Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Вычислим математическое ожидание выборочных началь- 1" „1" „па ных моментов: Ма„мМ[ — Ч ~х, [ = — ~Мх, = — =а„. или' и;, и Следовательно, выборочные начальные моменты являются несмещенными оценками теоретических начальных моментов. Очевидно, что для любого Iс справедливо равенство Ю(с") = М(стт) — (Мст)т = а — а '. готт Глава гг ф Учитывая, что х,, независимые случайные величины, получим соотношение 1" л ! " „аг — а„ Юа„=В( — ) хг)= — г~ ~Юхг = " "-+О при и -+ г, пг, и ла и что является достаточным условием для сходимости по вероятности.
Действительно, в силу неравенства Чебышева для любого фиксированного е > О г Р(]ал — ал] ~а) я —,= '"," -+О прил-+ г, т.е. выборочный начальный момент ~„Ь-го порядка является состоятельной оценкой начального момента а„генеральной совокупности.
Покажем, что выборочная дисперсия о' = — ') (хг-х)' явля- и; ~ ется смещенной оценкой дисперсии И, = аг генеральной совокупности. Поскольку выборочная дисперсия, как и теоретическая, не изменяется от прибавления к значениям случайной величины фиксированного числа, то для любого числа Ь выборочную дисперсию можно записать в виде аг =-~(х,. -Ь)г -(х-Ь)г. и аа Действительно, доказательство утверждения вытекает из следующей цепочки равенств: -г г г о = — ~(хг-х) = — ~[(х,.-Ь)-(х-Ь)] = пг 1 и;, =- ) ](х,-Ь)'-2(х, -Ь)(х-Ь)+(х-Ь)г]= и ла г — ] ( — г = — ~(х,. -Ь) -2(х-Ь)-')" (хг -Ь)+ — ","(х-Ь) = и ла и! ~ пг 1 г =-~~ (хг-Ь) — — ]2~х,.-2пЬ-пх+пЬ]= и ла и г1 ] л х-Ь Ю = — ~(х,.-Ь)'- — ]2~ х,.-пЬ вЂ” '~ хг]= и;, и ла г — г ] г = — ~(хг - Ь) - (х - Ь) ] — ~ к, - Ь] = — г '(хг - Ь) -(х - Ь) .
ппа и ла и; 1 гоа 1й ЧАСТЬ 11. Математкческаа статистика Следствие. Если М~ = а есть среднее генеральной совокупности, то л и= — Ч ~(хк-а)' — (х-а)'. и;, Вычислим математическое ожидание выборочной дисперсии: Мо'=М вЂ” ~(х,-а) -М(х-а) = — ~М(х,.-а) -Рх= "т ! а — т ! т п„ п ьч ~о~ ~~ -1 = — — — = — о' п и и Отсюда следует, что и' является смещенной оценкой дис- персии. ] л Несмещенной оценкой дисперсии будет а' = —,)„(х, -х)', так как и-1,, ],и — 1 ) и 1 и-1 и Поэтому оценку о' (при получении которой сумма делится на и) называют смещенной, или неисправленной выборочной дисперсией, а оценку У (при получении которой сумма делится на и — 1) называют несмещенной, или исправленной выборочной дисперсией.
Выборочным средним квадратическим отклонением (исправленным или неисправленным) называют пололсительный корень из соответствующей выборочной дисперсии. Эта оценка теоретического среднего квадратического отклонения о =,Я, к сожалению, в обоих случаях является смещенной. Далее по умолчанию мы будем иметь в виду исправленные оценки. Обычный закон больших чисел неприменим к центрированным величинам, так как после центрирования они становятся зависимыми. Однако с помощью теоремы Слуцкого можно доказать, например, что выборочная дисперсия сходится по вероятности к теоретической дисперсии, если последняя существует.
~ Теорема 1 (теорема Слуцкого). Пусть функция Ях,у) непрерывна в точке (а,Ь) и случайные последовательности Х и У сходятся по вероятности соответственно к числам а и Ь. Тогда ,1]Х, У„) сходится по вероятности к Яа, Ь). ась Глава 11 ав Доказательство. Если Г(х, у) непрерывна в точке (а, Ь), то для любого е > О существует 5 > О такое, что при !х — а! < 5 и !у — Ь! < 5 выполняется неравенство !Ях, у) — Г(а, Ь) ! < в. Тогда, если !Ях, у) - Яа, Ь) ! > е, то справедливо хотя бы одно из неравенств: !х — а! > 5 или !у — Ь! > 5. Рассмотрим событие (ьн!ЯХ, У„) — Яа, Ь)! ~е) ~(ек!Х вЂ” а! ~5) н(вп! г'„- Ь!>5). В силу теоремы сложения получаем Р(!У(Х, Г) — Ла, Ь)! >а) <Р((!Մ— а! >5).(! ӄ— Ь|>5)) = = Р(!Х вЂ” а! >5) + Р(! 'г'„— Ь! >5) — Р(!Х вЂ” а! >5,! г„— Ь! ~5) < <Р(!Х- а! >5)+ Р(!у-Ь|>5), причем Р( ! Х вЂ” а ! > 5) -+ О и Р( ! ӄ— Ь ! > 5) -+ О при и -+ со.
