Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 34
Текст из файла (страница 34)
о о Отсюда следует равенство — = 1у" е 'о(у. Заменим в по- Г(сь) а о лученном равенстве Г на ! + 1 и положим а = а + Ь. Получим Г(а+Ь) 7 <„и1 а,,1, (1+ г)а+о 1 Умножив это равенство на Г ' и проинтегрировав по 1 от О до + о, получим следующее равенство: ~а-1 Г(а+Ь) Г, а! = Г~' 'ьВ 1У"""'!е "а"'Ф о (1+~) о о Г(а) Г(а+Ь)-В(а,Ь)= ~у!"ь1 'е 'Иу ~Г' 'е ой= ~у!"1 'е 'Иу — = а о о о У = Г(а) ) у' 'е 'ььу =Г(а)Г(Ь).
о З) гВ л р ы: 1 ~ — 'о(х= ~х' 'е-а~йо=Г~ — ~=,/я 2. )х'е "ьохаа )х' 'е "Их=Г(5)=41=24. о о 229 ЧАСТЬ В. Математическая статистика 3. )хо(1 — х)тйс= )хо '(1-х)' (стх=В(4,3)= Г(4)Г(3) 3! х 2! 1 Г(7) 6! 60 à — à — — х — х — à — — Г— о Г(5) 4! 128 2 5 ( 5 5. ~хт(2-х)5((х =)х = 2у, с(х = 22(у) = )(2у)1(2-2у)'2с(у = о о (131 5 ( 5 (5 , г — г(4) =2' 1у(((-уу'ту=утВ~-, В)=ут à — +4 22 хЗ! —.— — — —.— Г~ — ) 11 9 7 5 3 1 ('1( 2 22222 (2) 222 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 (11 19х17х5 2222222222(2) Задача 3. Найти В~ —,— ~.
(7 31 (,2 2) у . В( —,— )=1 (\ — *(уо=тЯВЯ (у(-+-)= 222 2 2 2 5хЗх1 522 Г(5) 4! х 2' 2' азо 5 аа.а. Квантили, процентные и критические точки Квавтилыо уровня р или р-квавтильв непрерывной случайной величины С с функцией распределения р(х) называется такое возможное значение х, этой случайной величины, для которого вероятность события ~ < х, равна заданной величине р: Р(с < х,) = р, 0 < р < 1, т.е.
из определения следует, что х есть решение, по предположению единственное, уравнения Ф(х) = р, 0 < р < 1. Глава 11 ар Геометрически х, есть такое значение случайной величины 1 при котором площадь криволинейной трапеции, ограниченная графиком плотности распределения и осью абсцисс и ле;кашая левее х,, равна Р (рис.
12.2). РИС. 12.2 Процентной точкой уровня р или р%-ной точкой (при 0 < < д к 100) для непрерывной случайной величины Г, с функцией распределения Р(х) называется такое значение т, случайной величины, что вероятность события С > г, равна д/100, т.е.
1 — Р(г,) = Р(Г > т,) = д/100. Геометрически д%-ная точка — это значение случайной величины, при котором площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности распределения, осью абсцисс и лежащая правее 1,, равна д/100. На рис. 12.3 йоказана квантиль уровня 0,8 (20%-ная точка) для стандартного нормального распределения (на графиках плотности и функции распределения). К понятию процентной точки близко понятие критической точки, широко используемое в задачах проверки гипотез.
Критические точки для заданного распределения определяют границы, за пределы которых случайная величина выходит достаточно редко. Например, если нас интересуют большие положительные значения случайной величины С, то критическая точка г может быть определена из условия РЦ > Г,,) = а, где а мало. Если же нас интересуют значения, большие по абсолютной величине (положительные или отрицательные), то можно определить критическую точку из условия Р(Ц > Г„,) = а. 231 ЧАСТЫ !.
Математическая статистика Плотность нормального распределения Фтнкпия нормального распределения 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0,0 0,0 -3 -2 -1 0 ! 2 х -3 -2 -1 0 1 2 х Рис. яз.З р(х) .Я. 100 Рис. аз.а 232 Нижней критической границей и, и верхней критической границей й„, соответствующей заданному уровню значимости а, называются значения случайной величины, для которых выполнены условия Р(г, < и„) = Г(й„) = а/2; Р(.кз < й.) ="Г(й„) — Г( „) = 1- а; Р(Р, > й„) = 1 — Г(й„) = а/2. Глава гг Между критическими границами и квантилями для симметричного распределения существуют следующие соотношения д = х„; и„=х, .
(рис, 12.4). г $ аа.З. Распределение хи-квадрат (закон Пирсона) Распределением хи-квадрат с я степенями свободы (обозначается Х„') называется распределение суммы квадратов и независимых случайных величин со стандартным нормальным распределением, т.е. т.„'= ~~,', если ~, е У(0, 1). ! ! Такое же распределение будет иметь величина т„' = ~ ',, если Г! е 11Г(а, б'). " (~,-а)' б Плотность распределения случайной величины Х„'с и степенями свободы имеет вид 1 — 1 Л 1 х' е', г !'!-") х>0, )г(х) = х<0. О, Функция распределения: я ! )гг е гл(Г 2гГ ~ а х>0, Г(х) = х<0.
О, распределения Х„' сле- Основные числовые характеристики дующие: математическое ожидание — М)(„'= дисперсия — Ру.'„= 2л; а33 Конкретные значения критических точек для различных распределений и уровней значимости можно найти в таблицах. Эмпирическими аналогами теоретических квантилей будут члены вариационного ряда.
