Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика (1115296), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Соответствующая прямая всегда проходит через точку выборочных средних (х,у). Числитель и знаменатель в формуле оценки параметра Ь можно вычислять по следующим эквивалентным формулам: и и и и 'у'(у — у)(х. — х) = ч ~х.у. — аху; ~(х, — х)' =~х.' — «х'. т=! !=! т=! 1=! Здесь также можно перейти к условным вариантам и,. = х,.
— с, тс! = у,— 4 и оценка Ь от этого не изменится. В некоторых случаях, например, когда величина у (по смыслу) представляет собой некую долю от х, рассматривают более простой тип линейной зависимости: у,= Ьх,+ а„ г7А Глава !з т.е. полагают а = О. В этом случае оценка Ь методом наименьших квадратов имеет вид Ь=,~ у,/,) х! !-"! Г ! ! Важным и практически значимым результатом линейной регрессии является то, что она позволяет «предсказыватьв значения зависимой переменной даже для таких значений независимых, которые не наблюдались реально. Таким образом, например, можно строить прогнозы на будущее. Задача 10.
Затраты х на развитие производства и у — величина годовой прибыли фирмы в течение 5 лет представлены в условных единицах следующей таблицей. На величину прибыли влияют случайные факторы. Предполагается, что имеет место линейная зависимость у,= а + Ьх, + е, между затратами х и прибылью у. Среднее значение е,. равно нулю, и дисперсия конечна. Каждый год случайное влияние не коррелировано с предыдущими годами. Оценить параметры а и Ь. Оценить годовую прибыль в том случае, если на развитие производства будет затрачено 12 у.е. Решение.
Перейдем к условным вариантам и, = х! — 6, », = = )!,-33. Получаем й = (Π— 3 + 1 — 1 + 4)/5 = 0,2; » = (Π— 6— — 1 — 5 + 9)/5 = -0,6. Отсюда х = 6,2; у = 32,4. Далее вычисляем следующие суммы: '~ и,», -пй» = (( — 3) (-6) + 1 (-1) + (-!) (-5) + 4 х 9) — 5 х 1=! х 0,2 ( — 0,6) = 18 — 1+ 5+ 36+ 0,6 = 58,6. а75 ЧАСТЬ Н.
Математическая статистика и 'т ит, '-ий' = (О + ( — 3)з+ 17+ ( — 1)'+ 4 ) — 5 х 0 2' = 9 + 1 + т! + 1 + 16 — 0,2 = 26,8. Получаем Ь = 58,6/26,8 = 2,187; а = 32,4 — 2,187 х 6,2 и = 18,843. Имеем у (12) = 45 (у.е.). На рис. 13.1 представлены данные задачи и прямая линейной регрессии.
Зависимость между расходами на развитие и прибылью у.е. юм 35 Й 1 3О 25 2 3 а 5 б 7 8 9 10 11 Уе. Расходы Рис. зз.а Замечание. На самом деле по столь небольшому числу точек нельзя делать серьезные выводы на будущее. Задача 11. В таблице представлены данные о годовых доходах и расходах на личное потребление (в долл. США) для 10 семей. 276 Глава 13 1~) Продоллсениа и!обе. Провести линейную регрессию расходов по доходам в виде у = Ьх. Оценить параметр Ь. Оценить величину расходов для семьи с годовым доходом 2500 долл.
США. Решение. Суммируем доходы хе расходы у, и делим одно в / и на другое. Получаем значение параметра Ь=~у,.Дх! = 24 134/25 435 = 0,949. 1! !! Для семьи с доходом 2500 долл. США получаем оценку расходов в 2372 долл. США. На рис. 13.2 представлены данные задачи и прямая линейной регрессии. Зависимость расходов отдоходов долл.
2 000 ~ 2Я!0 а 2400 * 2300 я о м о о 2200 2300 2400 2Я!О 2600 2700 ДОЛЛ. Доходы Рис. 43.2 272 ЧАСТЬ и. Математическая статипика Задачи для самостоятельного решения Теоретические задачи т. Найти методом моментов оценку параметра Х распределения Пуассона. 2. Найти методом моментов оценку параметра р (вероятности «успеха») для геометрического распределения. З. Найти методом моментов оценку параметра О для геометрического распределения с вероятностью «успеха» р = т/(т + О), О 2 о. Доказать ее несмещенность.