Следовательно, вся сумма стремится к нулю, т.е. 1пп Р(!ЯХ, У) — — Г(а, Ь)! > в) = О илиг(Х, г'„) — ' — л г(а, Ь). Для доказательства сходимости по вероятности выборочной дисперсии к теоретической достаточно рассмотреть функцию Ях, у) = х — у', положив 2 Х = — ~х,' -+а, =а'+ а', )' = х -+ а (при и -+ э), п лч и применить теорему Слуцкого, поскольку выборочная дис- персия представима в виде а = — ~(х,.-х) = — ~ х, -х .
2 ~ 2 — ~ 2 — 2 и; ! и лч Конечно, сходимость выборочной дисперсии можно доказать и проще. Однако подобным образом доказывается сходимость по вероятности всех выборочных центральных моментов и, — '-+ в„если существует и„= м(à — а)". Действительно, из сходимости по вероятности случайных величин ~,.(п) к некоторым постоянным числам а,.
следует, в силу теоремы Слуцкого, сходимость по вероятности любой рациональной функции ~р(6,(и), 5,(п), ..., 5,„(п)) к ее значению в точке (а„а„..., а„), т.е. если ~(и) — е — л ал то <р(Ци), 5„(и), ..., 5„(п)) — ' — + ~р(а„а„..., а,) при Поскольку все выборочные центральные моменты (а также некоторые их модификации — асимметрия, эксцесс и т.п.) являются рациональными функциями от наблюдений, они схо- зст 4В ЧАСТЬ Л. Математическая статистика дятся по вероятности к соответствующим теоретическим значениям. Справедлива следующая теорема ° Теорема 2. Если Π— несмещенная оценка параметра О и ее дисперсия стремится к нулю, Ю(0 ) -+ 0 при и -+ сь, то оценка состоятельная.
Доказательство. Пусть о — несмещенная оценка параметра О, т.е. МО = О. Тогда для любого е > 0 из неравенства 1)0„ Чебышева получаем Р( ! Π— 0 ! ~ е) ~ 1- —," . * По условию ВО„-+ 0 при и -+ ее и, следовательно, при каждом фиксированном а > 0 1ппР(0.-0 <а)=1. Теорема доказана. к-т Задача 2. Найти неисправленную выборочную дисперсию по выборке объема и = 50. Решение. Перейдем к условным вариантам и, = 10(х, — 19,3). Тогда о (и) =100о (х), Найдем выборочную дисперсию для новой варианты и,.: -т 1 т пи,. 4 о (и) = — ч ~п,.и, и,, ~м,п~ (5( 9) +10( 4) +20хО +15хЗг) 1 50 — ((-45 — 40 + 0 + 45)/50)т — 13 36 аоа Глава м Тогда, переходя к первоначальной варианте х,: а'(х) = б'(и)/100 = 13,36/100 = 0,1336. Задачи 3.
По выборке объема и = 50 найдена смещенная оценка о' = 9,8 теоретической дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности. Решение. Несмещенная оценка дисперсии связана со смещенной следующей формулой: е' =а'х — = 9,8 х 50/49 = 10. и-1 $ ая.З. Асимптотически нормальный характер основных выборочных характеристик Свойства выборки обьема и зависят от распределения генеральной совокупности, но по мере увеличения п (и — в о) выборочные характеристики начинают вести себя одинаковым образом независимо от специфики генеральной совокупности.
Поэтому характер поведения выборочных характеристик следует рассматривать в двух вариантах: при фиксированном и (ограниченном объеме выборки) и при и -+ в (аснмптотическне свойства выборки). При фиксированном и свойства выборок будут различны для разных типов генеральной совокупности (нормальной, экспоненциальной, равномерной, пуассоновской и т.д.). В условиях асимптотики (и -+ в) общий характер поведения числовых характеристик практически не зависит от типа анализируемой генеральной совокупности.
Введем следующее определение. Случайная последовательность С„ Г„, ..., ~„, ... называется асимптегическн нормальной, если существуют числовые последовательности А„ А„ ... и В„ В„ ... (В, > 0 для всех Г) такие, что Р ' <х -+Ф(х)= — ~е в(г при и -+ о. ~! 4 1 -!'д Здесь Ф(х) — функция стандартного нормального распределения.
Числа А,. и В,. называются параметрами аеимптотически гоо ЧАСТЫ Ь Математическая статистика нормально распределенной случайной величины сч. Условие, что последовательность Р„, Р„, ..., ~„, асимптотически нормальна, записывается в виде ~,. ~ Ю(АА Вт). Используя введенный термин, девтрадьиую предельнуто теорему можно сформулировать следутощим образом: пусть т)о т)„..., т1, ...
— независимые одинаково распределенные случайнйе величины с конечными моментами первого и второго порядков: )т(т),. = а; Ют)т= от. Тогда если Я„= т)т+ т), + ... + т) то с„е — + цпа, пот), и-+ о. ри Теорема 3. Если распределение генеральной совокупности имеет конечные математическое ожидание а и дисперсию ог, то при п -+ е основные выборочные характеристики являются асимптотически нормальными: 1) х — ьтт' а,— 4 2) стт гт +я от 4 п 3) Р„(х) — +ЛГ Г(х), Другими словами, при больших объемах выборки все основные выборочные характеристики можно считать практически нормально распределенными.
$ аа.гь. Эффективность оценок. Неравенство Рао-Фреше-Крамера Для одних и тех же параметров распределения существует бесконечно много различных оценок, сходящихся к ним по вероятности, т.е. состоятельных. Среди них также бесконечно много несмещенных. Поэтому важной задачей является сравнение их между собой и поиск наилучшей среди них. Естественным критерием такого поиска является дисперсия, как мера разброса вокруг среднего.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
