Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Справедлива теорема Фишера, описываюшая доасимптотические свойства оценок. Предварительно рассмотрим следующие леммы. Лемма 1. Если х„х„..., х„— независимые одинаково распределенные нормальные случайные величины: х, и <т<(0, <т'), и у„у„..., у„получены из х„х„..., х ортогональным преобразованием у, = ) С„х,, ! = 1, 2, ..., и, где С = (се) ортогональная с=! матрица, то у„у„..., у независимые, одинаково распределенные нормальные случайные величины: у,. и Л<(0, о'). Доказательство. Пусть х! в тт'(О, о') и у<= ч~с„х,, ! = 1, 2, ..., и, я-! где матрица С ортогональна. Тогда существует обратная матрица С ', тоже ортогональная и, следовательно, <<)егС'~ = 1. В векторной форме это преобразование можно записать в виде У = СХ и обратное преобразование Х = С <У = Х(У).Функция плотности случайного вектора У будет равна р,(у„у„..., у„) = = р„(х<Щ, х,()), ..., х„()))1оег31, но так как преобразование Х-+ билинейное, легко видеть, что якобиан 1 = С' Кроме того, квадратичная форма инвариантна относительно ортогонального преобразования у!'+ут+...+у~ =У~У =(СХ) (СХ)=Х (С С)Х =Х Х = м х!' + х! + + х Поэтому и ! 1 — !<т <питт<я!и-им<и!! " 1 и р(у„у„„,, у) = е' =П е ' откуда следует независимость и нормальное распределение у, е Ж(0, о!).
авив Глава !г 411! Лемма 2 (Фишера). Пусть задано некоторое число р < и линейных функций у„ у„ ..., у, от х„ х„ ...,х„: у, = с,х, + с х, + ... + + с,х, !' = 1, 2, ..., р, где строки матрицы С = (с„. )удовлетворяют !1,!=и условию ортогональности ~ с.,сч = ба = ~ ' . Если х, х, ..., х ь 10 Фй независимые одинаково распределенные нормальные случайные величины х е Ж(0, а'), то случайная величина с,= ) х,.'-Ч ~у,' рос!=! I-! пределена по закону а'х„', с и — р степенями свободы, причем ~ и у,' + у,' +...+ у,' взаимно независимы. Доказательство. Известно, что для прямоугольной матрицы С, с ортогональными строками можно подобрать дополнительно п — р строк и дополнить ее до квадратной ортогональной матрицы С,, Если к вектору Х применить преобразование СХ, то получим вектор У, у которого первые р компонентов совпадают с заданными случайными величинами у„у„..., у,, и так как квадратичная форма инвариантна относительно ортоп и гонального преобразования, получим ч ~х,.' =~ у,'.
Отсюда сле! ! ! и г дует что ~=~ х!-~ у.'=" у.' и с как функция от у ... у !=! !=р+! не зависит от у„у„..., у, т.е. не зависит от суммы ) у,.'. /=! В силу леммы 1 случайные величины у„у„..., у, имеют нормальное распределение у! е )ч(0, а'), а сумма квадратов нормально распределенных случайных величин имеет т!-распределение: я ~~„( — !)' е х'„,, следовательно, ") у,' е а'х'„, .
Лемма доказана. ,„, а ~=р+! теорема Фишера. Пусть х„и ь-" соответственно выборочное среднее и выборочная дисперсия, построенные по выборке х„х„..., х„из нормальной генеральной совокупности М(а, а'). Тогда ири любом фиксированном обьеме выборки п их совместный закон распределения описывается следующим образом: 1) х„распределено по нормальному закону х„е 1ч(а, а'/п); (п-1)з 2 2) статистика распределена по закону т' с и — 1 ! степенями свободы; 3) спучайные величины х„и з„' статистически независимы.
з49 ЧАСТЬ 11. Математическая статистика Доказательство. Пусть х„х„..., х„— случайная выборка из нормальной генеральной совокупности тт~(а, о'). Нормальность распределения выборочного среднего х„вытекает из факта нормального распределения любой линейной комбинации нормально распределенных случайных величин. Введем случайную величину ~, = х,. — а. Тогда Мг,. = О, 2)~,.= = Ж, = о'. Отсюда следует, что з,' =з„', т.е. без ограничения общности можно полагать а = О.
я Итак, ~,.= х,.— а е Ж(О, от) и з! =з'= — (~г,.'-пР). Так как а = О, имеем (=! '=(Ф )'=-.'~-' ~' т — /с! Отсюда получим пх = — + — +- + —" 1,./л / "' /,) ' Обозначим у, = /ахи = — + — +...+ — ", т.е. случайная веч! ч! чя / / "' /''' личина у, представлена в виде линейной функции у, = Снг., + С„г! + ... + С,„г„, где Си = —, 1 а С„+С„+...+С,„=1, т.е. строка ~ —, -,— ) удовлетворяет ус- ~, ч/и ч/и ) ловию ортогональности. Применяя лемму Фишера к у, = /и х г, при р = 1 получаем, что у,' =пг и случайная величина я 4=(п-1)л,' =~ г,'-у!' в случае выборки из нормальной гене! ! ральной совокупности независимы, причем у, =,Я хе е У(О,о') и (п-1)з' ео'Х'„!. Таким образом доказано, что хе Л~(а,— ),, ах„',. — о' (и - 1)з' и о' Следствие 1.