в -я г>, В случае сдвинутого показательного распределения р(х, О, р) = — е х > р (О, р > о) с помощью метода моментов найти оценки О и р параметров О и >т соответпвенно. ч. Найти методом моментов оценку параметра а гамма-распределе- ния О, р(х,а)= х" ' — е", Г(а) х<0, х>0. Исследовать полученную оценну на несмещенность и состоягельнос>ь.
6. Для гамма-распределения Т(сс, А) методом моментов найти оценку параметра сс при известном я.. Доказать ее несмещенность и найти дисперсию этой оценки. т. Найти оценку для числа степеней свободы г распределения у> методом моментов. Доказать несмещенность и найти дисперсию этой оценки. 8.
Найти оценку для числа степеней свободы г распределения Стьюдента методом моментов. При каких г это возможно? д. Пусть случайная величина с равномерно распределена на отрезке [о, О]. Найти методом моментов оценку для параметра О. тс Пусть случайная величина г, равномерно распределена на [с — Я; с+ Я]. Найти методом моментов оценки для с и с?. Доказать их несмещенность.
278 то. Пусть случайная величина г, равномерно распределена на отрезке [а, Ь]. Найти методом моментов оценки для а и Ь. Глава |з тз. В случае равномерного распределения на отрезке (Ое О, + О,) с помощью метода моментов найти оценки О, и О, для параметров О,иО,. тЗ. Случайная величина Ц равна сумме двух независимых случайных величин, имеющих показательное распределение с параметрами Х, и Х, соответственно.
По наблюдениям случайной величины? оценить параметры Х, и Х, методом моментов, в предположении, что Х,( Х,. тгг. По наблюдениям случайной величины с распределением Парето (О, х<1, Р(х)=~ „оценить параметр а методом моментов. 11-х ", х>1 При каких значениях параметра а это возможно? т9. По наблюдениям случайной величины с распределением Р(х) = ха, о < х < ц оценить параметр В методом моментов. тб. По наблюдениям логнормальной случайной величины 4 е ехр(И(а, п1)) найти оценки параметров а и Ф методом моментов.
з?. Найти оценку методом моментов для параметра Х распределения Лапласа, заданного функцией плотности р(х) = — е ц'~. 2 т8. Найти по выборке хе хн ..., х„методом максимального правдоподобия точечную оценку параметра р геометрического распределения: Р(? = /г) = р(т — р)ь1, lг > ц т9. Найти методом максимального правдоподобия оценку параметра О для геометрического распределения с вероятностью вуспехав р = тг'(з + О), О > о. Доказать ее несмещенность. зо.
В урне находится неизвестное число шаров И. Все шары пронумерованы соответственно ат т до И. Производится выборка длины и с возвращением хе х,, ... хи где х, — номер /-го шара. Найти с помощью метода максимального правдоподобия оценку для И. Является ли эта оценка несмещенной или асимптотически несмещенной? эт. По выборке хе хи ..., х„в случае биномиального распределения Р(? =пг)=С„,р д" при известном И методом максимального правдоподобия найти оценку параметра р.
Совпадает ли эта оценка с оценкой, полученной с помощью метода моментов? Исследовать оценку на несмещенность и состоятельность. э?9 ЧАСТЬ ГЬ Математическая статистика 22. По выбоРке»и хе ..., х„в слУчае РавномеРного РаспРеДелениЯ на отрезке[о, О[методом максимального правдоподобия найти оценку параметра 8. Вычислить математическое ожидание полученной оценки и построить несмещенную оценку на ее основе. 29.
Случайная величина равномерно распределена на [О, 28), О > о. Най- ти оценку параметра О методом максимального правдоподобия. 24. Случайная величина равномерно распределена на [т — О, з + 8[, о < О < с Найти оценку параметра О методом максимального правдоподобия. 28. Найти методом максимального правдоподобия оценку параметра а для распределения, заданного следующей функцией плотности: (1, а~»~а+1, р(х) =( ~[0, х е [а,а+ Ц. Построить несмещенную оценку на основе оценки максимального правдоподобия. 26. Найти оценку методом максимального правдоподобия для параметра Х распределения Лапласа, заданного функцией плотности р(х)«« — е "[. 2 27.
Оценить с помощью метода максимального правдоподобия параметр сдвига О в сдвинутом показательном распределении, задан- (е '" ", хеО, ном плотностью р(х)=~ [О, х <О. 28. Пусть случайная величина с имеет функцию распределения «-е р(х) = ~ О, х>О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
