Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 27
Текст из файла (страница 27)
таких систем, в которых, с одной стороны, возникают массовые требования на выполнение каких-либо услуг, а с другой — происходит удовлетворение этих требований (по мере возможности). Система массового обслуживания включает в себя источник требований (внешний или внутренний) и обслуживающие приборы (каналы обслуживания). Эту терминологию не следует понимать буквально.
Так, в качестве требований могут выступать люди, предметы, документы, файлы и пакеты данных и др.; в качестве обслуживающих приборов — люди, станки, организации, компьютеры и др. Простейввви потоком событий называется такая последовательность событий (в непрерывном времени), когда интенсивность наступления очередного события постоянна. Иначе говоря, существует такое А, что вероятность наступления события за промежуток времени дт равна Альт + о(дт) при тат -+ О. Предполагается, что вероятность наступления более чем одного события за это время составляет о(дТ) при дг — » О. Отсюда получается, что время до наступления события распределено показательно с тем же параметром А. Верно и обратное. Таким образом, если требования поступают в систему через показательно распределенные промежутки времени и времена обслуживания требований также показательно распределены, причем параметры остаются постоянными во времени, то данную систему можно описать цепью Маркова'.
Далее будем полагать все случайные времена показательно распределенными по умолчанию. Пример 2. Машина требует наладки в среднем один раз в О единиц времени. Наладка занимает в среднем т единиц времени. Требуется найти стационарное распределение вероятностей застать машину в рабочем (1) и нерабочем (0) состоянии. ' На практике зги условия выполняются далеко не всегда.
Однако получаемые при указанных предположениях результаты можно использовать в качестве предварительных грубых оценок показателей работы системы. Глава З ф Перейдем к интенсивностям: Л = 1/О, р = 1/т. Переход из состояния О в состояние 1 (наладка) имеет интенсивность р, а переход из состояния 1 в состояние О (поломка) — интенсивность Л. Матрица интенсивностей переходов имеет вид Решая систему уравнений «Л=О, «О+«1 =1, получаем т и Е КО= = «1= Л+Н т+Е Л+)О т+Е В общем случае, если выходят из строя или обслуживаются параллельно несколько объектов, соответствующие интенсивности суммируются.
Пример 3. В систему из «обслуживающих приборов поступает поток требований с интенсивностью Л. Средняя длительность обслуживания равна т единиц времени. Если при поступлении требования все приборы заняты, оно становится в очередь. Состояния будем нумеровать по числу требований, находящихся в системе (как в очереди, так и на обслуживании). Пространство состояний Я = (О, 1, 2, ...) в данном случае бесконечно и счетно. Введем интенсивность обслуживания р = 1/т и величину р = Л/р = Лт, называемую загрузкой системы.
Она описывает, сколько в среднем новых требований поступит за время обслуживания одного. Если р > «, то очередь требований растет до бесконечности, если же р < «, то система выходит на стационарный режим. Интенсивности переходов имеют вид /=1+1, т(п(1,«)р, /=1 — 1, 1>О. Для данной системы рассчитаны, в частности, следующие показатели: 1) вероятность того, что все приборы свободны — ! ю-1 О и О=О «' «1(1 — Р/«) ! ф ЧАСТЬ Ь Теория вероятностей 2) вероятность того, что в системе находится ровно /с требований л„= — ле при 1 < Iс я и; л, = — „л, при т1 > и; те1 и~п" " 3) вероятность того, что все приборы заняты Р и!(1 — р/и) 4) средняя длина очереди рл 2,= — -'" = г тте и — р и! и(1 — р/п)' Пример 4.
Бригада из и рабочих обслуживает пт станков (и < пт). Каждый станок требует наладки в среднем один раз в О единиц времени. Наладка занимает в среднем т единиц времени. Если все рабочие заняты, наладка станка откладывается (ставится в очередь). Состояния будем нумеровать по числу требований (т.е. требующих наладки станков). Пространство состояний Я = (О, 1, 2, ..., т) в данном случае конечно.
Как и ранее, положим А = 1/8, р = 1/т, р = А/р = т/О. Интенсивности переходов имеют вид (т — т)Х, /=т'+1, т'<т, пт(п(т',п)р, /=т — 1, т>О. Для данной системы рассчитаны, в частности, следующие показатели: 1) вероятность того, что все станки исправны -1 и тп~ и т! е=е тт (пт /о) я= тч п п1(пт тт). 2) вероятность того, что в системе находится ровно /с требований тп! л„= ' рл, при1~/сяп; Ус! (пт — тс)! т! л„= „' рл, приЙ>и; и" "и!(пт — л)! туб глава з 3) средняя длина очереди ь = ) ' (д — ) „= ~., „, ', р',. (/с — л)т! й=и-н , „„и' "и!(т — /с)! Задачи для самостоятельного решения с На производстве используется система приемочного контроля с переменным планом, где и, = зо, л, = то, и, = 5, Найти стационарное распределение, если: а) е о,он б) а о,оз.