Дисперсия исправленной выборочной дисперсии з', построенной по случайной выборке обьема и из нормальной генеральной совокупности )т1'а, о9, определяется формулой 2о" ))з!— и-1 ачо Глава 1л Поскольку 2)т, = 2(» — «, то )з ~ = 1)р = 2(» — «. 1 (» — «з' (»-« ПоэтомУ 1)в~в 2а' и-1 Следствие 2. Если х и з' соответственно выборочное среднее и дисперсия, построенные по выборке из нормальной генеральной совокупности Ф(а, аг), то статистика Т = — чп распределена по закону Стыодента с и — 1 степенями свободы.
Для доказательства достаточно представить статистику Т в виде х„-а (- Т= а (»- «з' (п — «о х — а (и-«з„' и так как — /и е У (О, 1),, " в)(„„то по определению а а статистика Т имеет распределение Стьюдента с и — 1 степенями свободы. Следствие 3. Пусть случайная выборка х„х„..., х„произведена из нормальной генеральной совокупности Ж(а» а',), а выборка У„У„..., У вЂ” из генеРальной совокУпности )У(ае а,'1 и эти выборки независимы. Тогда 2 а, а,) х-уе)у а — а,— + — . п т~ В частности, если обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности (а, = а„а, = а,), то х-у ей 0 о' — +— Поскольку линейная комбинация независимых нормально распределенных случайных величин распределена нормально, то для доказательства достаточно вычислить математическое ожидание и дисперсию разности независимых случайных величин х и у.
зч1 ф ЧАСТЬ! 1. Математическая статистика Следствие 4. Пусть случайная выборка х„х„..., х„произведена из нормальной генеральной совокупности )т((ао о,'), а выборка у„у„..., у из генеральной совокупности ттТ(а„от) и эти выборки независимы. Тогда при одинаковых (возможно, неизвестных) дисперсиях о,' = о,' = о' случайная величина (х-у)-(а, -а,) Т= \ )) т — +— п т п+т-2 где зт и з,' — исправленные оценки дисперсий, имеет распределение Стыодента с (и + т — 2) степенями свободы. Из следствия 3 вытекает, что (» — )М т (тп — ))зт По теоРеме ФишеРа, ' е2'„„т ' ет,„,, пРичем з,', з,' независимы.
Следовательно, (и ))з~ (т ))зт Ъ т + т Хт+м-тт о' о так как по свойству у'-распределения сумма х'„и +х'„и распределена тоже по закону тт с т + и — 2 степенями свободы. Тогда случайная величина ' по определению распределена т, п+т-2 по закону Стьюдента с и + т — 2 степенями свободы. Следствие 5. Пусть случайная выборка х„х„..., х„произведена из нормальной генеральной совокупности тт(ао о,'), а выборка у„у„..., у из генеральной совокупности Ф(а„от) и эти выборки независимй. Тогда при одинаковых (возможно, неизвестных) дисперсиях о,' = о, '= о' случайная величина Х1 р 1 т 252 Глава тг распределена по закону Фишера с и — 1 и т — 1 степенями сво- боды. Доказательство вытекает из того факта, что случайные величины (" ))з~ г (т ()з~ т е Хя-11 г е Хпю-1 а о распределены по закону Х' и независимы, так как независимы соответствующие выборки.
Задачи для самостоятельного решения т. Доказать свойства т-З бета-функции. г. Пусть 4,, ~е ..., Р,„и т|е т1,, ..., т) — независимые, нормально распределенные случайные величины — г„е И(о, о'); Ч, е )у(о, о'). и -Х~' Найти закон распределения случайной величины у = в — ~ т) тг ~ 5.
Доказать, что в случае нормального распределения И(а, о') неисправленная выборочная дисперсия имеет дисперсию ро' 2о'(и — !) и' Докажите, что сумма двух независимых Х*-распределенных случайных величин подчиняется распределению Х', а именно г =Х,+Х 5. Найти математическое ожидание и дисперсию распределения у„'. 6. Доказать, что если 5, е у(ае Х) и г„е т(ае Х) — две независимые гамма-распределенные случайные величины, то отношение — — имеет бета-распределение с параметрами а, и а,: 4) 4 +4г т) е Щаеа,). г53 ЧАСТЫ Ь Математическая статистика у. Пусть «,, «и ..., «„— независимые, нормально распределенные случайные величины, «, е?у(о, ст*), I = о, т, г, ..., и и т) = ( — — ~ «т. и,, Найти распределение случайной величины т = —.
«е Ч 8. Доказать, что распределение у„' сходится к нормальному закону со средним л и дисперсией зп при и -+ о (в смысле асимптотической нормальности). д. Вывести формулу для дисперсии распределения Стьюдента при и > з. то. Пусть случайная величина «имеет распределение Стьюдента с и степенями свободы. Какое распределение имеет случайная величина т) = «*? тт. Пусть даны две независимые случайные величины «, П е т(л; )с). Найти распределение случайной величины —. т) тз. Найти моду случайной величины, имеющей гамма-распределение т(а, х).
тЗ. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей бета-распределение В(а, Ь). т4. Найти моду случайной величины, имеющей бета-распределение ()(а, Ь). тч. Доказать, что распределение Стьюдента с ростом числа степеней свободы сходится к нормальному. тб. Определить, к какому распределению сходится распределение Фишера Яп, гл) при лт -+ о. тт. Вычислить дисперсию и эксцесс распределения Стьюдента. т8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