ЧАСТЫ 1. Математическая статистика Г8 асимметрия — !1, = à —; П эксцесс — к„, = 12/л. На рис. 12.5 представлен график плотности распределения хи-квадрат с 5 степенями свободы. Р г(Х) Плотность распрелеленик кн-квадрат х 0,16 0,14 0,12 о,!о 0,08 0,06 О,О4 0,02 0 2 4 6 8 !О !2 14 16 18 х Рис. 82.5 Плотность 2('„распределения зависит от одного параметра и — числа степеней свободы. При и ~ 2 функция плотности убывает, а при л > 2 имеет единственный максимум в точке х = и — 2. С ростом числа степеней свободы и распределение )сг„приближается к нормальному со средним л и дисперсией 2л (в смысле асимптотической нормальности). Общий вид графика представлен на рис.
12.6. Заштрихованная область соответствует вероятности сх и определяет квантиль уроеия сх распределения хи-квадрат. Задача 4. Доказать асимптотическую эффективность несмещенной оценки генеральной дисперсии в случае нормального распределения. Решение. Квк известно„несмещенная оценка генеральной дисперсии и ее дисперсия выглядят следующим образом: г 1 к — г г 2о~ 8 = — 2 (Хг — Х), РЗ = —. н-1,, ' и-1 234 Глава гг ав р„( Рис.
вг.б Для того чтобы доказать эффективность оценки, необходимо найти информацию Фишера. Выпишем функцию плотности нормального распределения: о-а) р,(х,о')= — е '*, и прологарифмируем ее: а /2п ! (х-а)' г — 1, (х-а)' 1пр(х,с')=1п —, =-1пч2х- — 1пгг— гг /2х 2пг 2 2пг Продифференцируем по параметру 0 = а'. г г(1пр(х,е) 1 (х „) (ЖпР (х О) 1 = —,((х-а) -О) . г(0 20 26' ' 1, гг0 40' Тогда информация Фишера равна ,,г т(0)= —,М((Р; ) -0) = —,П(~- ) = — „0 В~ — ! = 1 г 1 г 404 40' 40" ( Я ! 1 г 1 1 1) г 40г 20' 2а~ ,г так как случайная величина ~ — ~ =)( имеет распределение г ! хи-квадрат с одной степенью свободы, и тогда Ютг' = 2.
Отсюда ЧАСТЬ П. Математическая статипика 4 2о" получим л„м †. С другой стороны, Ран = —, и в результате и л-1 4 имеем — ", =, -+! при л -+ о, Раз 2о' л — 1 Таким образом, несмещенная оценка генеральной дисперсии является асимптотически эффективной. $ аг.т). Распределение Стьюдента Пусть и + 1 случайных величин 4е, ~л ..., с,„независимы и имеют стандартное нормальное распределение: си а Ф(О, !) . Пусть 11= ~ — — х ~с, . Случайная величина т„= — называется безразмерЧе лм, Ч ной дробью Стыодента, а ее распределение — распределением Стьюдента с и степенями свободы. Плотность распределения г„имеет вид р,(х)= 1+ — — о<х <+со.
à — ч'ил ~ Плотность распределения Стьюдента зависит от одного параметра — числа степеней свободы. С ростом числа степеней свободы распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному. Основные числовые характеристики: 1) мода и медиана равны математическому ожиданию и равны нулю, т.е. распределение унимодально и симметрично относительно точки х = 0; 2) дисперсия — Рг = и /(и — 2) и существует только при л>2; 3) асимметрия — б = 0; 4) эксцесс — и„= 6/(л — 4). На рис.
12.7 представлен график плотности распределения Стьюдента с тремя степенями свободы. Плотность распределения Стьюдента зависит от одного параметра и — числа степеней свободы. Общий вид кривой распределения представлен на рис. 12.8. ззб Глава 1а ф Плотность распределения РЯ Стьюдента 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 -3 -2 -1 0 1 2 3 7 Рис. аа.7 Рис. аа.а Заштрихованным областям (слева и справа) соответствуют вероятности по а/2, в сумме дающие вероятность а и определяющие критические точки распределения Стьюдента для двусторонней области. ф ЧАСТЫ С Математическая сратипика % га.~.
Распределение фишера Если )(2 и т' — независимые случайные величины, распределенные по закону )(2 с числами степеней свободы и и т соответственно, то случайная величина р(», т) = —," Хи/» Х /т имеет распределение, которое называют распределением ФишераСиедекора (Р-распределением) с числами степеней свободы и и т, или рос»реда»опием дисперсионного отношения. Функция распределения и функция плотности имеют вид à — à — е (»и+т) 2 à — ) г-", г — ( + )"6 Распределение Фишера определяется двумя параметрами: и и т, называемыми числами степеней свободы. Основные числовые характеристики: 1) математическое ожидание М = существует только при т > 2; т-2 2т'(»+т-2) 2) дисперсия В,.
=, существует только при т>4; »(т-2)'(т-4) 3) мода х „т(" 2) при и > 1; п(т+ 2) (2 ° - 2),/8~ 6) р Р,=, р )6; ( -6) ( ° -2) 5) эксцесс и = 2 3(т-6)(2+ — б' ) -3, при т > 8. т-8 гзв Глава аа ® Из этих формул следует, что Р-распределение всегда имеет модальное значение, меньшее единицы, и среднее значение, большее единицы, а также положительную асимметрию. На рис. 12.9 представлен график плотности распределения Фишера с числами степеней свободы п = 10 и т = 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
