.12 представлен график плотности гамма- распределения при а = 3 и )с = 1. ЧАСТЫ 1. Математическая оатистика РИс. 12.11 Плптнссты амма-распрелеления р(х) 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0 2 4 6 8 х РИс. 12.12 Задача б. Пусть случайная величина т1 подчиняется стандартному нормальному закону распределения: т) и Ф(0, 1).
Найти функцию плотности случайной величины Ч= ~ . К какому 2 параметрическому семейству распределений относится с? Решение. Поскольку случайная величина т) и Ж(0, 1), ее плот- -Т постыл распределения будет функция р„(х)= — е '. Найдем чт'22 функцию распределения случайной величины с,. Рс(х)=Р(4<х)=Р( — "<х)=Р(т)' <2х)= 2 244 1 Глава 1а Рф! < /2хх), х > О, О, х<0 4ь га = — ~ехр( — )й=~ — =и; Р =2и; 2М(=2г)и; /2я о 2 12 2" „йи 1* —,' = — ~е "— = — ~и 'е "г(и.
р„(г)ге= — 2к а(и ~1и ~ ай= — = — = =, =,/2ии~= Из этого равенства получаем плотность распределения случайной величины Г в виде 1 ! р (х)= — х 'е ", а эта функция является плотностью однопарамегрического гамма- распределения с параметром, равным а = 1/2, т.е. т(1/2, 1) = = т(1/2). — ~ ~ — ) е "йи = — ~ и' 'е "Ни = — Г(а) =1. л з(.л) л" ~ о о Л' Отсюда следует, что С= —. Вычислим теперь математическое ожидание: МЧ= 1хр(х)дх= — 1х е ~6х=~Хх=и в(х= — = -Г(а);" -~ — - ЛЛ" 1 г „„Г(а+1) а Г(а) Л " Г(а)л Л ай Задачи 7. Пусть распределение случайной величины 4 за1Сх" 'е ~, х>0, дано плотностью р(х,а,Л) = 10, х<0. Найти константу С, математическое ожидание и дисперсию ~.
Решение. Поскольку ~р(х)г(х=1, имеем (Сх 'е ~йх=1. в Сделаем замену, положив Лх = и, Ла(х = йи, получим ЧАСТЬ П. Математичесная статистина Для вычисления дисперсии аналогично находим второй начальный момент Мс'= )х'р(х)ттх= — )х"ме ~тех= Лх=и, Ихм— Г(а), Л" 1 ( „и „1 Г(а+2) а(а+1) Г(<~) Л"т 1 Г(а)р т Лт Тогда дисперсию находим по формуле 23~=М4 -(М~) = а(а+ 1) а' а Л' Л' 5 жу. Бета-распределение Случайная величина с е 13(а, Ь), подчиняющаяся закону бета-распределения (В-распределение) с параметрами а > О и Ь > О, имеет плотность распределения Г(а+Ь)х' '(1-х)' ' р (х) = Г(а)Г(Ь) О, хе[О, Ц. Основные свойства бета-распределения следующие: 1.
Если ~, е т(ам Л) и 4т е т(а„Л) — две независимые гамма- распределенные случайные величины, то отношение т) = 41+Ч2 имеет бета-распределение с параметрами сс, и ат: т) е (3(ап ат). 2. Случайная величина (3(1, 1) распределена равномерно на отрезке 10, 11. 3. Функция распределения квадрата стьюдентовской величины г' связана с функцией распределения случайной величины б соотношением 4. Функция распределения случайной величины У(л, и) связана с функцией распределения случайной величины (3 соот- ношением Глава >1 5.
Между функцией распределения случайной величины Г) и биномиальным распределением существуют соотношение Рв< „„,(х)= ч~ С„"х"(1-х)" ". б. Имеет место симметрия: Рвов>(х) = Рв>4,>(1 х) и РГ4,4>(х) = = 1 гв>4,>(1 х). Основные числовые характеристики случайной величины >З(а, Ь): 1) математическое ожидание (среднее) — М В>а > П4Ь' а-1 2)мода — х = приа>1,Ь>1; а+Ь-2 аь 3) дисперсия — Ю„, и = (а+Ь) (а+Ь+1) г(ь- ) й+ь+1. 4) асимметРиЯ вЂ” Г>в = (а+Ь+2) /аЬ 3(а+ Ь+ 1)(2(а+ Ь)'+аЬ(а+ Ь-6)'1 аь(а+ Ь+ 2)(а+ Ь+ 3) Бета-распределение используется для описания некоторых реальных распределений, сосредоточенных на отрезке [0,11, например, для описания распределения величин субъективных вероятностей, полученных в ходе экспертного опроса. На рис. 12.13 представлен график плотности бета-распределения с а = 3, Ь = 5.
Плотность бета-распределения у=ье>а(х; 3; 5) Р(х) 2,О >,5 >,о 0,5 о,о о,в х ОД 04 о,о Рис. 12.13 ЧАСТЬ П. Математическая статистика 51а.8. Приложение законов распределения в математической статистике. Теорема Фишера При построении экономико-математической модели особенно важным является исследование свойств конечной выборки при фиксированном и, когда выборка х„х„..., х„сделана из нормальной генеральной совокупности Ю(а, от).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