з. Трудоспособное население (постоянной численности) делится на работающих и безработных. Вероятность потерять работу в течение месяца составляет з%, а вероятность ее найти — з6%. Определить стационарный уровень безработицы. Во сколько раз сократится доля безработных, если благодаря государственной программе занятости вероятность найти работу в течение месяца увеличится вдвое? З. Рабочие города Молотково трудятся на трех заводах.
Вероятности ухода с каждого завода в течение месяца составляют ц 6 и д% соответственно. В случае ухода с одного завода рабочий переходит на один из двух других равновероятно. Найти стационарное распределение. Общая численность рабочих предполагается постоянной. а. Решить уже рассмотренную задачу о холодильниках в предположении, что вводится дополнительное правило: если в магазине остается один холодильник, делается заказ на еще один.
ч. Мебельный магазин торгует шкафами. Случайный спрос на шкафы за неделю имеет распределение, заданное таблицей. Если шкафы заканчиваются, делается заказ на з штуки, если остается один — на т штуку. Заказы прибывают на следующей неделе. Найти пационарное распределение числа шкафов в магазине. 177 ЧАСТЬ С Теория вероятностей 6. 8 городе Традицино каждый взрослый мужчина имеет одну из трех профессий А, Б и В.
Сыновья сохраняют профессии отцов с вероятностями 3/5, г/3 и т/4 соответственно или выбирают любую из двух других равновероятно. Найти: а) распределение по профессиям в следующем поколении, если в нынешнем профессию А имело го%, Б — 3о%,  — 5о%; б) стационарное распределение по профессиям.
Предполагается, что у каждого отца ровно один сын. 7. Торговец из города Олино ездит продавать товар в города Алино и Валино. Выехав из Олино, он направляется в Алино с вероятностью 4о%, в Валино — с вероятностью бо%. Продав товар, он возвращается в Олино. Найти стационарное распределение вероятностей застать предпринимателя в каждом из городов. 8. Решить предыдущую задачу в предположении, что, посетив Алино или Валино, торговец возвращается в Олино с вероятностью 8о% или едет в другой из двух городов (продавать оставшийся товар) с вероятностью го%.
д, Фирма оценивает недельный объем сбыта как удовлетворитель. ный (т), хороший (г) или отличный (3). Матрица переходных веро. ятностей имеет вид 0,7 0,2 0,1 0,3 0,6 0,1 0,1 0,7 0,2 ( 0,4 0,5 0,1 0,1 0,7 0,2 . 0,6 0,2 0,2 б) ( Найти стационарное распределение объема сбыта фирмы. '( 0,3 0,6 0,1 0,1 0,6 0,3 0,1 0„4 0,5 0,3 0,5 0,2 0,2 0,6 0,2 .
0,1 0,5 0,4 Найти стационарное распределение продуктивности хозяйства. т78 то. Продунтивность фермерского хозяйства в каждом году оценивается как хорошая (т), удовлетворительная (г) или плохая (3). Матрица переходных вероятностей имеет вид глава я 0,3 0,4 0,1 0,2 0 0,2 0,5 0,3 0 0 0,4 О,б 0 0 0 1 0,5 0,3 0,2 0 0 0,4 0,4 0,2 0 0 0,3 0,7 0 0 0 1 а) Вычислить вероятности состояний через три месяца, если в нача- ле клиент находился в состоянии а).
зз. Машина требует наладки в среднем один раз в з часа. Наладка занимает в среднем з5 мин. Найти стационарное распределение вероятностей застать машину в рабочем (т) и нерабочем (о) состоянии. з3. Есть г станка, каждый из которых требует наладки в среднем один раз в з часа.
Наладка занимает в среднем зо мин. Найти стационарное распределение числа работающих станков. Предполагается, что станки требуют наладки и обслуживаются независимо один от другого. т4. Машина состоит из трех узлов, каждый из которых отказывает с интенсивностью Х з. Интенсивность восстановления отказавшего узла равна и 3. Найти стационарное распределение числа работающих узлов.
з5. Машина состоит из трех узлов. Среднее время безотказной работы каждого узла составляет зо час, а среднее время ремонта узла— 5 час. Найти среднюю производительность машины, если при трех работающих узлах она равна зоо%, при двух — 5о%, а при одном или менее машина вообще не работает. тъ В процессе ежемесячного погашения кредита клиент банка может оказаться в одном из следующих состояний: а) ежемесячный платеж погашен в срок в полном объеме; б) ежемесячный платеж погашен в полном объеме, но с временной задержкой; в) ежемесячный платеж погашен в срок в неполном объеме, с переходом остатка долга на следующий месяц; г) ежемесячный платеж погашен с временной задержкой и в неполном объеме, с переходом остатка долга на следующий месяц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
